4.3 Sinuslikninger

Løse likninger med sinus.

55 min

18 oppgaver

SinuslikningGenerell løsningPeriodisitet

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Sinuslikninger

Sinuslikninger er likninger der den ukjente $x$ star som argument i en sinusfunksjon. Slike likninger dukker opp i mange praktiske sammenhenger, som bolgefenomener, periodiske svingninger og lydanalyse.

Hva skal vi laere?
- Lose grunnleggende likninger av typen $\sin x = a$
- Finne den generelle losningen med $n \in \mathbb{Z}$
- Lose mer sammensatte likninger som $\sin(kx + c) = a$
- Tolke losningene grafisk
- Finne antall losninger i et gitt intervall
- Anvende sinuslikninger på praktiske problemer

Hvorfor er dette viktig?
Sinusfunksjonen beskriver periodiske fenomener overalt i naturen: havbolger, lydbolgr, vekselstrom, pendelbevegelser og mye mer. Aa kunne lose sinuslikninger er derfor essensielt for aa forstaa og modellere slike fenomener.

Sinuslikning av typen sin(x) = a

\sin x = a

Spesielle verdier

Noen sinusverdier bor du kunne utenat:

$x$	$0$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin x$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$	$0$

Disse verdiene følger fra enhetssirkelen og de likesidede trekantene du kjenner fra R1.

📜Generell losning av sin(x) = a

Hvis

-1 \leq a \leq 1

\sin v = a

for en vinkel

v

, sa har likningen

\sin x = a

den generelle losningen:

$x = v + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Dette kan ogsaa skrives som:
$x = v + 2\pi n \quad \text{og} \quad x = (\pi - v) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Forklaring: Sinusfunksjonen har periode $2\pi$ , og for hver verdi $a$ (unntatt $\pm 1$ ) finnes det to vinkler i $[0, 2\pi)$ med samme sinusverdi. Disse ligger symmetrisk om $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Fremgangsmate for aa lose $\sin x = a$ :

1. Sjekk om $|a| \leq 1$ . Hvis ikke, har likningen ingen losning.
2. Finn en vinkel $v$ slik at $\sin v = a$ . Bruk kalkulator eller kjente verdier.
3. Skriv opp begge losningsgrener:
- $x = v + 2\pi n$
- $x = (\pi - v) + 2\pi n$
4. Hvis du skal finne losninger i et bestemt intervall, sett inn verdier for $n$ (typisk $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ ).

✏️Eksempel 1: Grunnleggende sinuslikning

Los likningen $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

\displaystyle \frac{1}{2}

ligger mellom

-1

1

, sa likningen har losning.

Steg 2: Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .
Fra tabellen vet vi at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , sa $\displaystyle v = \frac{\pi}{6}$ .

Steg 3: Skriv opp den generelle losningen.
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.31

Los likningen $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og angi den generelle losningen.

✏️Eksempel 2: Negativ sinusverdi

Los likningen $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707

ligger mellom

-1

1

. \checkmark

Steg 2: Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Vi vet at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
Siden vi trenger en negativ verdi, bruker vi $\displaystyle v = -\frac{\pi}{4}$ .

Steg 3: Skriv opp den generelle losningen.
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Alternativ form: Vi kan ogsaa skrive losningene som:
$x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

📝Oppgave 4.32

Los likningen $\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}$ og angi den generelle losningen.

✏️Eksempel 3: Ekstremverdier

Los likningen $\sin x = 1$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

1

er maksimalverdien til sinusfunksjonen, sa likningen har losning.

Steg 2: Finn vinkelen.
$\sin x = 1$ kun nar $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ .

Steg 3: Generell losning.
Siden dette er en ekstremverdi, far vi bare en losningsgren:
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Ved $a = 1$ faller de to losningsgrenene sammen fordi $\displaystyle \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ .

📝Oppgave 4.33

Los likningen $\sin x = -1$ .

✏️Eksempel 4: Ingen losning

Los likningen $\sin x = 2$ .

Steg 1: Sjekk losbarhet.

2 > 1

, sa verdien ligger utenfor verdiomradet til sinusfunksjonen.

Konklusjon: Likningen har ingen losning siden $\sin x \in [-1, 1]$ for alle $x$ .

Vanlig feil

Husk aa sjekke at $|a| \leq 1$ for likningen har losning. Mange glemmer dette og forsaker aa lose likninger som $\sin x = 1.5$ eller $\sin x = -3$ , som ikke har losninger.

Løsninger i et bestemt intervall

Ofte blir vi bedt om aa finne alle losninger i et gitt intervall, for eksempel $[0, 2\pi)$ eller $[-\pi, \pi]$ .

Fremgangsmate:
1. Finn den generelle losningen
2. Sett inn ulike verdier for $n$ ( $n = 0, \pm 1, \pm 2, ...$ )
3. Behold kun de losningene som ligger i det angitte intervallet

✏️Eksempel 5: Løsninger i [0, 2pi)

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi)$ .

Steg 1: Finn den generelle losningen.
Vi vet at

\displaystyle \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Steg 2: Finn losninger i $[0, 2\pi)$ .

For $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} \approx 0.79$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \approx 7.07$ (utenfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} - 2\pi \approx -5.50$ (utenfor)

For $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} \approx 2.36$ \checkmark (i intervallet)
- $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi \approx 8.64$ (utenfor)
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi \approx -3.93$ (utenfor)

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{4}$

📝Oppgave 4.34

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ i intervallet $[0, 2\pi)$ .

✏️Eksempel 6: Løsninger i [-pi, pi]

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Steg 1: Finn den generelle losningen.
Vi bruker

\displaystyle v = -\frac{\pi}{3}

siden

\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n

Steg 2: Finn losninger i $[-\pi, \pi]$ .

For $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3} \approx -1.05$ \checkmark

For $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$ :
- $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$ (utenfor, $> \pi$ )
- $n = -1$ : $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09$ \checkmark

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle x = -\frac{2\pi}{3}$

📝Oppgave 4.35

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ i intervallet $[-\pi, \pi]$ .

Grafisk tolkning

Aa lose $\sin x = a$ grafisk betyr aa finne skjaringspunktene mellom grafen til $y = \sin x$ og den horisontale linjen $y = a$ .

Viktige observasjoner:
- Sinusgrafen svinger mellom $-1$ og $1$ med periode $2\pi$
- For $-1 < a < 1$ skjaerer linjen $y = a$ sinusgrafen to ganger per periode
- For $a = \pm 1$ skjaerer linjen sinusgrafen en gang per periode (i topp/bunnpunktene)
- For $|a| > 1$ skjaerer linjen aldri sinusgrafen

Denne grafiske forstaelsen hjelper oss aa:
1. Raskt avgjore om en likning har losning
2. Finne antall losninger i et gitt intervall
3. Estimere losningene visuelt

📊Utforsk sinuslikninger grafisk

Dra glideren for aa endre verdien av $a$ og se hvor linjen $y = a$ skjaerer sinusgrafen.

✏️Eksempel 7: Antall losninger grafisk

Hvor mange losninger har likningen $\sin x = 0.3$ i intervallet $[0, 4\pi]$ ?

Grafisk resonnement:
Linjen

y = 0.3

skjaerer sinusgrafen to ganger per periode (

2\pi

Intervallet $[0, 4\pi]$ inneholder $\displaystyle \frac{4\pi}{2\pi} = 2$ fulle perioder.

Antall losninger: $2 \times 2 = 4$ losninger.

Verifisering med regning:
$\sin^{-1}(0.3) \approx 0.305$ radianer.
Løsningene er omtrent:
- $x \approx 0.305$ (1. periode, stigende)
- $x \approx \pi - 0.305 \approx 2.837$ (1. periode, synkende)
- $x \approx 0.305 + 2\pi \approx 6.588$ (2. periode, stigende)
- $x \approx 2.837 + 2\pi \approx 9.120$ (2. periode, synkende)

Alle fire ligger i $[0, 4\pi] \approx [0, 12.57]$ .

📝Oppgave 4.36

Hvor mange losninger har likningen $\sin x = 0.7$ i intervallet $[0, 6\pi]$ ?

📜Antall losninger i et intervall

For likningen $\sin x = a$ der $-1 < a < 1$ :

I et intervall som inneholder $n$ fulle perioder (lengde $2\pi n$ ), er antall losninger lik $2n$ .

Spesialtilfeller:
- Hvis $a = 1$ eller $a = -1$ : $n$ losninger
- Hvis $|a| > 1$ : $0$ losninger

Merk: For intervaller som ikke inneholder hele perioder, ma man telle mer noyaktig ved aa finne de eksakte losningene.

Sammensatte sinuslikninger: $\sin(kx + c) = a$

Nar sinusfunksjonen har et mer komplisert argument, som $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3})$ eller $\sin(3x - 1)$ , bruker vi substitusjon.

Strategi:
1. Sett $u = kx + c$ (det indre uttrykket)
2. Los $\sin u = a$ for $u$
3. Los for $x$ fra $u = kx + c$

Viktig: Husk at perioden til $\sin(kx)$ er $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$ , ikke $2\pi$ !

✏️Eksempel 8: Likning med dobbelt argument

Los likningen $\displaystyle \sin(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Steg 1: Sett

u = 2x

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{3}}{2}

Steg 2: Los for $u$ .
$u = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Steg 3: Los for $x$ .
Fra $u = 2x$ far vi $\displaystyle x = \frac{u}{2}$ :
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Merk: Perioden er halvert fra $2\pi$ til $\pi$ fordi koeffisienten foran $x$ er $2$ .

📝Oppgave 4.37

Los likningen $\displaystyle \sin(3x) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 9: Likning med faseforskyvning

Los likningen $\displaystyle \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = \frac{\sqrt{2}}{2}

Steg 2: Los for $u$ .
$u = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Steg 3: Los for $x$ fra $\displaystyle u = x - \frac{\pi}{4}$ , altsaa $\displaystyle x = u + \frac{\pi}{4}$ :
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ eller $x = \pi + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.38

Los likningen $\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ .

✏️Eksempel 10: Generell sammensetning

Los likningen $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ .

Steg 1: Sett

\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}

.
Likningen blir

\displaystyle \sin u = -\frac{1}{2}

Steg 2: Los for $u$ .
Vi bruker $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ :
$u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad u = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

Steg 3: Los for $x$ fra $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = u$ :
$2x = u - \frac{\pi}{3}$
$x = \frac{u}{2} - \frac{\pi}{6}$

For $\displaystyle u = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

For $\displaystyle u = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ :
$x = \frac{\frac{7\pi}{6} + 2\pi n}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12} + \pi n - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.39

Los likningen $\displaystyle \sin(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og finn alle losninger i $[0, 2\pi)$ .

Huskeregel for $\sin(kx + c) = a$ :

Nar du har funnet den generelle losningen for $u$ , deler du $2\pi n$ -leddet på $k$ for aa fa riktig periode for $x$ .

For eksempel: Hvis $u = v + 2\pi n$ og $u = kx + c$ , da blir:
$x = \frac{v - c}{k} + \frac{2\pi n}{k}$

Perioden til losningen er $\displaystyle \frac{2\pi}{k}$ , ikke $2\pi$ .

Flere teknikker

Noen sinuslikninger krever ekstra manipulasjon for de kan loses. Her ser vi på noen vanlige situasjoner.

✏️Eksempel 11: Likning med kalkulator

Los likningen $\sin x = 0.4$ og finn alle losninger i $[0, 2\pi)$ . Angi svarene med tre desimaler.

Steg 1: Bruk kalkulator til aa finne arcsin.

v = \sin^{-1}(0.4) \approx 0.412

radianer.

Steg 2: Den generelle losningen er:
$x \approx 0.412 + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x \approx \pi - 0.412 + 2\pi n \approx 2.730 + 2\pi n$

Steg 3: I $[0, 2\pi)$ :
- $x \approx 0.412$
- $x \approx 2.730$

Svar: $x \approx 0.412$ og $x \approx 2.730$ .

📝Oppgave 4.310

Los likningen $\sin x = 0.6$ og finn alle losninger i $[0, 2\pi)$ . Angi svarene med tre desimaler.

✏️Eksempel 12: Likning som krever omforming

Los likningen $2\sin x + 1 = 0$ .

Steg 1: Isoler sinusleddet.

2\sin x = -1

\sin x = -\frac{1}{2}

Steg 2: Los den enkle sinuslikningen.
Vi vet at $\displaystyle \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ .
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{eller} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

Alternativ form: $\displaystyle x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$ eller $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$ der $n \in \mathbb{Z}$ .

📝Oppgave 4.311

Los likningen $4\sin x - 2 = 0$ .

✏️Eksempel 13: Likning med sin x = 0

Los likningen $\sin x = 0$ i intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ .

Løsning av $\sin x = 0$ :
Sinusfunksjonen er null nar

x

er et heltallsmultiplum av

\pi

x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

I intervallet $[-2\pi, 2\pi]$ :
- $n = -2$ : $x = -2\pi$
- $n = -1$ : $x = -\pi$
- $n = 0$ : $x = 0$
- $n = 1$ : $x = \pi$
- $n = 2$ : $x = 2\pi$

Svar: $x = -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi$ (5 losninger).

📝Oppgave 4.312

Los likningen $\sin(2x) = 0$ i intervallet $[0, 2\pi)$ .

Praktiske anvendelser

Sinuslikninger dukker opp i mange praktiske situasjoner der vi modellerer periodiske fenomener. Her er noen typiske eksempler.

✏️Eksempel 14: Tidevann

Vannstanden i en havn kan modelleres med funksjonen

h(t) = 2 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)

der

h

er vanndybden i meter og

t

er tiden i timer etter midnatt.

a) Nar er vannstanden noyaktig 2.75 meter i løpet av det forste dognet?
b) I hvilke tidsperioder er vannstanden over 3 meter?

a) Finn nar $h(t) = 2.75$ :

2 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 2.75

\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0.5

Sett $\displaystyle u = \frac{\pi}{6}t$ :
$\sin u = 0.5 \Rightarrow u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Los for $t$ :
$t = \frac{6u}{\pi} = 1 + 12n \text{ eller } t = 5 + 12n$

I det forste dognet ( $0 \leq t < 24$ ):
- $t = 1$ time (kl. 01:00)
- $t = 5$ timer (kl. 05:00)
- $t = 13$ timer (kl. 13:00)
- $t = 17$ timer (kl. 17:00)

b) Finn nar $h(t) > 3$ :
$2 + 1.5\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 3$
$\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > \frac{2}{3}$

$\displaystyle \sin^{-1}(\frac{2}{3}) \approx 0.7297$ rad.
Sinusfunksjonen er storre enn $\displaystyle \frac{2}{3}$ nar:
$0.7297 + 2\pi n < \frac{\pi}{6}t < (\pi - 0.7297) + 2\pi n$

For $n = 0$ : $1.4 < t < 5.6$ timer
For $n = 1$ : $13.4 < t < 17.6$ timer

Svar: Vannstanden er over 3 meter mellom ca. kl. 01:24-05:36 og kl. 13:24-17:36.

📝Oppgave 4.313

Temperaturen i et rom varierer gjennom dognet og kan beskrives med

T(t) = 20 + 3\sin\left(\frac{\pi}{12}(t - 6)\right)

der

T

er temperaturen i grader Celsius og

t

er tiden i timer etter midnatt.

Nar i løpet av dognet er temperaturen noyaktig 21.5 grader?

✏️Eksempel 15: Fjorarm

En fjorarm beveger seg opp og ned i henhold til formelen

s(t) = 4\sin(\pi t)

der

s

er posisjonen i cm fra likevektspunktet og

t

er tiden i sekunder.

a) Nar er fjoerarmen noyaktig 2 cm over likevektspunktet i de forste 3 sekundene?
b) Hvor ofte krysser fjaoerarmen likevektspunktet?

a) Finn nar $s(t) = 2$ :

4\sin(\pi t) = 2

\sin(\pi t) = \frac{1}{2}

Sett $u = \pi t$ :
$u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \text{ eller } u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$t = \frac{1}{6} + 2n \text{ eller } t = \frac{5}{6} + 2n$

I de forste 3 sekundene ( $0 \leq t \leq 3$ ):
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} \approx 0.17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} \approx 0.83$ s
- $\displaystyle t = \frac{1}{6} + 2 = \frac{13}{6} \approx 2.17$ s
- $\displaystyle t = \frac{5}{6} + 2 = \frac{17}{6} \approx 2.83$ s

b) Kryssing av likevektspunktet:
$s(t) = 0$ nar $\sin(\pi t) = 0$ , altsaa $\pi t = n\pi$ , dvs. $t = n$ sekunder.

Fjaoerarmen krysser likevektspunktet hvert sekund (ved $t = 0, 1, 2, 3, ...$ ).

📝Oppgave 4.314

En pendel svinger slik at vinkelen fra vertikalen er gitt ved

\theta(t) = 15\sin(2\pi t)

der

\theta

er vinkelen i grader og

t

er tiden i sekunder.

a) Nar passerer pendelen gjennom stillingen $\theta = 7.5$ grader for forste gang?
b) Hvor ofte star pendelen vertikalt ( $\theta = 0$ )?

✏️Eksempel 16: Lydbolge

En lydbolge beskrives av funksjonen

p(t) = 0.02\sin(880\pi t)

der

p

er trykket i pascal og

t

er tiden i sekunder. Dette tilsvarer tonen A4 (kammertonen).

Hvor mange ganger per sekund er trykket noyaktig null?

Finn nar $p(t) = 0$ :

\sin(880\pi t) = 0

880\pi t = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}

t = \frac{n}{880}

Antall nullpunkter per sekund:
For $t \in [0, 1]$ far vi $n = 0, 1, 2, ..., 880$ .
Det gir 881 nullpunkter (inkludert begge endepunktene).

Hvis vi teller antall ganger trykket passerer gjennom null (ikke inkludert $t = 0$ ), far vi 880 passeringer per sekund.

Merk: Frekvensen til lyden er $\displaystyle \frac{880}{2} = 440$ Hz, som er kammertonen A4.

Oppsummering: Sinuslikninger

Grunnleggende likning $\sin x = a$ :
- Har losning kun nar $-1 \leq a \leq 1$
- Generell losning: $x = v + 2\pi n$ eller $x = (\pi - v) + 2\pi n$ , der $\sin v = a$

Sammensatt likning $\sin(kx + c) = a$ :
1. Sett $u = kx + c$
2. Los $\sin u = a$ for $u$
3. Los for $x$ : $\displaystyle x = \frac{u - c}{k}$
4. Perioden blir $\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}$

Antall losninger:
- I et intervall med lengde $2\pi$ : vanligvis 2 losninger (for $|a| < 1$ )
- For $\sin(kx + c) = a$ : multipliser med $|k|$

Grafisk tolkning:
- Løsningene er skjaringspunktene mellom $y = \sin x$ og $y = a$

Oppgaver

Lett3 oppgaver

4.315

4.316

4.317

Medium7 oppgaver

4.318

4.319

4.320

4.321

4.322

4.326

4.329

Vanskelig6 oppgaver

4.323

4.324

4.325

4.327

4.328

4.330

Sinuslikninger

Spesielle verdier

Løsninger i et bestemt intervall

Grafisk tolkning

Sammensatte sinuslikninger: sin⁡(kx+c)=a\sin(kx + c) = asin(kx+c)=a

Flere teknikker

Praktiske anvendelser

Oppsummering: Sinuslikninger

Oppgaver

Sammensatte sinuslikninger: $\sin(kx + c) = a$