3.7 Funksjonsdrøfting med integrasjon

Fullstendig drøfting med både derivasjon og integrasjon.

55 min

14 oppgaver

FunksjonsdrøftingArealVolumAnvendelser

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Funksjonsdrøfting med integrasjon

I tidligere kapitler har vi lært å drøfte funksjoner ved hjelp av derivasjon. Vi har funnet nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og skissert grafer. Nå skal vi utvide verktøykassen vår med integrasjon.

Integrasjon gir oss mulighet til å:
- Finne en funksjon $f(x)$ når vi kjenner den deriverte $f'(x)$ og ett punkt
- Beregne arealet under en graf som en funksjon av $x$
- Analysere hvordan akkumulerte størrelser vokser over tid
- Løse praktiske problemer i fysikk, økonomi og andre fagfelt

Vi skal se at derivasjon og integrasjon utfyller hverandre i funksjonsdrøfting, og at vi ofte trenger begge verktøyene for en fullstendig analyse.

Sammenhengen mellom $f$ , $f'$ og $\int f$

La oss starte med å forstå hvordan en funksjon, dens deriverte og dens integral henger sammen.

Hvis $f(x)$ er en funksjon:
- $f'(x)$ forteller oss vekstfarten til $f$ i hvert punkt
- $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ gir oss en funksjon $F$ der $F'(x) = f(x)$

Dette betyr at:
- Derivasjon går fra $F$ til $f$ : $F \xrightarrow{\text{derivasjon}} f$
- Integrasjon går fra $f$ til $F$ : $f \xrightarrow{\text{integrasjon}} F$

Derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner (med forbehold om konstanten $C$ ).

Sammenhengen mellom derivasjon og integrasjon

f

✏️Eksempel 1: Verifisere sammenhengen

La $f(x) = x^3 - 2x$ .

a) Finn $f'(x)$ og deretter $\int f'(x)\,dx$ .
b) Finn $\int f(x)\,dx$ og deretter $\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right]$ .
c) Kommenter resultatene.

Løsning:

a) Vi deriverer først:
$f'(x) = 3x^2 - 2$

Så integrerer vi $f'(x)$ :
$\int (3x^2 - 2)\,dx = x^3 - 2x + C = f(x) + C$

Vi får tilbake $f(x)$ , pluss en konstant.

b) Vi integrerer først:
$\int (x^3 - 2x)\,dx = \frac{x^4}{4} - x^2 + C$

Så deriverer vi resultatet:
$\frac{d}{dx}\left[\frac{x^4}{4} - x^2 + C\right] = x^3 - 2x = f(x)$

Vi får tilbake nøyaktig $f(x)$ .

c) Resultatene viser at:
- Integrasjon etterfulgt av derivasjon gir tilbake originalfunksjonen
- Derivasjon etterfulgt av integrasjon gir originalfunksjonen pluss en konstant

Konstanten forsvinner ved derivasjon, men må legges til ved integrasjon.

📝Oppgave 3.7.1

Verifiser sammenhengen mellom derivasjon og integrasjon for følgende funksjoner.

Finn $f'(x)$ og deretter $\int f'(x)\,dx$ for $f(x) = x^4$

Finn $\int f(x)\,dx$ og deretter $\displaystyle \frac{d}{dx}[\int f(x)\,dx]$ for $f(x) = 2x + 1$

Gjør det samme for $f(x) = e^x$

Gjør det samme for $f(x) = \sin x$

Bestemme $f(x)$ når $f'(x)$ og et punkt er gitt

En viktig anvendelse av integrasjon er å rekonstruere en funksjon fra dens deriverte.

Hvis vi kjenner $f'(x)$ , kan vi integrere for å finne $f(x)$ :
$f(x) = \int f'(x)\,dx = F(x) + C$

Men dette gir oss uendelig mange løsninger (én for hver verdi av $C$ ). For å finne den spesifikke funksjonen trenger vi tilleggsinformasjon, typisk verdien av $f$ i ett punkt.

📜Bestemme en funksjon fra dens deriverte

Gitt

f'(x)

og betingelsen

f(a) = b

, kan vi finne

f(x)

slik:

Steg 1: Integrer $f'(x)$ :
$f(x) = \int f'(x)\,dx = F(x) + C$

Steg 2: Bruk betingelsen $f(a) = b$ til å bestemme $C$ :
$f(a) = F(a) + C = b \quad \Rightarrow \quad C = b - F(a)$

Steg 3: Sett inn verdien av $C$ for å få den endelige funksjonen.

✏️Eksempel 2: Finne f(x) fra f'(x) og et punkt

En funksjon $f$ har den deriverte $f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$ .
Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 5)$ .
Bestem $f(x)$ .

Løsning:

Steg 1: Vi integrerer $f'(x)$ :
$f(x) = \int (3x^2 - 4x + 1)\,dx = x^3 - 2x^2 + x + C$

Steg 2: Vi bruker at $f(2) = 5$ :
$f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 + C = 8 - 8 + 2 + C = 2 + C = 5$
$C = 3$

Steg 3: Den endelige funksjonen er:
$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3$

Sjekk: $f(2) = 8 - 8 + 2 + 3 = 5$ ✓

📝Oppgave 3.7.2

Bestem funksjonen $f(x)$ i hvert tilfelle.

f'(x) = 2x - 3

f(1) = 4

f'(x) = 6x^2 + 2x

f(0) = 1

f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2

f(-1) = 0

f'(x) = e^x

f(0) = 2

Flere initialbetingelser

Noen ganger får vi oppgitt flere betingelser, for eksempel både $f(a)$ og $f'(a)$ . Dette skjer ofte når vi starter fra den andrederiverte $f''(x)$ .

Hvert integrasjonstrinn introduserer én ny konstant, så:
- Fra $f''(x)$ til $f'(x)$ : én konstant $C_1$
- Fra $f'(x)$ til $f(x)$ : én konstant $C_2$

Vi trenger like mange betingelser som vi har konstanter.

✏️Eksempel 2b: Finne f(x) fra f''(x) og to betingelser

Finn $f(x)$ når $f''(x) = 12x - 6$ , $f'(1) = 3$ og $f(1) = 5$ .

Løsning:

Steg 1: Integrer $f''(x)$ for å finne $f'(x)$ :
$f'(x) = \int (12x - 6)\,dx = 6x^2 - 6x + C_1$

Bruk $f'(1) = 3$ :
$f'(1) = 6(1)^2 - 6(1) + C_1 = 6 - 6 + C_1 = C_1 = 3$

Så $f'(x) = 6x^2 - 6x + 3$ .

Steg 2: Integrer $f'(x)$ for å finne $f(x)$ :
$f(x) = \int (6x^2 - 6x + 3)\,dx = 2x^3 - 3x^2 + 3x + C_2$

Bruk $f(1) = 5$ :
$f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 3(1) + C_2 = 2 - 3 + 3 + C_2 = 2 + C_2 = 5$
$C_2 = 3$

Svar: $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 3x + 3$

Sjekk:
- $f'(x) = 6x^2 - 6x + 3$ , så $f'(1) = 6 - 6 + 3 = 3$ ✓
- $f''(x) = 12x - 6$ ✓
- $f(1) = 2 - 3 + 3 + 3 = 5$ ✓

📝Oppgave 3.7.2b

Bestem funksjonen $f(x)$ fra den gitte andrederiverte og betingelsene.

f''(x) = 6x

f'(0) = 2

f(0) = 1

f''(x) = 2

f'(1) = 0

f(1) = 3

f''(x) = e^x

f'(0) = 1

f(0) = 0

Arealet under grafen som funksjon av $x$

Vi har tidligere brukt det bestemte integralet til å beregne arealet under en graf mellom to faste grenser. Nå skal vi se på arealet som en funksjon der den øvre grensen varierer.

Hvis vi lar $x$ være den øvre grensen, får vi en arealfunksjon som forteller oss arealet fra et fast startpunkt $a$ til en variabel øvre grense $x$ .

Arealfunksjonen

f(t) \geq 0

📜Analysens fundamentalteorem (del 1)

Hvis

f

er kontinuerlig på

[a, b]

A(x) = \int_a^x f(t)\,dt

, så er:

$A'(x) = f(x)$

Med andre ord: Den deriverte av arealfunksjonen er lik integranden.

Dette betyr at vekstfarten til arealet i punktet $x$ er lik funksjonsverdien $f(x)$ i det punktet.

✏️Eksempel 3: Analysere en arealfunksjon

La $f(t) = t^2$ og definer arealfunksjonen $A(x) = \int_0^x t^2\,dt$ .

a) Regn ut $A(x)$ eksplisitt.
b) Finn $A'(x)$ ved å derivere svaret fra a).
c) Verifiser at $A'(x) = f(x)$ .
d) Beregn $A(1)$ , $A(2)$ og $A(3)$ , og forklar hva tallene betyr geometrisk.

Løsning:

a) Vi regner ut det bestemte integralet:
$A(x) = \int_0^x t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^x = \frac{x^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{x^3}{3}$

b) Vi deriverer:
$A'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)' = \frac{3x^2}{3} = x^2$

c) Vi ser at $A'(x) = x^2 = f(x)$ ✓

Dette stemmer med analysens fundamentalteorem.

d) Vi beregner:
- $\displaystyle A(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$ : Arealet under $f(t) = t^2$ fra $t = 0$ til $t = 1$
- $\displaystyle A(2) = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3}$ : Arealet fra $t = 0$ til $t = 2$
- $\displaystyle A(3) = \frac{3^3}{3} = 9$ : Arealet fra $t = 0$ til $t = 3$

Vi ser at arealet vokser raskt etter hvert som $x$ øker.

📝Oppgave 3.7.3

La $A(x) = \int_1^x (2t + 1)\,dt$ for $x \geq 1$ .

Regn ut $A(x)$ eksplisitt

Finn $A'(x)$ og verifiser at $A'(x) = 2x + 1$

For hvilken verdi av $x$ er $A(x) = 0$ ?

Beregn $A(3)$ og forklar hva tallet betyr

Fundamentalteoremet med kjerneregel

Hva om den øvre grensen ikke bare er $x$ , men en funksjon $g(x)$ ?

For eksempel, hva er den deriverte av $A(x) = \int_0^{x^2} f(t)\,dt$ ?

Her må vi bruke kjerneregelen.

📜Fundamentalteoremet med kjerneregel

Hvis

f

er kontinuerlig og

g

er deriverbar, så er:

$\frac{d}{dx}\left[\int_a^{g(x)} f(t)\,dt\right] = f(g(x)) \cdot g'(x)$

Forklaring: Vi deriverer først med hensyn på den øvre grensen (gir $f(g(x))$ ), og multipliserer med den deriverte av selve grensen (kjerneregelen).

✏️Eksempel 3b: Derivere integral med variabel grense

Finn den deriverte av:

a) $A(x) = \int_0^{x^2} t^3\,dt$

b) $B(x) = \int_1^{\sin x} e^t\,dt$

c) $C(x) = \int_{x}^{x^2} t\,dt$

Løsning:

a) Her er $f(t) = t^3$ og $g(x) = x^2$ , så $g'(x) = 2x$ .

$A'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) = (x^2)^3 \cdot 2x = x^6 \cdot 2x = 2x^7$

b) Her er $f(t) = e^t$ og $g(x) = \sin x$ , så $g'(x) = \cos x$ .

$B'(x) = f(\sin x) \cdot \cos x = e^{\sin x} \cdot \cos x$

c) Her må vi splitte integralet:
$C(x) = \int_{x}^{x^2} t\,dt = \int_0^{x^2} t\,dt - \int_0^{x} t\,dt$

$C'(x) = x^2 \cdot 2x - x \cdot 1 = 2x^3 - x$

Sjekk c): Vi kan også regne ut $C(x)$ eksplisitt:
$C(x) = \left[\frac{t^2}{2}\right]_x^{x^2} = \frac{x^4}{2} - \frac{x^2}{2}$
$C'(x) = 2x^3 - x \; \checkmark$

📝Oppgave 3.7.3b

Finn den deriverte av følgende integralfunksjoner.

F(x) = \int_0^{x^3} \sqrt{t}\,dt

\displaystyle G(x) = \int_1^{e^x} \frac{1}{t}\,dt

H(x) = \int_{x}^{2x} t^2\,dt

K(x) = \int_0^{\cos x} e^{t^2}\,dt

Analysere hvordan arealet vokser

Arealfunksjonen $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ forteller oss hvor raskt arealet akkumuleres. Siden $A'(x) = f(x)$ , kan vi bruke egenskapene til $f$ til å forstå veksten av $A$ :

- Når $f(x) > 0$ : Arealet $A$ vokser (fordi $A'(x) > 0$ )
- Når $f(x) < 0$ : Arealet $A$ synker (fordi $A'(x) < 0$ )
- Når $f(x) = 0$ : Arealet $A$ har et mulig ekstremalpunkt

Dette gir en dypere forståelse av sammenhengen mellom en funksjon og dens integral.

✏️Eksempel 4: Vekst av arealfunksjonen

La $f(t) = 4 - t$ og $A(x) = \int_0^x (4-t)\,dt$ for $0 \leq x \leq 6$ .

a) Regn ut $A(x)$ eksplisitt.
b) Når vokser $A(x)$ ? Når synker $A(x)$ ?
c) Finn maksimumspunktet til $A(x)$ og forklar hvorfor dette skjer.
d) Skisser grafene til $f$ og $A$ i samme koordinatsystem.

Løsning:

a) Vi integrerer:
$A(x) = \int_0^x (4-t)\,dt = \left[4t - \frac{t^2}{2}\right]_0^x = 4x - \frac{x^2}{2}$

b) Vi vet at $A'(x) = f(x) = 4 - x$ .

- $A'(x) > 0$ når $4 - x > 0$ , dvs. når $x < 4$ : $A$ vokser
- $A'(x) < 0$ når $4 - x < 0$ , dvs. når $x > 4$ : $A$ synker

c) Maksimum skjer når $A'(x) = 0$ , dvs. når $x = 4$ .

$A(4) = 4 \cdot 4 - \frac{16}{2} = 16 - 8 = 8$

Maksimumspunktet er $(4, 8)$ .

Forklaring: Når $x = 4$ krysser $f(t) = 4 - t$ $t$ -aksen. For $t > 4$ er $f(t) < 0$ , og areal under $x$ -aksen trekkes fra. Derfor begynner totalarealet å synke etter $x = 4$ .

d) Grafen til $f(t) = 4 - t$ er en rett linje som synker fra $(0, 4)$ og krysser $t$ -aksen i $(4, 0)$ .
Grafen til $\displaystyle A(x) = 4x - \frac{x^2}{2}$ er en parabel med topp i $(4, 8)$ .

📝Oppgave 3.7.4

La $f(t) = t^2 - 4$ og $A(x) = \int_0^x (t^2 - 4)\,dt$ for $x \geq 0$ .

Regn ut $A(x)$ eksplisitt

For hvilke verdier av $x$ vokser $A(x)$ ?

Finn eventuelle ekstremalpunkter til $A(x)$ for $x \geq 0$

Hva forteller det negative arealet $A(2)$ oss?

Gjennomsnittsverdien til en funksjon

Integralet kan brukes til å finne gjennomsnittsverdien til en funksjon over et intervall. Dette er viktig i mange praktiske sammenhenger.

Gjennomsnittsverdi av en funksjon

f

✏️Eksempel 4b: Gjennomsnittsverdi

Temperaturen i et rom over en 6-timersperiode er gitt ved $\displaystyle T(t) = 20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ grader Celsius, der $t$ er tiden i timer fra $t = 0$ til $t = 6$ .

a) Finn gjennomsnittstemperaturen over de 6 timene.
b) Når er temperaturen lik gjennomsnittet?

Løsning:

a) Gjennomsnittstemperaturen er:
$\bar{T} = \frac{1}{6-0} \int_0^6 \left(20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,dt$

Vi regner ut integralet:
$\int_0^6 \left(20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\,dt = \left[20t - \frac{24}{\pi}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right]_0^6$

$= \left(120 - \frac{24}{\pi}\cos(\pi)\right) - \left(0 - \frac{24}{\pi}\cos(0)\right)$

$= 120 - \frac{24}{\pi}(-1) + \frac{24}{\pi}(1) = 120 + \frac{48}{\pi}$

Gjennomsnittet:
$\bar{T} = \frac{1}{6}\left(120 + \frac{48}{\pi}\right) = 20 + \frac{8}{\pi} \approx 22{,}55°C$

b) Vi løser $T(t) = \bar{T}$ :
$20 + 4\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = 20 + \frac{8}{\pi}$
$\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) = \frac{2}{\pi}$
$\frac{\pi t}{6} = \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0{,}69$
$t \approx 1{,}32 \text{ timer}$

Temperaturen er også lik gjennomsnittet ved $t = 6 - 1{,}32 = 4{,}68$ timer (symmetri).

📝Oppgave 3.7.4b

Finn gjennomsnittsverdien til følgende funksjoner på de gitte intervallene.

f(x) = x^2

på

[0, 3]

g(x) = e^x

på

[0, 1]

h(x) = \cos x

på

[0, \pi]

Forklar geometrisk hvorfor svaret i c) er null

Kombinere derivasjon og integrasjon i drøfting

En fullstendig funksjonsdrøfting kan involvere både derivasjon og integrasjon. Vi kan:

1. Gå fra $f$ til $f'$ (derivasjon): Finne stigningsforhold, ekstremalpunkter, vendepunkter
2. Gå fra $f'$ til $f$ (integrasjon): Rekonstruere $f$ fra vekstfarten
3. Gå fra $f$ til arealfunksjonen: Analysere akkumulerte verdier

Denne fleksibiliteten er særlig nyttig når vi arbeider med praktiske problemer der vi får oppgitt ulike typer informasjon.

📜Kjedegang gjennom funksjonshierarkiet

For en tre ganger deriverbar funksjon

f

har vi følgende sammenheng:

$\cdots \xleftarrow{\int} f''(x) \xleftarrow{\int} f'(x) \xleftarrow{\int} f(x) \xleftarrow{\int} F(x) \xleftarrow{\int} \cdots$

$\cdots \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f''(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f'(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} f(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} F(x) \xrightarrow{\frac{d}{dx}} \cdots$

Hver pil representerer enten derivasjon (høyre) eller integrasjon (venstre).

✏️Eksempel 5: Fullstendig drøfting

En funksjon $f$ oppfyller $f''(x) = 6x$ , $f'(0) = 2$ og $f(0) = 1$ .

a) Finn $f'(x)$ .
b) Finn $f(x)$ .
c) Finn nullpunktene til $f$ .
d) Finn ekstremalpunktene til $f$ og avgjør om de er maksimum eller minimum.
e) Finn arealfunksjonen $A(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ .

Løsning:

a) Vi integrerer $f''(x)$ :
$f'(x) = \int 6x\,dx = 3x^2 + C_1$
Fra $f'(0) = 2$ : $3 \cdot 0^2 + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2$
$f'(x) = 3x^2 + 2$

b) Vi integrerer $f'(x)$ :
$f(x) = \int (3x^2 + 2)\,dx = x^3 + 2x + C_2$
Fra $f(0) = 1$ : $0 + 0 + C_2 = 1 \Rightarrow C_2 = 1$
$f(x) = x^3 + 2x + 1$

c) Nullpunkter: $x^3 + 2x + 1 = 0$

Ved numerisk metode eller CAS finner vi ett reelt nullpunkt ca. $x \approx -0{,}453$ .

d) Ekstremalpunkter: $f'(x) = 3x^2 + 2 = 0$ gir $\displaystyle x^2 = -\frac{2}{3}$ , som ikke har reelle løsninger.

Siden $f'(x) = 3x^2 + 2 > 0$ for alle $x$ , har $f$ ingen ekstremalpunkter.

e) Arealfunksjonen:
$A(x) = \int_0^x (t^3 + 2t + 1)\,dt = \left[\frac{t^4}{4} + t^2 + t\right]_0^x = \frac{x^4}{4} + x^2 + x$

📝Oppgave 3.7.5

En funksjon $g$ oppfyller $g''(x) = 12x - 6$ , $g'(1) = 0$ og $g(1) = 2$ .

Finn $g'(x)$

Finn $g(x)$

Finn og klassifiser alle ekstremalpunktene til $g$

Finn $\int_0^1 g(x)\,dx$ og tolk svaret geometrisk

Skissere graf fra informasjon om den deriverte

Ofte får vi informasjon om $f'(x)$ (enten som formel, graf eller tabell) og skal bruke dette til å tegne grafen til $f(x)$ . Her bruker vi integrasjon implisitt.

Nøkkelprinsipper:
- $f'(x) > 0$ betyr at $f$ stiger
- $f'(x) < 0$ betyr at $f$ synker
- $f'(x) = 0$ kan være et ekstremalpunkt for $f$
- $f'$ skifter fortegn i et ekstremalpunkt for $f$
- Stor $|f'(x)|$ betyr bratt graf, liten $|f'(x)|$ betyr slak graf

✏️Eksempel 5b: Skissere f fra grafen til f'

Grafen til $f'(x)$ er en parabel med toppunkt i $(1, 4)$ som krysser $x$ -aksen i $x = -1$ og $x = 3$ . Vi vet at $f(0) = 2$ .

a) Finn et uttrykk for $f'(x)$ .
b) Finn $f(x)$ .
c) Finn ekstremalpunktene til $f$ .
d) Skisser grafen til $f$ .

Løsning:

a) En parabel med nullpunkter i $x = -1$ og $x = 3$ kan skrives:
$f'(x) = a(x+1)(x-3)$

Toppunktet er i $x = 1$ (midt mellom nullpunktene). Der er $f'(1) = 4$ :
$f'(1) = a(1+1)(1-3) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a = 4$
$a = -1$

Så $f'(x) = -(x+1)(x-3) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3$

b) Vi integrerer:
$f(x) = \int(-x^2 + 2x + 3)\,dx = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + C$

Fra $f(0) = 2$ : $0 + 0 + 0 + C = 2$ , så $C = 2$ .

$f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x + 2$

c) Ekstremalpunkter der $f'(x) = 0$ : $x = -1$ og $x = 3$

- For $x < -1$ : $f'(x) < 0$ (synker)
- For $-1 < x < 3$ : $f'(x) > 0$ (stiger)
- For $x > 3$ : $f'(x) < 0$ (synker)

Så: Minimum i $x = -1$ og maksimum i $x = 3$ .

$\displaystyle f(-1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 + 2 = \frac{1}{3}$

$f(3) = -9 + 9 + 9 + 2 = 11$

d) Grafen til $f$ har minimum $\displaystyle (−1, \frac{1}{3})$ , maksimum $(3, 11)$ , og går gjennom $(0, 2)$ .

📝Oppgave 3.7.5b

Grafen til $f'(x)$ går gjennom punktene $(-2, 0)$ , $(0, -4)$ og $(2, 0)$ , og er en parabel. Vi vet at $f(0) = 0$ .

Finn $f'(x)$

Finn $f(x)$

Finn og klassifiser ekstremalpunktene til $f$

Finn vendepunktet til $f$

Tolkning av integral i kontekst

Integraler har viktige tolkninger i mange fagfelt:

Fysikk:
- Hvis $v(t)$ er hastighet, er $\int_a^b v(t)\,dt$ tilbakelagt strekning (med fortegn)
- Hvis $a(t)$ er akselerasjon, er $\int_a^b a(t)\,dt$ endring i hastighet
- Hvis $P(t)$ er effekt, er $\int_a^b P(t)\,dt$ arbeid/energi

Økonomi:
- Hvis $r(t)$ er en rente (momentan vekstrate), er $\int_a^b r(t)\,dt$ total akkumulert vekst
- Hvis $MC(x)$ er marginalkostnad, er $\int_a^b MC(x)\,dx$ endring i totalkostnad

Generelt: Integralet av en rate gir den totale mengden.

Integral som akkumulert mengde

r(t)

✏️Eksempel 6: Fysikk - bevegelse

En partikkel beveger seg langs en rett linje med hastighet $v(t) = 3t^2 - 6t$ m/s for $t \geq 0$ .

a) Finn posisjonen $s(t)$ gitt at $s(0) = 2$ m.
b) Finn den totale tilbakelagte strekningen i løpet av de første 4 sekundene.
c) Finn netto forflytning (endring i posisjon) fra $t = 0$ til $t = 4$ .

Løsning:

a) Posisjonen er integralet av hastigheten:
$s(t) = \int v(t)\,dt = \int (3t^2 - 6t)\,dt = t^3 - 3t^2 + C$
Fra $s(0) = 2$ : $0 - 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2$
$s(t) = t^3 - 3t^2 + 2$

b) Total tilbakelagt strekning tar hensyn til retningsskifter.

$v(t) = 3t^2 - 6t = 3t(t - 2) = 0$ når $t = 0$ eller $t = 2$ .

- For $0 < t < 2$ : $v(t) < 0$ (partikkelen beveger seg bakover)
- For $t > 2$ : $v(t) > 0$ (partikkelen beveger seg fremover)

Total strekning:
$\int_0^4 |v(t)|\,dt = \int_0^2 |3t^2 - 6t|\,dt + \int_2^4 |3t^2 - 6t|\,dt$
$= -\int_0^2 (3t^2 - 6t)\,dt + \int_2^4 (3t^2 - 6t)\,dt$
$= -[t^3 - 3t^2]_0^2 + [t^3 - 3t^2]_2^4$
$= -(8 - 12 - 0) + (64 - 48 - 8 + 12)$
$= -(-4) + 20 = 4 + 20 = 24 \text{ m}$

c) Netto forflytning:
$\int_0^4 v(t)\,dt = [t^3 - 3t^2]_0^4 = 64 - 48 = 16 \text{ m}$

Eller: $s(4) - s(0) = (64 - 48 + 2) - 2 = 16$ m

📝Oppgave 3.7.6

En bil har akselerasjon $a(t) = 6 - 2t$ m/s $^2$ for $t \geq 0$ . Ved $t = 0$ har bilen hastighet $v(0) = 10$ m/s og posisjon $s(0) = 0$ m.

Finn hastighetsfunksjonen $v(t)$

Finn posisjonsfunksjonen $s(t)$

Når stopper bilen?

Hvor langt har bilen kjørt når den stopper?

✏️Eksempel 7: Okonomi - marginalanalyse

En bedrift har marginalkostnad gitt ved $MC(x) = 3x^2 - 12x + 15$ kroner per enhet, der $x$ er antall enheter produsert. De faste kostnadene (kostnaden ved $x = 0$ ) er 1000 kr.

a) Finn totalkostnadsfunksjonen $K(x)$ .
b) Hvor mye koster det å produsere de første 10 enhetene?
c) Hvor mye koster det å øke produksjonen fra 10 til 20 enheter?

Løsning:

a) Totalkostnaden er integralet av marginalkostnaden:
$K(x) = \int MC(x)\,dx = \int (3x^2 - 12x + 15)\,dx = x^3 - 6x^2 + 15x + C$

Faste kostnader: $K(0) = 1000$ , så $C = 1000$ .
$K(x) = x^3 - 6x^2 + 15x + 1000$

b) Kostnad for de første 10 enhetene:
$K(10) = 1000 - 600 + 150 + 1000 = 1550 \text{ kr}$

(Merk: Vi regner $K(10) = 10^3 - 6 \cdot 10^2 + 15 \cdot 10 + 1000 = 1000 - 600 + 150 + 1000 = 1550$ )

c) Kostnadsøkning fra 10 til 20 enheter:
$K(20) - K(10) = \int_{10}^{20} MC(x)\,dx = \int_{10}^{20} (3x^2 - 12x + 15)\,dx$
$= [x^3 - 6x^2 + 15x]_{10}^{20}$
$= (8000 - 2400 + 300) - (1000 - 600 + 150)$
$= 5900 - 550 = 5350 \text{ kr}$

Alternativt: $K(20) = 20^3 - 6 \cdot 20^2 + 15 \cdot 20 + 1000 = 8000 - 2400 + 300 + 1000 = 6900$ kr
$K(20) - K(10) = 6900 - 1550 = 5350$ kr ✓

📝Oppgave 3.7.7

En bedrift har marginalinntekt $MR(x) = 100 - 2x$ kroner per enhet, der $x$ er antall enheter solgt.

Finn totalinntektsfunksjonen $R(x)$ gitt at $R(0) = 0$

Finn gjennomsnittsinntekten per enhet, $\displaystyle \overline{R}(x) = \frac{R(x)}{x}$

For hvilken verdi av $x$ er totalinntekten størst?

Beregn den maksimale totalinntekten

✏️Eksempel 7b: Fritt fall med luftmotstand

En gjenstand slippes fra ro og faller med akselerasjon $a(t) = g - kv(t)$ , der $g = 10$ m/s $^2$ er tyngdeakselerasjonen og $k = 0{,}5$ s $^{-1}$ er en luftmotstandskonstant.

For små hastigheter kan vi tilnærme $a(t) \approx 10 - 0{,}5 \cdot 10t = 10 - 5t$ m/s $^2$ for $0 \leq t \leq 2$ s.

a) Finn $v(t)$ for $0 \leq t \leq 2$ .
b) Finn $s(t)$ (fallhøyde) for $0 \leq t \leq 2$ .
c) Hvor langt har gjenstanden falt etter 2 sekunder?

Løsning:

a) Hastigheten er integralet av akselerasjonen:
$v(t) = \int (10 - 5t)\,dt = 10t - \frac{5t^2}{2} + C$

Fra $v(0) = 0$ (slippes fra ro): $C = 0$

$v(t) = 10t - 2{,}5t^2$

b) Fallhøyden er integralet av hastigheten:
$s(t) = \int (10t - 2{,}5t^2)\,dt = 5t^2 - \frac{2{,}5t^3}{3} + C$

Fra $s(0) = 0$ : $C = 0$

$s(t) = 5t^2 - \frac{5t^3}{6}$

c) Etter 2 sekunder:
$s(2) = 5 \cdot 4 - \frac{5 \cdot 8}{6} = 20 - \frac{40}{6} = 20 - 6{,}67 \approx 13{,}3 \text{ m}$

Sammenligning: Uten luftmotstand ville $\displaystyle s(2) = \frac{1}{2}gt^2 = 5 \cdot 4 = 20$ m.
Luftmotstanden har redusert fallet med ca. 6,7 m.

📝Oppgave 3.7.7b

En rakett skytes rett opp med startfart $v_0 = 50$ m/s. Akselerasjonen er $a(t) = -10$ m/s $^2$ (tyngdekraften).

Finn $v(t)$

Finn høyden $h(t)$ når $h(0) = 0$

Når er raketten på sitt høyeste?

Hva er maksimal høyde?

Når treffer raketten bakken?

Eksamensrelevante oppgaver

Funksjonsdrøfting med integrasjon er et viktig tema på eksamen i R2. Typiske oppgavetyper inkluderer:

1. Finne $f(x)$ når $f'(x)$ og et punkt er gitt
2. Drøfte arealfunksjoner og tolke resultater
3. Kombinere derivasjon og integrasjon i samme oppgave
4. Anvende integraler i praktiske kontekster
5. Vise sammenhenger mellom $f$ , $f'$ , $f''$ og integraler
6. Tolke grafer av $f'$ for å forstå $f$

De følgende oppgavene er typiske eksamensoppgaver som tester flere aspekter av dette temaet.

✏️Eksempel 8: Eksamensoppgave

Grafen til $f'(x)$ er vist. Funksjonen $f'$ er gitt ved $f'(x) = -x^2 + 4$ .

a) Bestem $f(x)$ når $f(0) = 3$ .
b) Finn nullpunktene til $f$ .
c) Finn og klassifiser ekstremalpunktene til $f$ .
d) Beregn arealet av området mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen for $-2 \leq x \leq 2$ .

Løsning:

a) Vi integrerer:
$f(x) = \int (-x^2 + 4)\,dx = -\frac{x^3}{3} + 4x + C$
Fra $f(0) = 3$ : $0 + 0 + C = 3 \Rightarrow C = 3$
$f(x) = -\frac{x^3}{3} + 4x + 3$

b) Nullpunkter: $\displaystyle -\frac{x^3}{3} + 4x + 3 = 0$

Multipliser med $-3$ : $x^3 - 12x - 9 = 0$

Ved CAS eller numerisk metode finner vi $x \approx -2{,}81$ , $x \approx -0{,}73$ og $x \approx 3{,}54$ .

c) Ekstremalpunkter: $f'(x) = -x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$

$f''(x) = -2x$
- $f''(-2) = 4 > 0$ : Minimum i $x = -2$
- $f''(2) = -4 < 0$ : Maksimum i $x = 2$

$\displaystyle f(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2) + 3 = \frac{8}{3} - 8 + 3 = \frac{8}{3} - 5 = -\frac{7}{3}$

$\displaystyle f(2) = -\frac{8}{3} + 8 + 3 = -\frac{8}{3} + 11 = \frac{25}{3}$

Minimum: $\displaystyle (-2, -\frac{7}{3})$ , Maksimum: $\displaystyle (2, \frac{25}{3})$

d) Siden $f(-2) < 0$ og $f(2) > 0$ , må vi finne hvor grafen krysser $x$ -aksen mellom $-2$ og $2$ .

Fra b) vet vi at det er et nullpunkt ca. $x_0 \approx -0{,}73$ .

Areal $= \left|\int_{-2}^{x_0} f(x)\,dx\right| + \int_{x_0}^{2} f(x)\,dx$

$\displaystyle \int f(x)\,dx = -\frac{x^4}{12} + 2x^2 + 3x + C$

Med numerisk beregning blir arealet ca. $\approx 11{,}6$ .

📝Oppgave 3.7.8

En funksjon $f$ er gitt ved $f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ . Vi vet at $f(2) = 0$ .

Bestem $f(x)$

Finn og klassifiser ekstremalpunktene til $f$

Finn arealfunksjonen $A(x) = \int_1^x f(t)\,dt$

For hvilke verdier av $x > 1$ er $A(x) = 0$ ?

📝Oppgave 3.7.9

Vannstanden i en tank endrer seg med raten $r(t) = 10 - 2t$ liter per minutt, der $t$ er tiden i minutter. Ved $t = 0$ er det 50 liter vann i tanken.

Finn vannmengden $V(t)$ som funksjon av tiden

Når er vannmengden størst, og hvor mye vann er det da?

Når er tanken tom?

Hvor mye vann renner totalt inn i tanken de første 5 minuttene?

📝Oppgave 3.7.10

La $f(x) = x \cdot e^{-x}$ for $x \geq 0$ .

Vis at $f'(x) = (1-x)e^{-x}$

Finn ekstremalpunktene til $f$

Vis at $\int f(x)\,dx = -(x+1)e^{-x} + C$ ved å derivere høyre side

Beregn $\int_0^{\infty} f(x)\,dx$ og tolk resultatet

📝Oppgave 3.7.11

En funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ .

Finn nullpunktene til $f$

Finn ekstremalpunktene til $f$ og avgjør om de er maksimum eller minimum

Beregn $\int_0^2 |f(x)|\,dx$

Finn gjennomsnittet av $f$ på $[0, 2]$

📝Oppgave 3.7.12

La $G(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt$ for $x \geq 0$ . (Dette er relatert til feilfunksjonen $\text{erf}$ , som ikke har elementær antiderivert.)

Finn $G'(x)$

Bestem $G(0)$

Er $G$ voksende eller avtagende for $x > 0$ ? Begrunn.

Finn $G''(x)$ og bestem vendepunktet til $G$

Skisser grafen til $G(x)$ basert på informasjonen ovenfor

📝Oppgave 3.7.13

En befolkning vokser med raten $r(t) = 1000 \cdot e^{0{,}02t}$ personer per år, der $t$ er antall år fra nå. Dagens befolkning er 50 000.

Finn befolkningen $P(t)$ som funksjon av $t$

Hvor stor er befolkningen om 10 år?

Hvor mange flere personer er det etter 10 år sammenlignet med nå?

Når dobler befolkningen seg?

📝Oppgave 3.7.14

Konsumentoverskuddet er definert som $KO = \int_0^{x^*} (D(x) - p^*)\,dx$ , der $D(x)$ er etterspørselsfunksjonen, $p^*$ er markedsprisen og $x^*$ er solgt kvantum. Anta $D(x) = 100 - x^2$ og markedspris $p^* = 75$ .

Finn solgt kvantum $x^*$ ved markedspris

Beregn konsumentoverskuddet

Tolk konsumentoverskuddet geometrisk

Hva skjer med konsumentoverskuddet hvis prisen synker til $p^* = 64$ ?

Oppsummering

I dette kapitlet har vi lært:

1. Sammenhengen mellom $f$ , $f'$ og $\int f$ :
- Derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner
- $\displaystyle \frac{d}{dx}[\int f(x)\,dx] = f(x)$ og $\int f'(x)\,dx = f(x) + C$

2. Bestemme $f(x)$ fra $f'(x)$ :
- Integrer $f'(x)$ og bruk et kjent punkt til å finne konstanten $C$
- For to betingelser (fra $f''$ ): integrer to ganger med to konstanter

3. Arealfunksjonen $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ :
- $A'(x) = f(x)$ (analysens fundamentalteorem)
- Arealet vokser når $f(x) > 0$ og synker når $f(x) < 0$
- Med kjerneregel: $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$

4. Gjennomsnittsverdi:
- $\displaystyle \bar{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

5. Praktiske anvendelser:
- Fysikk: Posisjon fra hastighet, hastighet fra akselerasjon
- Økonomi: Totalkostnad fra marginalkostnad, konsumentoverskudd
- Generelt: Integralet av en rate gir den akkumulerte mengden

Kombinasjonen av derivasjon og integrasjon gir et kraftig verktøy for fullstendig funksjonsanalyse.

Tips til eksamen:

1. Les oppgaven nøye - identifiser om du skal derivere, integrere, eller begge deler.

2. Sjekk svarene dine - deriver integralet for å verifisere at du får tilbake integranden.

3. Ikke glem konstantene - hver integrasjon gir en ny konstant $C$ .

4. Bruk initialbetingelser - sett alltid inn kjente verdier for å finne $C$ .

5. Tegn skisse - en graf hjelper deg å forstå problemet og verifisere svar.

6. Fortegnsanalyse - bruk fortegnet til $f'$ for å bestemme vekst/avtagning av $f$ .

7. Fysiske enheter - i praktiske problemer, sjekk at enhetene stemmer.

Funksjonsdrøfting med integrasjon

Sammenhengen mellom fff, f′f'f′ og ∫f\int f∫f

Bestemme f(x)f(x)f(x) når f′(x)f'(x)f′(x) og et punkt er gitt

Flere initialbetingelser

Arealet under grafen som funksjon av xxx

Fundamentalteoremet med kjerneregel

Analysere hvordan arealet vokser

Gjennomsnittsverdien til en funksjon

Kombinere derivasjon og integrasjon i drøfting

Skissere graf fra informasjon om den deriverte

Tolkning av integral i kontekst

Eksamensrelevante oppgaver

Oppsummering

Sammenhengen mellom $f$ , $f'$ og $\int f$

Bestemme $f(x)$ når $f'(x)$ og et punkt er gitt

Arealet under grafen som funksjon av $x$