Integrasjon ved delvis integrasjon.
I forrige kapittel larte vi substitusjon, som er kjerneregelen baklens. Na skal vi lare en annen viktig integrasjonsteknikk: delvis integrasjon.
Delvis integrasjon brukes nar vi skal integrere et produkt av to funksjoner, for eksempel eller .
Ideen er a bruke produktregelen for derivasjon baklens. La oss forst huske produktregelen:
Hvis vi integrerer begge sider, far vi:
Ved a omorganisere denne likningen, kan vi utlede formelen for delvis integrasjon.
Vi starter med produktregelen:
Integrerer vi begge sider med hensyn på :
Venstre side er bare (integralet av den deriverte gir tilbake funksjonen):
Na loser vi for :
Dette er formelen for delvis integrasjon!
Eller med differensialnotasjon ( og ):
Merk: Malet er at integralet på hoyre side () skal vare enklere å løse enn det opprinnelige integralet.
Finn .
Vi bruker delvis integrasjon med:
-
-
Setter inn i formelen :
Sjekk ved derivasjon:
✓
Bruk delvis integrasjon til å finne integralene.
Det viktigste ved delvis integrasjon er a velge riktig og . Malet er at det nye integralet skal vare enklere enn det opprinnelige.
En nyttig huskeregel er LIATE (eller LIPET på norsk), som gir prioritetsrekkefolge for valg av :
| Prioritet | Type funksjon | Eksempler |
|---|---|---|
| 1 | Logaritmer | , |
| 2 | Inverse trigonometriske | , |
| 3 | Algebraiske (polynomer) | , , |
| 4 | Trigonometriske | , |
| 5 | Eksponentialfunksjoner | , |
- Logaritmer og inverse trigonometriske funksjoner er vanskelige a integrere, men enkle a derivere.
- Polynomer blir enklere nar de deriveres ().
- Eksponentialfunksjoner forandres ikke nar de integreres eller deriveres.
Derfor: Velg funksjoner som blir enklere ved derivasjon som .
Finn .
Ifølge LIATE-regelen: (algebraisk) har høyere prioritet enn (trigonometrisk).
Vi velger:
-
-
Delvis integrasjon gir:
Sjekk: ✓
Bruk delvis integrasjon og LIATE-regelen til å finne integralene.
Finn .
Her har vi tilsynelatende bare en funksjon, men vi kan skrive .
Ifølge LIATE: Logaritmer har høyest prioritet, sa .
Vi velger:
-
-
Delvis integrasjon gir:
Sjekk: ✓
Finn integralene ved a bruke delvis integrasjon.
Noen ganger ma vi bruke delvis integrasjon flere ganger for å løse et integral. Dette skjer typisk nar vi har et polynom av grad 2 eller høyere ganget med en eksponential- eller trigonometrisk funksjon.
For eksempel krever to runder med delvis integrasjon fordi ma deriveres to ganger for a bli en konstant.
Finn .
Første runde:
-
-
Andre runde (pa ):
-
-
Setter sammen:
Sjekk: ✓
Nar vi har et polynom ganget med eller en trigonometrisk funksjon, kan vi bruke en tabellarisk metode som gjor utregningen mer oversiktlig.
Vi setter opp en tabell med tre kolonner:
1. Fortegn: Vekslende og
2. Derivater av : Deriver til du nar 0
3. Integraler av : Integrer like mange ganger
Svaret far vi ved a multiplisere diagonalt og summere.
Bruk tabellarisk metode til å finne .
Vi setter opp tabellen med (deriverer) og (integrerer):
| Fortegn | Derivater av | Integraler av |
|---|---|---|
Bruk gjentatt delvis integrasjon (eller tabellarisk metode) til å finne integralene.
Noen ganger leder delvis integrasjon oss i en sirkel - vi ender opp med det samme integralet vi startet med! Dette skjer typisk med produkter av eksponential- og trigonometriske funksjoner, for eksempel .
Løsningen er a sette opp en likning der integralet vi soker etter er den ukjente, og deretter lose for denne ukjente.
og lose for :
Viktig: Pass på fortegnet foran på hoyre side - det avhenger av valgene av og .
Finn .
La .
Første runde:
-
-
Andre runde (pa ):
-
-
Setter sammen:
Sjekk: ✓
Bruk sirkular delvis integrasjon til å finne integralene.
Merk: Disse formlene kan utledes ved sirkular delvis integrasjon, men er nyttige a ha tilgjengelig for a spare tid.
Nar vi bruker delvis integrasjon på et bestemt integral, har vi to tilnarminger:
Metode 1: Finn forst det ubestemte integralet, og evaluer deretter ved grensene.
Metode 2: Bruk formelen for delvis integrasjon direkte med grenser:
Metode 2 kan vare mer effektiv fordi vi slipper a holde styr på integrasjonskonstanten.
Beregn .
Vi bruker formelen .
Med , , , :
Beregn de bestemte integralene ved hjelp av delvis integrasjon.
Inverse trigonometriske funksjoner som , og er vanskelige a integrere direkte, men enkle a derivere. Derfor velger vi alltid disse som i delvis integrasjon.
Viktige deriverte:
-
-
-
Finn .
Vi skriver og bruker delvis integrasjon.
-
-
For det gjenvarende integralet bruker vi substitusjon , :
Dermed:
Finn integralene som involverer inverse trigonometriske funksjoner.
Finn .
Dette krever to runder med delvis integrasjon.
Første runde:
-
-
Andre runde (pa ):
-
-
Setter sammen:
2. Glemmer fortegn:
Vær nøye med minustegnet i formelen:
3. Glemmer integrasjonskonstanten:
Husk alltid på slutten av ubestemte integraler.
4. Feil ved sirkular integrasjon:
Pass på at integralet dukker opp med riktig fortegn nar du setter opp likningen.
5. Stopper for tidlig:
Ved gjentatt delvis integrasjon, fortsett til polynomet er derivert til 0.
Los disse utfordrende integralene.
Delvis integrasjon har mange praktiske anvendelser:
1. Fysikk - Arbeid og energi:
Arbeidet utfort av en variabel kraft over en strekning er . Nar kraften er et produkt av funksjoner, bruker vi delvis integrasjon.
2. Sannsynlighetsregning:
Forventningsverdi og varians av kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger krever ofte delvis integrasjon.
3. Fourier-analyse:
Beregning av Fourier-koeffisienter involverer integraler av typen og .
4. Differensiallikninger:
Løsning av visse differensiallikninger krever delvis integrasjon.
Finn gjennomsnittsverdien til funksjonen på intervallet .
Gjennomsnittsverdien på er gitt ved:
Vi ma forst beregne .
Med delvis integrasjon (, ):
Gjennomsnittsverdien blir:
Pa eksamen i R2 kommer delvis integrasjon ofte i kombinasjon med andre emner. Typiske oppgaver:
- Finn areal avgrenset av grafer der integralet krever delvis integrasjon
- Beregn volum av omdreiningslegemer
- Finn gjennomsnittsverdier
- Los differensiallikninger
- Beregn forventningsverdi i sannsynlighetsregning
Los disse eksamensrelevante oppgavene.
Finn arealet av omradet avgrenset av , -aksen, og .
Finn volumet nar omradet under fra til roteres om -aksen.
Vis at ved delvis integrasjon.
Blandede oppgaver - velg riktig integrasjonsteknikk.
Bruk delvis integrasjon nar:
1. Du har et produkt av to ulike funksjonstyper
2. Substitusjon ikke fungerer
3. En av funksjonene blir enklere ved derivasjon
Bruk substitusjon nar:
1. Du ser den deriverte av en indre funksjon
2. Integranden har formen
Tips: Prov substitusjon forst - det er ofte raskere!
Formelen for delvis integrasjon:
LIATE-regelen for valg av :
1. Logaritmer
2. Inverse trigonometriske
3. Algebraiske (polynomer)
4. Trigonometriske
5. Eksponentialfunksjoner
Spesielle tilfeller:
- Polynomer av grad krever runder med delvis integrasjon
- Produkter av og trigonometriske funksjoner gir sirkular delvis integrasjon
- er et viktig resultat
Husk:
- Sjekk alltid svaret ved derivasjon
- Ikke glem integrasjonskonstanten
- Vurder om substitusjon er enklere for du starter med delvis integrasjon
Disse resultatene er nyttige a huske og kan brukes direkte i beregninger.
Legg merke til monsteret: koeffisientene er fakulteter med vekslende fortegn.