3.2 Delvis integrasjon

Integrasjon ved delvis integrasjon.

55 min

18 oppgaver

Delvis integrasjonProduktregel baklengsLIATE

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Innledning

I forrige kapittel larte vi substitusjon, som er kjerneregelen baklens. Na skal vi lare en annen viktig integrasjonsteknikk: delvis integrasjon.

Delvis integrasjon brukes nar vi skal integrere et produkt av to funksjoner, for eksempel $x \cdot e^x$ eller $x \cdot \sin(x)$ .

Ideen er a bruke produktregelen for derivasjon baklens. La oss forst huske produktregelen:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Hvis vi integrerer begge sider, far vi:

$u \cdot v = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Ved a omorganisere denne likningen, kan vi utlede formelen for delvis integrasjon.

Utledning av formelen

Vi starter med produktregelen:

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Integrerer vi begge sider med hensyn på $x$ :

$\int (u \cdot v)' \, dx = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Venstre side er bare $u \cdot v$ (integralet av den deriverte gir tilbake funksjonen):

$u \cdot v = \int u' \cdot v \, dx + \int u \cdot v' \, dx$

Na loser vi for $\int u \cdot v' \, dx$ :

$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$

Dette er formelen for delvis integrasjon!

Delvis integrasjon

u = u(x)

✏️Eksempel 1: Integrere $x \cdot e^x$

Finn $\displaystyle\int x \cdot e^x \, dx$ .

Løsning:

Vi bruker delvis integrasjon med:
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

Setter inn i formelen $\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$ :

$\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx$

$= x \cdot e^x - e^x + C$

$= e^x(x - 1) + C$

Sjekk ved derivasjon:
$(e^x(x-1))' = e^x(x-1) + e^x \cdot 1 = e^x \cdot x - e^x + e^x = x \cdot e^x$ ✓

📝Oppgave 3.2.1

Bruk delvis integrasjon til å finne integralene.

\displaystyle\int x \cdot e^{2x} \, dx

\displaystyle\int x \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int 2x \cdot e^x \, dx

Valg av $u$ og $v'$ : LIATE-regelen

Det viktigste ved delvis integrasjon er a velge riktig $u$ og $v'$ . Malet er at det nye integralet $\int u' \cdot v \, dx$ skal vare enklere enn det opprinnelige.

En nyttig huskeregel er LIATE (eller LIPET på norsk), som gir prioritetsrekkefolge for valg av $u$ :

Prioritet	Type funksjon	Eksempler
1	Logaritmer	$\ln x$ , $\log x$
2	Inverse trigonometriske	$\arcsin x$ , $\arctan x$
3	Algebraiske (polynomer)	$x$ , $x^2$ , $x^3$
4	Trigonometriske	$\sin x$ , $\cos x$
5	Eksponentialfunksjoner	$e^x$ , $2^x$

Funksjoner hoyt på listen velges som

u

, mens funksjoner lavt på listen velges som

v'

Hvorfor fungerer LIATE?

- Logaritmer og inverse trigonometriske funksjoner er vanskelige a integrere, men enkle a derivere.
- Polynomer blir enklere nar de deriveres ( $x^3 \to 3x^2 \to 6x \to 6 \to 0$ ).
- Eksponentialfunksjoner forandres ikke nar de integreres eller deriveres.

Derfor: Velg funksjoner som blir enklere ved derivasjon som $u$ .

✏️Eksempel 2: Integrere $x \cdot \sin(x)$

Finn $\displaystyle\int x \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løsning:

Ifølge LIATE-regelen: $x$ (algebraisk) har høyere prioritet enn $\sin(x)$ (trigonometrisk).

Vi velger:
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

Delvis integrasjon gir:

$\int x \cdot \sin(x) \, dx = x \cdot (-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx$

$= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx$

$= -x \cos(x) + \sin(x) + C$

Sjekk: $(-x\cos(x) + \sin(x))' = -\cos(x) + x\sin(x) + \cos(x) = x\sin(x)$ ✓

📝Oppgave 3.2.2

Bruk delvis integrasjon og LIATE-regelen til å finne integralene.

\displaystyle\int x \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int x \cdot \cos(2x) \, dx

\displaystyle\int x \cdot \sin(3x) \, dx

✏️Eksempel 3: Integrere $\ln(x)$

Finn $\displaystyle\int \ln(x) \, dx$ .

Løsning:

Her har vi tilsynelatende bare en funksjon, men vi kan skrive $\ln(x) = \ln(x) \cdot 1$ .

Ifølge LIATE: Logaritmer har høyest prioritet, sa $u = \ln(x)$ .

Vi velger:
- $\displaystyle u = \ln(x) \quad \Rightarrow \quad u' = \frac{1}{x}$
- $v' = 1 \quad \Rightarrow \quad v = x$

Delvis integrasjon gir:

$\int \ln(x) \, dx = \ln(x) \cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x \, dx$

$= x \ln(x) - \int 1 \, dx$

$= x \ln(x) - x + C$

$= x(\ln(x) - 1) + C$

Sjekk: $\displaystyle (x\ln(x) - x)' = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln(x) + 1 - 1 = \ln(x)$ ✓

📝Oppgave 3.2.3

Finn integralene ved a bruke delvis integrasjon.

\displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot \ln(x) \, dx

\displaystyle\int \ln(2x) \, dx

Gjentatt delvis integrasjon

Noen ganger ma vi bruke delvis integrasjon flere ganger for å løse et integral. Dette skjer typisk nar vi har et polynom av grad 2 eller høyere ganget med en eksponential- eller trigonometrisk funksjon.

For eksempel krever $\int x^2 \cdot e^x \, dx$ to runder med delvis integrasjon fordi $x^2$ ma deriveres to ganger for a bli en konstant.

✏️Eksempel 4: Gjentatt delvis integrasjon

Finn $\displaystyle\int x^2 \cdot e^x \, dx$ .

Løsning:

Første runde:
- $u = x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

$\int x^2 \cdot e^x \, dx = x^2 \cdot e^x - \int 2x \cdot e^x \, dx$

Andre runde (pa $\int 2x \cdot e^x \, dx$ ):
- $u = 2x \quad \Rightarrow \quad u' = 2$
- $v' = e^x \quad \Rightarrow \quad v = e^x$

$\int 2x \cdot e^x \, dx = 2x \cdot e^x - \int 2 \cdot e^x \, dx = 2x \cdot e^x - 2e^x$

Setter sammen:

$\int x^2 \cdot e^x \, dx = x^2 \cdot e^x - (2x \cdot e^x - 2e^x) + C$

$= x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$

$= e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

Sjekk: $(e^x(x^2 - 2x + 2))' = e^x(x^2 - 2x + 2) + e^x(2x - 2) = e^x(x^2 - 2x + 2 + 2x - 2) = x^2 e^x$ ✓

Tabellarisk delvis integrasjon

Nar vi har et polynom ganget med $e^x$ eller en trigonometrisk funksjon, kan vi bruke en tabellarisk metode som gjor utregningen mer oversiktlig.

Vi setter opp en tabell med tre kolonner:
1. Fortegn: Vekslende $+$ og $-$
2. Derivater av $u$ : Deriver til du nar 0
3. Integraler av $v'$ : Integrer like mange ganger

Svaret far vi ved a multiplisere diagonalt og summere.

✏️Eksempel 8: Tabellarisk metode

Bruk tabellarisk metode til å finne $\displaystyle\int x^3 \cdot e^{2x} \, dx$ .

Løsning:

Vi setter opp tabellen med $u = x^3$ (deriverer) og $v' = e^{2x}$ (integrerer):

Fortegn	Derivater av $u$	Integraler av $v'$
$+$	$x^3$	$e^{2x}$
$-$	$3x^2$	$\displaystyle \frac{1}{2}e^{2x}$
$+$	$6x$	$\displaystyle \frac{1}{4}e^{2x}$
$-$	$6$	$\displaystyle \frac{1}{8}e^{2x}$
$+$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{16}e^{2x}$

Multipliserer diagonalt (rad 1 med rad 2, rad 2 med rad 3, osv.) og summerer:

\int x^3 \cdot e^{2x} \, dx = (+)x^3 \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + (-)3x^2 \cdot \frac{1}{4}e^{2x} + (+)6x \cdot \frac{1}{8}e^{2x} + (-)6 \cdot \frac{1}{16}e^{2x} + C

= \frac{e^{2x}}{2}x^3 - \frac{3e^{2x}}{4}x^2 + \frac{6e^{2x}}{8}x - \frac{6e^{2x}}{16} + C

= \frac{e^{2x}}{16}(8x^3 - 12x^2 + 12x - 6) + C

= \frac{e^{2x}}{8}(4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + C

📝Oppgave 3.2.4

Bruk gjentatt delvis integrasjon (eller tabellarisk metode) til å finne integralene.

\displaystyle\int x^2 \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int x^3 \cdot e^x \, dx

\displaystyle\int x^2 \cdot \sin(2x) \, dx

Sirkular delvis integrasjon

Noen ganger leder delvis integrasjon oss i en sirkel - vi ender opp med det samme integralet vi startet med! Dette skjer typisk med produkter av eksponential- og trigonometriske funksjoner, for eksempel $\int e^x \sin(x) \, dx$ .

Løsningen er a sette opp en likning der integralet vi soker etter er den ukjente, og deretter lose for denne ukjente.

📜Sirkular delvis integrasjon

Hvis vi etter to runder med delvis integrasjon ender opp med det opprinnelige integralet

I

, kan vi sette opp likningen:

$I = (\text{mellomresultat}) \pm I$

og lose for $I$ :

$2I = (\text{mellomresultat}) \quad \Rightarrow \quad I = \frac{\text{mellomresultat}}{2}$

Viktig: Pass på fortegnet foran $I$ på hoyre side - det avhenger av valgene av $u$ og $v'$ .

✏️Eksempel 5: Sirkular delvis integrasjon

Finn $\displaystyle\int e^x \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løsning:

La $I = \int e^x \sin(x) \, dx$ .

Første runde:
- $u = e^x \quad \Rightarrow \quad u' = e^x$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

$I = -e^x \cos(x) - \int (-\cos(x)) \cdot e^x \, dx = -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) \, dx$

Andre runde (pa $\int e^x \cos(x) \, dx$ ):
- $u = e^x \quad \Rightarrow \quad u' = e^x$
- $v' = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad v = \sin(x)$

$\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) \, dx = e^x \sin(x) - I$

Setter sammen:

$I = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - I$

$2I = e^x(\sin(x) - \cos(x))$

$I = \frac{e^x(\sin(x) - \cos(x))}{2} + C$

Sjekk: $\displaystyle \left(\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}\right)' = \frac{e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)}{2} = \frac{2e^x \sin x}{2} = e^x \sin x$ ✓

📝Oppgave 3.2.5

Bruk sirkular delvis integrasjon til å finne integralene.

\displaystyle\int e^x \cdot \cos(x) \, dx

\displaystyle\int e^{2x} \cdot \sin(x) \, dx

\displaystyle\int e^{-x} \cdot \cos(2x) \, dx

📜Generell formel for $\int e^{ax} \sin(bx) \, dx$ og $\int e^{ax} \cos(bx) \, dx$

For konstanter

a

b

gjelder:

$\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C$

$\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C$

Merk: Disse formlene kan utledes ved sirkular delvis integrasjon, men er nyttige a ha tilgjengelig for a spare tid.

Bestemt integral med delvis integrasjon

Nar vi bruker delvis integrasjon på et bestemt integral, har vi to tilnarminger:

Metode 1: Finn forst det ubestemte integralet, og evaluer deretter ved grensene.

Metode 2: Bruk formelen for delvis integrasjon direkte med grenser:

$\int_a^b u \cdot v' \, dx = \Big[u \cdot v\Big]_a^b - \int_a^b u' \cdot v \, dx$

Metode 2 kan vare mer effektiv fordi vi slipper a holde styr på integrasjonskonstanten.

✏️Eksempel 6: Bestemt integral

Beregn $\displaystyle\int_0^1 x \cdot e^x \, dx$ .

Løsning:

Vi bruker formelen $\int_a^b u \cdot v' \, dx = [u \cdot v]_a^b - \int_a^b u' \cdot v \, dx$ .

Med $u = x$ , $u' = 1$ , $v' = e^x$ , $v = e^x$ :

$\int_0^1 x \cdot e^x \, dx = \Big[x \cdot e^x\Big]_0^1 - \int_0^1 1 \cdot e^x \, dx$

$= \Big[x \cdot e^x\Big]_0^1 - \Big[e^x\Big]_0^1$

$= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0)$

$= e - 0 - e + 1$

$= 1$

📝Oppgave 3.2.6

Beregn de bestemte integralene ved hjelp av delvis integrasjon.

\displaystyle\int_0^{\pi} x \cdot \sin(x) \, dx

\displaystyle\int_1^e \ln(x) \, dx

\displaystyle\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx

\displaystyle\int_1^e x \cdot \ln(x) \, dx

Inverse trigonometriske funksjoner

Inverse trigonometriske funksjoner som $\arcsin(x)$ , $\arccos(x)$ og $\arctan(x)$ er vanskelige a integrere direkte, men enkle a derivere. Derfor velger vi alltid disse som $u$ i delvis integrasjon.

Viktige deriverte:
- $\displaystyle (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\displaystyle (\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\displaystyle (\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$

✏️Eksempel 9: Integrere $\arctan(x)$

Finn $\displaystyle\int \arctan(x) \, dx$ .

Løsning:

Vi skriver $\arctan(x) = \arctan(x) \cdot 1$ og bruker delvis integrasjon.

- $\displaystyle u = \arctan(x) \quad \Rightarrow \quad u' = \frac{1}{1+x^2}$
- $v' = 1 \quad \Rightarrow \quad v = x$

$\int \arctan(x) \, dx = x \cdot \arctan(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx$

For det gjenvarende integralet bruker vi substitusjon $t = 1 + x^2$ , $dt = 2x \, dx$ :

$\int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt = \frac{1}{2} \ln|t| = \frac{1}{2} \ln(1+x^2)$

Dermed:

$\int \arctan(x) \, dx = x \cdot \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$

📝Oppgave 3.2.8

Finn integralene som involverer inverse trigonometriske funksjoner.

\displaystyle\int \arcsin(x) \, dx

\displaystyle\int x \cdot \arctan(x) \, dx

\displaystyle\int_0^1 \arctan(x) \, dx

✏️Eksempel 7: Kombinere teknikker

Finn $\displaystyle\int x^2 \cdot \sin(x) \, dx$ .

Løsning:

Dette krever to runder med delvis integrasjon.

Første runde:
- $u = x^2 \quad \Rightarrow \quad u' = 2x$
- $v' = \sin(x) \quad \Rightarrow \quad v = -\cos(x)$

$\int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) - \int (-\cos(x)) \cdot 2x \, dx$
$= -x^2 \cos(x) + 2\int x \cos(x) \, dx$

Andre runde (pa $\int x \cos(x) \, dx$ ):
- $u = x \quad \Rightarrow \quad u' = 1$
- $v' = \cos(x) \quad \Rightarrow \quad v = \sin(x)$

$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x)$

Setter sammen:

$\int x^2 \sin(x) \, dx = -x^2 \cos(x) + 2(x \sin(x) + \cos(x)) + C$
$= -x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) + 2\cos(x) + C$
$= (2 - x^2)\cos(x) + 2x\sin(x) + C$

Vanlige feil ved delvis integrasjon

1. Feil valg av $u$ og $v'$ :
Hvis du velger feil, far du et vanskeligere integral. Bruk LIATE-regelen!

2. Glemmer fortegn:
Vær nøye med minustegnet i formelen: $\int u \cdot v' \, dx = uv \mathbf{-} \int u' \cdot v \, dx$

3. Glemmer integrasjonskonstanten:
Husk alltid $+ C$ på slutten av ubestemte integraler.

4. Feil ved sirkular integrasjon:
Pass på at integralet $I$ dukker opp med riktig fortegn nar du setter opp likningen.

5. Stopper for tidlig:
Ved gjentatt delvis integrasjon, fortsett til polynomet er derivert til 0.

📝Oppgave 3.2.7

Los disse utfordrende integralene.

\displaystyle\int (\ln(x))^2 \, dx

\displaystyle\int x \cdot \arctan(x) \, dx

\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2 \cdot \cos(x) \, dx

Anvendelser av delvis integrasjon

Delvis integrasjon har mange praktiske anvendelser:

1. Fysikk - Arbeid og energi:
Arbeidet utfort av en variabel kraft $F(x)$ over en strekning er $W = \int F(x) \, dx$ . Nar kraften er et produkt av funksjoner, bruker vi delvis integrasjon.

2. Sannsynlighetsregning:
Forventningsverdi og varians av kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger krever ofte delvis integrasjon.

3. Fourier-analyse:
Beregning av Fourier-koeffisienter involverer integraler av typen $\int f(x) \sin(nx) \, dx$ og $\int f(x) \cos(nx) \, dx$ .

4. Differensiallikninger:
Løsning av visse differensiallikninger krever delvis integrasjon.

✏️Eksempel 10: Gjennomsnittverdi

Finn gjennomsnittsverdien til funksjonen $f(x) = x \cdot e^{-x}$ på intervallet $[0, 2]$ .

Løsning:

Gjennomsnittsverdien på $[a, b]$ er gitt ved:

$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$

Vi ma forst beregne $\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx$ .

Med delvis integrasjon ( $u = x$ , $v' = e^{-x}$ ):

$\int_0^2 x \cdot e^{-x} \, dx = \Big[-x e^{-x}\Big]_0^2 + \int_0^2 e^{-x} \, dx$

$= (-2e^{-2} - 0) + \Big[-e^{-x}\Big]_0^2$

$= -2e^{-2} + (-e^{-2} + 1)$

$= 1 - 3e^{-2}$

Gjennomsnittsverdien blir:

$\bar{f} = \frac{1}{2-0}(1 - 3e^{-2}) = \frac{1 - 3e^{-2}}{2} \approx 0{,}297$

Eksamensrelevante oppgaver

Pa eksamen i R2 kommer delvis integrasjon ofte i kombinasjon med andre emner. Typiske oppgaver:

- Finn areal avgrenset av grafer der integralet krever delvis integrasjon
- Beregn volum av omdreiningslegemer
- Finn gjennomsnittsverdier
- Los differensiallikninger
- Beregn forventningsverdi i sannsynlighetsregning

📝Oppgave 3.2.9

Los disse eksamensrelevante oppgavene.

Finn arealet av omradet avgrenset av $y = x \cdot e^{-x}$ , $x$ -aksen, $x = 0$ og $x = 2$ .

Finn volumet nar omradet under $y = \ln(x)$ fra $x = 1$ til $x = e$ roteres om $x$ -aksen.

Vis at $\displaystyle \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx = \frac{\pi}{4}$ ved delvis integrasjon.

📝Oppgave 3.2.10

Blandede oppgaver - velg riktig integrasjonsteknikk.

\displaystyle\int x^2 \cdot e^{x^3} \, dx

\displaystyle\int x \cdot \sqrt{1+x^2} \, dx

\displaystyle\int x \cdot \ln(x^2) \, dx

\displaystyle\int e^x \cdot \sin(e^x) \, dx

Nar skal du bruke delvis integrasjon?

Bruk delvis integrasjon nar:
1. Du har et produkt av to ulike funksjonstyper
2. Substitusjon ikke fungerer
3. En av funksjonene blir enklere ved derivasjon

Bruk substitusjon nar:
1. Du ser den deriverte av en indre funksjon
2. Integranden har formen $f(g(x)) \cdot g'(x)$

Tips: Prov substitusjon forst - det er ofte raskere!

Oppsummering

Formelen for delvis integrasjon:
$\int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx$

LIATE-regelen for valg av $u$ :
1. Logaritmer
2. Inverse trigonometriske
3. Algebraiske (polynomer)
4. Trigonometriske
5. Eksponentialfunksjoner

Spesielle tilfeller:
- Polynomer av grad $n$ krever $n$ runder med delvis integrasjon
- Produkter av $e^x$ og trigonometriske funksjoner gir sirkular delvis integrasjon
- $\int \ln(x) \, dx = x(\ln(x) - 1) + C$ er et viktig resultat

Husk:
- Sjekk alltid svaret ved derivasjon
- Ikke glem integrasjonskonstanten $C$
- Vurder om substitusjon er enklere for du starter med delvis integrasjon

Viktige integraler fra delvis integrasjon

\begin{aligned} \int x \cdot e^{ax} \, dx &= \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C \\[0.5em] \int x \cdot \sin(ax) \, dx &= \frac{\sin(ax) - ax\cos(ax)}{a^2} + C \\[0.5em] \int x \cdot \cos(ax) \, dx &= \frac{\cos(ax) + ax\sin(ax)}{a^2} + C \\[0.5em] \int \ln(x) \, dx &= x(\ln(x) - 1) + C \\[0.5em] \int x \cdot \ln(x) \, dx &= \frac{x^2}{4}(2\ln(x) - 1) + C \\[0.5em] \int e^{ax} \sin(bx) \, dx &= \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C \\[0.5em] \int e^{ax} \cos(bx) \, dx &= \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C \\[0.5em] \int \arctan(x) \, dx &= x\arctan(x) - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C \\[0.5em] \int \arcsin(x) \, dx &= x\arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C \end{aligned}

Disse resultatene er nyttige a huske og kan brukes direkte i beregninger.

Generelle formler for polynomer

\begin{aligned} \int x^n \cdot e^x \, dx &= e^x \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \frac{n!}{k!} x^k + C \\[1em] \text{For } n = 1: \quad &e^x(x - 1) + C \\ \text{For } n = 2: \quad &e^x(x^2 - 2x + 2) + C \\ \text{For } n = 3: \quad &e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C \end{aligned}

Legg merke til monsteret: koeffisientene er fakulteter med vekslende fortegn.

Innledning

Utledning av formelen

Valg av uuu og v′v'v′: LIATE-regelen

Gjentatt delvis integrasjon

Tabellarisk delvis integrasjon

Sirkular delvis integrasjon

Bestemt integral med delvis integrasjon

Inverse trigonometriske funksjoner

Anvendelser av delvis integrasjon

Eksamensrelevante oppgaver

Oppsummering

Valg av $u$ og $v'$ : LIATE-regelen