2.7 Areal mellom kurver

For $x \in [-2, 2]$ er $f(x) = 4 - x^2 \geq 0$, sa $f(x)$ er den ovre funksjonen og $g(x) = 0$ er den nedre.

Steg 2: Sett opp integralet

$$A = \int_{-2}^{2} \left( (4 - x^2) - 0 \right) \, dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$$

Steg 3: Beregn integralet

$$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$

$$= \left( 4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$$

$$= \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right)$$

$$= 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48 - 16}{3} = \frac{32}{3}$$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{32}{3}$ areal enheter.

Setter $f(x) = g(x)$:
$$x + 2 = x^2$$
$$x^2 - x - 2 = 0$$
$$(x - 2)(x + 1) = 0$$
$$x = 2 \quad \text{eller} \quad x = -1$$

Steg 2: Avgjor hvilken funksjon som er overst

For $x = 0$ (et punkt mellom $-1$ og $2$):
- $f(0) = 0 + 2 = 2$
- $g(0) = 0^2 = 0$

Siden $f(0) > g(0)$, er $f(x) = x + 2$ den ovre funksjonen i intervallet $[-1, 2]$.

Steg 3: Sett opp og beregn integralet

$$A = \int_{-1}^{2} \left( (x + 2) - x^2 \right) \, dx = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) \, dx$$

$$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2}$$

For $x = 2$:
$$\frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3}$$

For $x = -1$:
$$\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} - 2 = \frac{5}{6} - 2 = -\frac{7}{6}$$

$$A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{9}{2}$ arealenheter.

$$x^3 = x$$
$$x^3 - x = 0$$
$$x(x^2 - 1) = 0$$
$$x(x-1)(x+1) = 0$$
$$x = -1, \quad x = 0, \quad x = 1$$

Steg 2: Avgjor hvilken funksjon som er overst i hvert delintervall

For $x = -0.5$ (mellom $-1$ og $0$):
- $f(-0.5) = (-0.5)^3 = -0.125$
- $g(-0.5) = -0.5$

Siden $-0.125 > -0.5$, er $f(x) = x^3$ overst på $[-1, 0]$.

For $x = 0.5$ (mellom $0$ og $1$):
- $f(0.5) = 0.125$
- $g(0.5) = 0.5$

Siden $0.5 > 0.125$, er $g(x) = x$ overst på $[0, 1]$.

Steg 3: Del opp integralet

$$A = \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx + \int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx$$

Forste integral:
$$\int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = 0 - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}$$

Andre integral:
$$\int_{0}^{1} (x - x^3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{1}{4}$$

Totalt areal:
$$A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Svar: Arealet er $\displaystyle \frac{1}{2}$ arealenheter.

$$4 - x^2 = x^2 - 2$$
$$6 = 2x^2$$
$$x^2 = 3$$
$$x = \pm\sqrt{3}$$

Steg 2: Avgjor hvilken funksjon som er overst

For $x = 0$:
- $f(0) = 4$
- $g(0) = -2$

Siden $4 > -2$, er $f(x) = 4 - x^2$ den ovre funksjonen.

Steg 3: Beregn integralet

$$A = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \left( (4 - x^2) - (x^2 - 2) \right) \, dx$$

$$= \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (6 - 2x^2) \, dx$$

Siden integranden er en partall-funksjon (symmetrisk om $y$-aksen), kan vi forenkle:

$$A = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (6 - 2x^2) \, dx$$

$$= 2 \left[ 6x - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}}$$

$$= 2 \left( 6\sqrt{3} - \frac{2(\sqrt{3})^3}{3} \right)$$

$$= 2 \left( 6\sqrt{3} - \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{3} \right)$$

$$= 2 \left( 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \right)$$

$$= 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

Svar: Arealet er $8\sqrt{3}$ arealenheter.

Fortjenesten er positiv nar $I(x) > K(x)$:
$$100x - x^2 > 20x + 100$$
$$-x^2 + 80x - 100 > 0$$
$$x^2 - 80x + 100 < 0$$

Ved abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{80 \pm \sqrt{6400 - 400}}{2} = \frac{80 \pm \sqrt{6000}}{2} \approx \frac{80 \pm 77.5}{2}$

$x \approx 1.3$ eller $x \approx 78.7$

Sa for $x \in [10, 60]$ er $I(x) > K(x)$ (inntekt storre enn kostnad).

Steg 2: Beregn total fortjeneste som areal mellom kurvene

$$\text{Total fortjeneste} = \int_{10}^{60} (I(x) - K(x)) \, dx$$

$$= \int_{10}^{60} ((100x - x^2) - (20x + 100)) \, dx$$

$$= \int_{10}^{60} (80x - x^2 - 100) \, dx$$

$$= \left[ 40x^2 - \frac{x^3}{3} - 100x \right]_{10}^{60}$$

For $x = 60$:
$$40 \cdot 3600 - \frac{216000}{3} - 6000 = 144000 - 72000 - 6000 = 66000$$

For $x = 10$:
$$40 \cdot 100 - \frac{1000}{3} - 1000 = 4000 - \frac{1000}{3} - 1000 = 3000 - \frac{1000}{3} = \frac{8000}{3}$$

$$\text{Total fortjeneste} = 66000 - \frac{8000}{3} = \frac{198000 - 8000}{3} = \frac{190000}{3} \approx 63333$$

Svar: Den totale fortjenesten er ca. 63 333 tusen kroner, eller ca. 63,3 millioner kroner.