2.6 Areal under grafer

Beregne areal ved hjelp av bestemt integral.

50 min

18 oppgaver

Bestemt integralArealFortegnGeometrisk tolkning

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Areal og integrasjon

En av de viktigste anvendelsene av integralregning er arealberegning. Historisk sett var det nettopp problemet med å finne arealer under kurver som ledet til utviklingen av integralregning.

I dette kapittelet skal vi se hvordan det bestemte integralet kan brukes til å beregne arealer, og hva vi ma ta hensyn til nar funksjonen tar negative verdier.

Areal nar $f(x) \geq 0$

Nar en funksjon $f(x)$ er ikke-negativ på et intervall $[a, b]$ , gir det bestemte integralet direkte arealet av omradet mellom grafen og $x$ -aksen.

Areal under graf (positiv funksjon)

f

✏️Eksempel 1: Areal under parabel

Finn arealet av omradet begrenset av grafen til $f(x) = x^2$ , $x$ -aksen og linjene $x = 0$ og $x = 3$ .

Løsning:

Funksjonen $f(x) = x^2$ er ikke-negativ for alle $x$ , sa vi kan bruke integralet direkte.

$A = \int_0^3 x^2 \, dx$

Vi finner en antiderivert: $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3}$

$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$

Svar: Arealet er $9$ arealenheter.

📝Oppgave 2.6.1

Finn arealet av omradet begrenset av grafen, $x$ -aksen og de oppgitte linjene.

f(x) = x^3

fra

x = 0

til

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

fra

x = 0

til

x = 4

f(x) = e^x

fra

x = 0

til

x = 2

Nar integralet blir negativt

Hva skjer nar funksjonen er negativ på hele eller deler av intervallet? Da gir det bestemte integralet en negativ verdi for de omradene der grafen ligger under $x$ -aksen.

Dette er fordi integralet maler "fortegnsareal" - positivt over aksen og negativt under.

✏️Eksempel 2: Integral under x-aksen

Regn ut $\int_0^2 (x - 3) \, dx$ og forklar resultatet geometrisk.

Løsning:

$\int_0^2 (x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_0^2 = \left( \frac{4}{2} - 6 \right) - (0 - 0) = 2 - 6 = -4$

Integralet er negativt!

Geometrisk forklaring:
Funksjonen $f(x) = x - 3$ er negativ for $x < 3$ . Pa intervallet $[0, 2]$ ligger hele grafen under $x$ -aksen.

Integralet $-4$ representerer "fortegnsarealet". Det faktiske arealet mellom grafen og $x$ -aksen er $|{-4}| = 4$ arealenheter.

Fortegnsareal

\int_a^b f(x) \, dx

📝Oppgave 2.6.2

Regn ut integralene og forklar fortegnet på svaret.

\int_0^4 (x - 4) \, dx

\int_{-2}^0 x^3 \, dx

\int_{-1}^1 x \, dx

Absolutt areal

Nar vi skal finne det faktiske arealet (i arealenheter) mellom en graf og $x$ -aksen, ma vi ta hensyn til at arealet alltid er positivt.

Vi bruker da absoluttverdien av funksjonen for a sikre at alle bidrag teller positivt.

Absolutt areal

f

✏️Eksempel 3: Absolutt areal

Finn det absolutte arealet mellom grafen til $f(x) = x^2 - 4$ og $x$ -aksen på intervallet $[-3, 3]$ .

Løsning:

Steg 1: Finn nullpunktene
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$

Steg 2: Bestem fortegn på hvert delintervall
- For $x \in [-3, -2]$ : $f(x) > 0$ (over $x$ -aksen)
- For $x \in [-2, 2]$ : $f(x) < 0$ (under $x$ -aksen)
- For $x \in [2, 3]$ : $f(x) > 0$ (over $x$ -aksen)

Steg 3: Beregn hvert delintegral

$\displaystyle I_1 = \int_{-3}^{-2} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{-3}^{-2}$
$\displaystyle = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( -9 + 12 \right) = \frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3}$

$\displaystyle I_2 = \int_{-2}^{2} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{-2}^{2}$
$\displaystyle = \left( \frac{8}{3} - 8 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) = -\frac{16}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{32}{3}$

$\displaystyle I_3 = \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3}$
$\displaystyle = \left( 9 - 12 \right) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

Steg 4: Summer absoluttverdiene
$\displaystyle A = |I_1| + |I_2| + |I_3| = \frac{7}{3} + \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \frac{46}{3}$

Svar: Det absolutte arealet er $\displaystyle \frac{46}{3} \approx 15{,}3$ arealenheter.

📝Oppgave 2.6.3

Finn det absolutte arealet mellom grafen og $x$ -aksen på det oppgitte intervallet.

f(x) = x^2 - 1

på

[-2, 2]

f(x) = \sin x

på

[0, 2\pi]

Systematisk fremgangsmate

Nar du skal beregne areal mellom en graf og $x$ -aksen, er det viktig a folge en systematisk metode. Her er en oppskrift som fungerer i alle tilfeller.

📜Fremgangsmate for arealberegning

For å finne arealet mellom grafen til

f(x)

x

-aksen på

[a, b]

1. Finn nullpunktene
Los $f(x) = 0$ for $x \in [a, b]$ . Kall nullpunktene $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (i stigende rekkefolge).

2. Del opp intervallet
Intervallet deles opp i: $[a, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_n, b]$

3. Beregn hvert delintegral
For hvert delintervall $[x_i, x_{i+1}]$ , beregn $\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx$

4. Summer absoluttverdiene
$A = \sum |\text{delintegral}|$

✏️Eksempel 4: Areal for tredjegradsfunksjon

Finn arealet mellom grafen til $f(x) = x^3 - 4x$ og $x$ -aksen.

Løsning:

Steg 1: Finn nullpunktene
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
$x = -2, 0, 2$

Steg 2: Bestem fortegn
Vi tester et punkt i hvert intervall:
- $f(-3) = -27 + 12 = -15 < 0$ (under aksen)
- $f(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$ (over aksen)
- $f(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ (under aksen)
- $f(3) = 27 - 12 = 15 > 0$ (over aksen)

Vi beregner arealet på $[-2, 2]$ :

Steg 3: Beregn delintegralene

$\displaystyle I_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0}$
$= 0 - (4 - 8) = 0 - (-4) = 4$

$\displaystyle I_2 = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2}$
$= (4 - 8) - 0 = -4$

Steg 4: Summer absoluttverdiene
$A = |4| + |-4| = 4 + 4 = 8$

Svar: Arealet er $8$ arealenheter.

Merk: Grafen er symmetrisk om origo (odde funksjon), sa de to omradene har like stort areal.

📝Oppgave 2.6.4

Finn arealet mellom grafen og $x$ -aksen.

f(x) = x^3 - x

på

[-1, 1]

f(x) = x^2 - 3x + 2

på

[0, 3]

Praktiske anvendelser

Arealberegning med integraler har mange praktiske anvendelser:

- Fysikk: Arbeid utfort av en variabel kraft, strekning fra hastighetsfunksjon
- Okonomi: Totalt overskudd, konsumentoverskudd
- Biologi: Populasjonsvekst over tid
- Teknikk: Beregning av materialmengder

La oss se på noen eksempler.

✏️Eksempel 5: Hastighet og strekning

En bil har hastighet gitt ved $v(t) = 20 - 4t$ (m/s) der $t$ er tiden i sekunder.

a) Finn den totale tilbakelagte strekningen for $t \in [0, 10]$ .
b) Finn bilens posisjon etter 10 sekunder dersom den starter i $x = 0$ .

Løsning:

Forst finner vi nar bilen stopper og snur:
$v(t) = 0 \Rightarrow 20 - 4t = 0 \Rightarrow t = 5$ s

a) Total tilbakelagt strekning

Strekning er alltid positiv, sa vi ma ta absoluttverdien:

For $t \in [0, 5]$ : $v(t) > 0$ (bilen kjorer fremover)
For $t \in [5, 10]$ : $v(t) < 0$ (bilen rygger)

$s_1 = \int_0^5 (20 - 4t) \, dt = [20t - 2t^2]_0^5 = 100 - 50 = 50$ m

$s_2 = \int_5^{10} (20 - 4t) \, dt = [20t - 2t^2]_5^{10} = (200 - 200) - (100 - 50) = -50$ m

Total strekning $= |50| + |-50| = 100$ m

b) Posisjon etter 10 sekunder

Posisjon = startposisjon + netto forflytning:

$x(10) = 0 + \int_0^{10} (20 - 4t) \, dt = 50 + (-50) = 0$ m

Bilen er tilbake ved startposisjonen!

Svar: a) 100 m, b) 0 m (tilbake ved start)

📝Oppgave 2.6.5

Los oppgavene.

En partikkel beveger seg langs en linje med hastighet $v(t) = t^2 - 4t + 3$ (m/s). Finn den totale tilbakelagte strekningen for $t \in [0, 4]$ .

Vannstanden i en elv endrer seg med $\displaystyle h'(t) = \cos(\frac{\pi t}{6})$ (cm/time) der $t$ er timer etter midnatt. Finn den totale endringen i vannstand fra $t = 0$ til $t = 12$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har vi laert:

1. Areal under positiv graf: $A = \int_a^b f(x) \, dx$ nar $f(x) \geq 0$

2. Fortegnsareal: Integralet gir positivt bidrag over $x$ -aksen og negativt under

3. Absolutt areal: $A = \int_a^b |f(x)| \, dx$
- Finn nullpunktene
- Del opp ved nullpunktene
- Summer absoluttverdiene av delintegralene

4. Praktiske anvendelser: Strekning vs. forflytning, totale mengder

Beregne areal ved hjelp av bestemt integral.

50 min

18 oppgaver

Bestemt integralArealFortegnGeometrisk tolkning

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Areal og integrasjon

En av de viktigste anvendelsene av integralregning er arealberegning. Historisk sett var det nettopp problemet med å finne arealer under kurver som ledet til utviklingen av integralregning.

I dette kapittelet skal vi se hvordan det bestemte integralet kan brukes til å beregne arealer, og hva vi ma ta hensyn til nar funksjonen tar negative verdier.

Areal nar $f(x) \geq 0$

Nar en funksjon $f(x)$ er ikke-negativ på et intervall $[a, b]$ , gir det bestemte integralet direkte arealet av omradet mellom grafen og $x$ -aksen.

Areal under graf (positiv funksjon)

f

✏️Eksempel 1: Areal under parabel

Finn arealet av omradet begrenset av grafen til $f(x) = x^2$ , $x$ -aksen og linjene $x = 0$ og $x = 3$ .

Løsning:

Funksjonen $f(x) = x^2$ er ikke-negativ for alle $x$ , sa vi kan bruke integralet direkte.

$A = \int_0^3 x^2 \, dx$

Vi finner en antiderivert: $\displaystyle F(x) = \frac{x^3}{3}$

$A = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$

Svar: Arealet er $9$ arealenheter.

📝Oppgave 2.6.1

Finn arealet av omradet begrenset av grafen, $x$ -aksen og de oppgitte linjene.

f(x) = x^3

fra

x = 0

til

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

fra

x = 0

til

x = 4

f(x) = e^x

fra

x = 0

til

x = 2

Nar integralet blir negativt

Hva skjer nar funksjonen er negativ på hele eller deler av intervallet? Da gir det bestemte integralet en negativ verdi for de omradene der grafen ligger under $x$ -aksen.

Dette er fordi integralet maler "fortegnsareal" - positivt over aksen og negativt under.

✏️Eksempel 2: Integral under x-aksen

Regn ut $\int_0^2 (x - 3) \, dx$ og forklar resultatet geometrisk.

Løsning:

$\int_0^2 (x - 3) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_0^2 = \left( \frac{4}{2} - 6 \right) - (0 - 0) = 2 - 6 = -4$

Integralet er negativt!

Geometrisk forklaring:
Funksjonen $f(x) = x - 3$ er negativ for $x < 3$ . Pa intervallet $[0, 2]$ ligger hele grafen under $x$ -aksen.

Integralet $-4$ representerer "fortegnsarealet". Det faktiske arealet mellom grafen og $x$ -aksen er $|{-4}| = 4$ arealenheter.

Fortegnsareal

\int_a^b f(x) \, dx

📝Oppgave 2.6.2

Regn ut integralene og forklar fortegnet på svaret.

\int_0^4 (x - 4) \, dx

\int_{-2}^0 x^3 \, dx

\int_{-1}^1 x \, dx

Absolutt areal

Nar vi skal finne det faktiske arealet (i arealenheter) mellom en graf og $x$ -aksen, ma vi ta hensyn til at arealet alltid er positivt.

Vi bruker da absoluttverdien av funksjonen for a sikre at alle bidrag teller positivt.

Absolutt areal

f

✏️Eksempel 3: Absolutt areal

Finn det absolutte arealet mellom grafen til $f(x) = x^2 - 4$ og $x$ -aksen på intervallet $[-3, 3]$ .

Løsning:

Steg 1: Finn nullpunktene
$x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$

Steg 3: Beregn hvert delintegral

Steg 4: Summer absoluttverdiene
$\displaystyle A = |I_1| + |I_2| + |I_3| = \frac{7}{3} + \frac{32}{3} + \frac{7}{3} = \frac{46}{3}$

Svar: Det absolutte arealet er $\displaystyle \frac{46}{3} \approx 15{,}3$ arealenheter.

📝Oppgave 2.6.3

Finn det absolutte arealet mellom grafen og $x$ -aksen på det oppgitte intervallet.

f(x) = x^2 - 1

på

[-2, 2]

f(x) = \sin x

på

[0, 2\pi]

Systematisk fremgangsmate

Nar du skal beregne areal mellom en graf og $x$ -aksen, er det viktig a folge en systematisk metode. Her er en oppskrift som fungerer i alle tilfeller.

📜Fremgangsmate for arealberegning

For å finne arealet mellom grafen til

f(x)

x

-aksen på

[a, b]

1. Finn nullpunktene
Los $f(x) = 0$ for $x \in [a, b]$ . Kall nullpunktene $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (i stigende rekkefolge).

2. Del opp intervallet
Intervallet deles opp i: $[a, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_n, b]$

3. Beregn hvert delintegral
For hvert delintervall $[x_i, x_{i+1}]$ , beregn $\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx$

4. Summer absoluttverdiene
$A = \sum |\text{delintegral}|$

✏️Eksempel 4: Areal for tredjegradsfunksjon

Finn arealet mellom grafen til $f(x) = x^3 - 4x$ og $x$ -aksen.

Løsning:

Steg 1: Finn nullpunktene
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
$x = -2, 0, 2$

Vi beregner arealet på $[-2, 2]$ :

Steg 3: Beregn delintegralene

$\displaystyle I_1 = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0}$
$= 0 - (4 - 8) = 0 - (-4) = 4$

$\displaystyle I_2 = \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{0}^{2}$
$= (4 - 8) - 0 = -4$

Steg 4: Summer absoluttverdiene
$A = |4| + |-4| = 4 + 4 = 8$

Svar: Arealet er $8$ arealenheter.

Merk: Grafen er symmetrisk om origo (odde funksjon), sa de to omradene har like stort areal.

📝Oppgave 2.6.4

Finn arealet mellom grafen og $x$ -aksen.

f(x) = x^3 - x

på

[-1, 1]

f(x) = x^2 - 3x + 2

på

[0, 3]

Praktiske anvendelser

Arealberegning med integraler har mange praktiske anvendelser:

La oss se på noen eksempler.

✏️Eksempel 5: Hastighet og strekning

En bil har hastighet gitt ved $v(t) = 20 - 4t$ (m/s) der $t$ er tiden i sekunder.

a) Finn den totale tilbakelagte strekningen for $t \in [0, 10]$ .
b) Finn bilens posisjon etter 10 sekunder dersom den starter i $x = 0$ .

Løsning:

Forst finner vi nar bilen stopper og snur:
$v(t) = 0 \Rightarrow 20 - 4t = 0 \Rightarrow t = 5$ s

a) Total tilbakelagt strekning

Strekning er alltid positiv, sa vi ma ta absoluttverdien:

For $t \in [0, 5]$ : $v(t) > 0$ (bilen kjorer fremover)
For $t \in [5, 10]$ : $v(t) < 0$ (bilen rygger)

$s_1 = \int_0^5 (20 - 4t) \, dt = [20t - 2t^2]_0^5 = 100 - 50 = 50$ m

$s_2 = \int_5^{10} (20 - 4t) \, dt = [20t - 2t^2]_5^{10} = (200 - 200) - (100 - 50) = -50$ m

Total strekning $= |50| + |-50| = 100$ m

b) Posisjon etter 10 sekunder

Posisjon = startposisjon + netto forflytning:

$x(10) = 0 + \int_0^{10} (20 - 4t) \, dt = 50 + (-50) = 0$ m

Bilen er tilbake ved startposisjonen!

Svar: a) 100 m, b) 0 m (tilbake ved start)

📝Oppgave 2.6.5

Los oppgavene.

En partikkel beveger seg langs en linje med hastighet $v(t) = t^2 - 4t + 3$ (m/s). Finn den totale tilbakelagte strekningen for $t \in [0, 4]$ .

Vannstanden i en elv endrer seg med $\displaystyle h'(t) = \cos(\frac{\pi t}{6})$ (cm/time) der $t$ er timer etter midnatt. Finn den totale endringen i vannstand fra $t = 0$ til $t = 12$ .

Oppsummering

I dette kapittelet har vi laert:

1. Areal under positiv graf: $A = \int_a^b f(x) \, dx$ nar $f(x) \geq 0$

2. Fortegnsareal: Integralet gir positivt bidrag over $x$ -aksen og negativt under

3. Absolutt areal: $A = \int_a^b |f(x)| \, dx$
- Finn nullpunktene
- Del opp ved nullpunktene
- Summer absoluttverdiene av delintegralene

4. Praktiske anvendelser: Strekning vs. forflytning, totale mengder

Areal og integrasjon

Areal nar f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0

Nar integralet blir negativt

Absolutt areal

Systematisk fremgangsmate

Praktiske anvendelser

Oppsummering

2.6 Areal under grafer

Areal og integrasjon

Areal nar f(x)≥0f(x) \geq 0f(x)≥0

Nar integralet blir negativt

Absolutt areal

Systematisk fremgangsmate

Praktiske anvendelser

Oppsummering

Areal nar $f(x) \geq 0$

Areal nar $f(x) \geq 0$