2.5 Analysens fundamentalsetning | Matematikk R2

Sammenhengen mellom derivasjon og integrasjon.

55 min

16 oppgaver

FundamentalsetningenNewton-LeibnizDerivasjon av integral

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Sammenhengen mellom derivasjon og integrasjon

Derivasjon og integrasjon er de to grunnleggende operasjonene i kalkulus. Men er de egentlig to helt uavhengige operasjoner?

Analysens fundamentalsetning gir et oppsiktsvekkende svar: Derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner - de opphever hverandre!

Dette betyr at vi kan beregne bestemte integraler (arealer) ved hjelp av antideriverte, noe som forenkler mange beregninger dramatisk.

Antiderivert

F(x)

✏️Eksempel 1: Finne antideriverte

Finn en antiderivert til $f(x) = 3x^2 + 2x$ .

Vi soker

F(x)

slik at

F'(x) = 3x^2 + 2x

For $3x^2$ : Siden $(x^3)' = 3x^2$ , er $x^3$ en antiderivert.

For $2x$ : Siden $(x^2)' = 2x$ , er $x^2$ en antiderivert.

Dermed er:
$F(x) = x^3 + x^2$

Kontroll: $F'(x) = 3x^2 + 2x = f(x)$ \checkmark

📝Oppgave 1

Finn en antiderivert til $f(x) = 4x^3 - 6x$ .

📜Analysens fundamentalsetning - del 1

f

være en kontinuerlig funksjon på

[a, b]

. Definer funksjonen

F

ved:

F(x) = \int_a^x f(t) \, dt

Da er $F$ deriverbar på $(a, b)$ , og:
$F'(x) = f(x)$

Med andre ord: Integralet av $f$ fra $a$ til $x$ gir en funksjon som har $f$ som sin deriverte.

Dette betyr at integrasjon og derivasjon er inverse operasjoner!

Geometrisk tolkning

Tenk deg at $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ representerer arealet under grafen til $f$ fra $a$ til $x$ .

Nar vi oker $x$ litt, oker arealet med omtrent $f(x) \cdot \Delta x$ (et smalt rektangel).

Endringsraten til arealet er derfor:
$F'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x + \Delta x) - F(x)}{\Delta x} = f(x)$

✏️Eksempel 2: Bruke fundamentalsetningen del 1

La $F(x) = \int_1^x (t^2 + 1) \, dt$ . Finn $F'(x)$ .

Ifølge analysens fundamentalsetning del 1:

F'(x) = f(x)

der $f(t) = t^2 + 1$ .

Dermed:
$F'(x) = x^2 + 1$

Merk: Vi trenger ikke å beregne integralet! Fundamentalsetningen sier at den deriverte av integralet er integranden (med $t$ erstattet av $x$ ).

📝Oppgave 2

La $G(x) = \int_0^x \sin t \, dt$ . Finn $G'(x)$ .

📜Analysens fundamentalsetning - del 2

f

være en kontinuerlig funksjon på

[a, b]

, og la

F

være en antiderivert til

f

. Da er:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

Dette er hovedresultatet: For å beregne et bestemt integral, finner vi en antiderivert og evaluerer forskjellen $F(b) - F(a)$ .

Newton-Leibniz-notasjon

\left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)

✏️Eksempel 3: Beregne bestemt integral

Beregn $\int_1^4 2x \, dx$ .

Steg 1: Finn en antiderivert til

f(x) = 2x

$F(x) = x^2$ (siden $(x^2)' = 2x$ )

Steg 2: Bruk fundamentalsetningen del 2.

$\int_1^4 2x \, dx = \left[x^2\right]_1^4 = 4^2 - 1^2 = 16 - 1 = 15$

Svar: $\int_1^4 2x \, dx = 15$

📝Oppgave 3

Beregn $\int_0^3 6x^2 \, dx$ .

✏️Eksempel 4: Integral med flere ledd

Beregn $\int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx$ .

Steg 1: Finn antiderivert ledd for ledd.

For $3x^2$ : antiderivert er $x^3$
For $-4x$ : antiderivert er $-2x^2$
For $1$ : antiderivert er $x$

$F(x) = x^3 - 2x^2 + x$

Steg 2: Evaluer.

$\int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_1^2$

$= (2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2) - (1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1)$

$= (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1)$

$= 2 - 0 = 2$

📝Oppgave 4

Beregn $\int_0^1 (4x^3 + 3x^2 - 2x) \, dx$ .

Viktig observasjon:

Konstanten $C$ i ubestemte integraler forsvinner nar vi beregner bestemte integraler!

$(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

Derfor trenger vi ikke skrive $+C$ nar vi regner bestemte integraler.

✏️Eksempel 5: Areal under graf

Finn arealet under grafen til $f(x) = x^2$ mellom $x = 0$ og $x = 3$ .

Arealet er gitt ved det bestemte integralet:

A = \int_0^3 x^2 \, dx

Steg 1: Antiderivert til $x^2$ er $\displaystyle \frac{x^3}{3}$ .

Steg 2: Evaluer.
$A = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$

Svar: Arealet er 9 arealenheter.

Geometrisk: Dette er arealet mellom parabelen $y = x^2$ , $x$ -aksen, og de vertikale linjene $x = 0$ og $x = 3$ .

📝Oppgave 5

Finn arealet under grafen til $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ mellom $x = 1$ og $x = 4$ .

📜Sammendrag av integrasjonsregler

Med fundamentalsetningen kan vi beregne bestemte integraler ved hjelp av disse antideriverte:

$f(x)$	$F(x)$ (antiderivert)
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\displaystyle \frac{1}{x}$	$\ln \|x\|$
$e^x$	$e^x$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

Regneregler:
-

\int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx

\int_a^b [f(x) \pm g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx \pm \int_a^b g(x) \, dx

Vanlige feil

Feil 1: Glemme a bytte fortegn ved nedre grense.
- Riktig:

[x^2]_1^3 = 3^2 - 1^2 = 8

- Feil:

[x^2]_1^3 = 3^2 + 1^2 = 10

Feil 2: Glemme potensregelen ved integrasjon.
- Riktig: $\displaystyle \int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$
- Feil: $\displaystyle \int x^2 dx = \frac{x^2}{2}$

Feil 3: Sette inn grensene i feil rekkefolge.
- Riktig: $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ (ovre minus nedre)
- Feil: $[F(x)]_a^b = F(a) - F(b)$

f(x)

F(x)

(antiderivert)

x^n

(

n \neq -1

)

\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}

\displaystyle \frac{1}{x}

\ln |x|

e^x

e^x

\sin x

-\cos x

\cos x

\sin x