2.4 Bestemt integral som grenseverdi | Matematikk R2

Integralet som grense for en sum av rektangler.

60 min

16 oppgaver

RiemannsumGrenseverdiØvre sumNedre sum

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Areal under en kurve

Hvordan finner vi arealet under en kurve? For rektangler og trekanter har vi enkle formler, men hva med arealet under en buet kurve som $f(x) = x^2$ ?

Ideen er gammel - allerede Arkimedes (ca. 250 f.Kr.) brukte en genial metode: Del opp arealet i mange smale rektangler, og la antallet rektangler ga mot uendelig.

Denne ideen er selve grunnlaget for integrasjon og kalles Riemannsummen, oppkalt etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann (1826-1866).

Inndeling av et intervall

[a, b]

✏️Eksempel 1: Inndeling av et intervall

Del intervallet $[0, 4]$ inn i 4 like delintervaller. Finn delingspunktene og bredden $\Delta x$ .

Løsning:

Bredden av hvert delintervall:
$\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 0}{4} = 1$

Delingspunktene blir:
- $x_0 = 0$
- $x_1 = 1$
- $x_2 = 2$
- $x_3 = 3$
- $x_4 = 4$

Delintervallene er: $[0, 1]$ , $[1, 2]$ , $[2, 3]$ , $[3, 4]$ .

📝Oppgave 1

Del intervallet $[1, 5]$ inn i 8 like delintervaller. Finn $\Delta x$ og skriv opp alle delingspunktene $x_0, x_1, \ldots, x_8$ .

Riemannsum

f

✏️Eksempel 2: Beregne en Riemannsum

La $f(x) = x^2$ på $[0, 2]$ . Beregn hoyresummen $S_4$ med $n = 4$ delintervaller.

Løsning:

Steg 1: Finn $\Delta x$ :
$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5$

Steg 2: Finn delingspunktene:
$x_0 = 0, \quad x_1 = 0{,}5, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1{,}5, \quad x_4 = 2$

Steg 3: For hoyresum bruker vi $x_1, x_2, x_3, x_4$ :
$S_4 = f(0{,}5) \cdot 0{,}5 + f(1) \cdot 0{,}5 + f(1{,}5) \cdot 0{,}5 + f(2) \cdot 0{,}5$

Steg 4: Beregn funksjonsverdiene:
$S_4 = 0{,}25 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 + 2{,}25 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}5$
$S_4 = 0{,}125 + 0{,}5 + 1{,}125 + 2 = 3{,}75$

Kommentar: Den eksakte verdien av $\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ . Hoyresummen overestimerer fordi $f(x) = x^2$ er voksende.

📝Oppgave 2

La $f(x) = x^2$ på $[0, 2]$ . Beregn venstresummen $S_4$ med $n = 4$ delintervaller.

📜Over- og undersum

For en voksende funksjon $f$ på $[a, b]$ :
- Venstresummen er en undersum (underestimerer arealet)
- Hoyresummen er en oversum (overestimerer arealet)

For en avtagende funksjon er det motsatt.

Viktig observasjon: Nar $n \to \infty$ , vil bade over- og undersummen konvergere mot det eksakte arealet.

✏️Eksempel 3: Sigmanotasjon for Riemannsum

Skriv hoyresummen for $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ med $n$ delintervaller ved hjelp av sigmanotasjon.

Løsning:

Steg 1: Finn $\Delta x$ og delingspunktene:
$\Delta x = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n}$
$x_i = 0 + i \cdot \frac{3}{n} = \frac{3i}{n}$

Steg 2: Skriv hoyresummen:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3i}{n}\right)^2 \cdot \frac{3}{n}$

Steg 3: Forenkle:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{9i^2}{n^2} \cdot \frac{3}{n} = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2$

📝Oppgave 3

Skriv hoyresummen for $f(x) = 2x$ på $[0, 4]$ med $n$ delintervaller ved hjelp av sigmanotasjon. Forenkle uttrykket.

Viktige summeformler

\sum_{i=1}^{n} 1 = n

✏️Eksempel 4: Beregne grenseverdi av Riemannsum

Finn $\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx$ ved a ta grenseverdien $\lim_{n \to \infty} S_n$ .

Løsning:

Fra Eksempel 3 har vi:
$S_n = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Forenkle:
$S_n = \frac{27 \cdot n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{27(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

Utvid telleren:
$S_n = \frac{27(2n^2 + 3n + 1)}{6n^2} = \frac{27 \cdot 2n^2 + 27 \cdot 3n + 27}{6n^2}$

$S_n = \frac{54n^2 + 81n + 27}{6n^2} = 9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}$

Ta grenseverdien:
$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}\right) = 9$

Svar: $\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx = 9$

📝Oppgave 4

Bruk grenseverdien av en Riemannsum til a vise at $\displaystyle\int_0^4 2x \, dx = 16$ .

Det bestemte integralet

f

✏️Eksempel 5: Integral som areal

Beregn $\displaystyle\int_0^2 3 \, dx$ bade geometrisk og ved Riemannsum.

Løsning:

Geometrisk:
Funksjonen $f(x) = 3$ er en horisontal linje. Arealet er et rektangel med bredde $2 - 0 = 2$ og høyde $3$ :
$A = 2 \cdot 3 = 6$

Ved Riemannsum:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} 3 \cdot \frac{2}{n} = \frac{6}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{6}{n} \cdot n = 6$

$\lim_{n \to \infty} S_n = 6$

Svar: $\displaystyle\int_0^2 3 \, dx = 6$

📝Oppgave 5

Beregn $\displaystyle\int_1^4 5 \, dx$ bade geometrisk og ved a bruke definisjonen av det bestemte integralet (Riemannsum).

Oppsummering:

Definisjonen av det bestemte integralet som grenseverdi av en Riemannsum gir oss en presis matematisk forstaelse av hva et integral er. I praksis bruker vi imidlertid analysens fundamentalteorem (som vi ser i neste kapittel) for å beregne integraler - det er mye enklere enn a ta grenseverdier av summer!

Riemannsummer er likevel viktige:
- De gir intuisjon for hva et integral betyr
- De brukes i numerisk integrasjon nar vi ikke kan finne en antiderivert
- De danner grunnlaget for flerdimensjonale integraler

Integralet som grense for en sum av rektangler.

60 min

16 oppgaver

RiemannsumGrenseverdiØvre sumNedre sum

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Areal under en kurve

Hvordan finner vi arealet under en kurve? For rektangler og trekanter har vi enkle formler, men hva med arealet under en buet kurve som $f(x) = x^2$ ?

Ideen er gammel - allerede Arkimedes (ca. 250 f.Kr.) brukte en genial metode: Del opp arealet i mange smale rektangler, og la antallet rektangler ga mot uendelig.

Denne ideen er selve grunnlaget for integrasjon og kalles Riemannsummen, oppkalt etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann (1826-1866).

Inndeling av et intervall

[a, b]

✏️Eksempel 1: Inndeling av et intervall

Del intervallet $[0, 4]$ inn i 4 like delintervaller. Finn delingspunktene og bredden $\Delta x$ .

Løsning:

Bredden av hvert delintervall:
$\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 0}{4} = 1$

Delingspunktene blir:
- $x_0 = 0$
- $x_1 = 1$
- $x_2 = 2$
- $x_3 = 3$
- $x_4 = 4$

Delintervallene er: $[0, 1]$ , $[1, 2]$ , $[2, 3]$ , $[3, 4]$ .

📝Oppgave 1

Del intervallet $[1, 5]$ inn i 8 like delintervaller. Finn $\Delta x$ og skriv opp alle delingspunktene $x_0, x_1, \ldots, x_8$ .

Riemannsum

f

✏️Eksempel 2: Beregne en Riemannsum

La $f(x) = x^2$ på $[0, 2]$ . Beregn hoyresummen $S_4$ med $n = 4$ delintervaller.

Løsning:

Steg 1: Finn $\Delta x$ :
$\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0{,}5$

Steg 2: Finn delingspunktene:
$x_0 = 0, \quad x_1 = 0{,}5, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 1{,}5, \quad x_4 = 2$

Steg 3: For hoyresum bruker vi $x_1, x_2, x_3, x_4$ :
$S_4 = f(0{,}5) \cdot 0{,}5 + f(1) \cdot 0{,}5 + f(1{,}5) \cdot 0{,}5 + f(2) \cdot 0{,}5$

Steg 4: Beregn funksjonsverdiene:
$S_4 = 0{,}25 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}5 + 2{,}25 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}5$
$S_4 = 0{,}125 + 0{,}5 + 1{,}125 + 2 = 3{,}75$

Kommentar: Den eksakte verdien av $\displaystyle \int_0^2 x^2 \, dx = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$ . Hoyresummen overestimerer fordi $f(x) = x^2$ er voksende.

📝Oppgave 2

La $f(x) = x^2$ på $[0, 2]$ . Beregn venstresummen $S_4$ med $n = 4$ delintervaller.

📜Over- og undersum

For en voksende funksjon $f$ på $[a, b]$ :
- Venstresummen er en undersum (underestimerer arealet)
- Hoyresummen er en oversum (overestimerer arealet)

For en avtagende funksjon er det motsatt.

Viktig observasjon: Nar $n \to \infty$ , vil bade over- og undersummen konvergere mot det eksakte arealet.

✏️Eksempel 3: Sigmanotasjon for Riemannsum

Skriv hoyresummen for $f(x) = x^2$ på $[0, 3]$ med $n$ delintervaller ved hjelp av sigmanotasjon.

Løsning:

Steg 1: Finn $\Delta x$ og delingspunktene:
$\Delta x = \frac{3 - 0}{n} = \frac{3}{n}$
$x_i = 0 + i \cdot \frac{3}{n} = \frac{3i}{n}$

Steg 2: Skriv hoyresummen:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{3i}{n}\right)^2 \cdot \frac{3}{n}$

Steg 3: Forenkle:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{9i^2}{n^2} \cdot \frac{3}{n} = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2$

📝Oppgave 3

Skriv hoyresummen for $f(x) = 2x$ på $[0, 4]$ med $n$ delintervaller ved hjelp av sigmanotasjon. Forenkle uttrykket.

Viktige summeformler

\sum_{i=1}^{n} 1 = n

✏️Eksempel 4: Beregne grenseverdi av Riemannsum

Finn $\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx$ ved a ta grenseverdien $\lim_{n \to \infty} S_n$ .

Løsning:

Fra Eksempel 3 har vi:
$S_n = \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{27}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Forenkle:
$S_n = \frac{27 \cdot n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{27(n+1)(2n+1)}{6n^2}$

Utvid telleren:
$S_n = \frac{27(2n^2 + 3n + 1)}{6n^2} = \frac{27 \cdot 2n^2 + 27 \cdot 3n + 27}{6n^2}$

$S_n = \frac{54n^2 + 81n + 27}{6n^2} = 9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}$

Ta grenseverdien:
$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(9 + \frac{13{,}5}{n} + \frac{4{,}5}{n^2}\right) = 9$

Svar: $\displaystyle\int_0^3 x^2 \, dx = 9$

📝Oppgave 4

Bruk grenseverdien av en Riemannsum til a vise at $\displaystyle\int_0^4 2x \, dx = 16$ .

Det bestemte integralet

f

✏️Eksempel 5: Integral som areal

Beregn $\displaystyle\int_0^2 3 \, dx$ bade geometrisk og ved Riemannsum.

Løsning:

Geometrisk:
Funksjonen $f(x) = 3$ er en horisontal linje. Arealet er et rektangel med bredde $2 - 0 = 2$ og høyde $3$ :
$A = 2 \cdot 3 = 6$

Ved Riemannsum:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x = \sum_{i=1}^{n} 3 \cdot \frac{2}{n} = \frac{6}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{6}{n} \cdot n = 6$

$\lim_{n \to \infty} S_n = 6$

Svar: $\displaystyle\int_0^2 3 \, dx = 6$

📝Oppgave 5

Beregn $\displaystyle\int_1^4 5 \, dx$ bade geometrisk og ved a bruke definisjonen av det bestemte integralet (Riemannsum).

Oppsummering: