2.3 Integrasjon av 1/x og eksponentialfunksjoner | Matematikk R2

Spesielle integraler med ln og e^x.

50 min

18 oppgaver

LogaritmeEksponentialfunksjonln xe^x

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Integrasjon av spesielle funksjoner

I dette kapittelet skal vi se på integrasjon av funksjoner som gir logaritmer og eksponentialfunksjoner som resultat. Disse integralene dukker opp i mange praktiske sammenhenger, blant annet ved modellering av vekst, forfall og strømning.

Vi starter med det viktige integralet av $\displaystyle \frac{1}{x}$ , som gir den naturlige logaritmen.

Integralet av 1/x

x \neq 0

✏️Eksempel 1: Grunnleggende integral med 1/x

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int \frac{3}{x} \, dx$ .

Vi trekker konstanten utenfor integralet:

$\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \int \frac{1}{x} \, dx = 3\ln|x| + C$

📝Oppgave 1

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int \frac{5}{x} \, dx$ .

Integralet av e^x

e^x

✏️Eksempel 2: Integral med e^x

Regn ut $\displaystyle\int (e^x + 2x) \, dx$ .

Vi integrerer ledd for ledd:

$\int (e^x + 2x) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2x \, dx = e^x + x^2 + C$

📝Oppgave 2

Regn ut $\displaystyle\int (3e^x - 4x) \, dx$ .

Integralet av e^(kx)

k \neq 0

✏️Eksempel 3: Integral med e^(kx)

Regn ut $\displaystyle\int e^{3x} \, dx$ og $\displaystyle\int e^{-2x} \, dx$ .

a) For

e^{3x}

har vi

k = 3

\int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C

b) For $e^{-2x}$ har vi $k = -2$ :
$\int e^{-2x} \, dx = \frac{1}{-2} e^{-2x} + C = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C$

📝Oppgave 3

Regn ut $\displaystyle\int 4e^{5x} \, dx$ og $\displaystyle\int e^{-x} \, dx$ .

Integralet av a^x

a > 0

✏️Eksempel 4: Integral med a^x

Regn ut $\displaystyle\int 2^x \, dx$ .

Vi bruker formelen med

a = 2

$\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

Dette kan skrives som $\displaystyle \frac{2^x}{\ln 2} + C \approx 1{,}44 \cdot 2^x + C$

📝Oppgave 4

Regn ut $\displaystyle\int 3^x \, dx$ og $\displaystyle\int 5 \cdot 2^x \, dx$ .

📜Kjerneregelen for integrasjon

Hvis

u = g(x)

er en deriverbar funksjon, så har vi:

$\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C$

der $F$ er en antiderivert av $f$ .

Spesielt for logaritmer:
$\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C$

Spesielt for eksponentialfunksjoner:
$\int g'(x) \cdot e^{g(x)} \, dx = e^{g(x)} + C$

✏️Eksempel 5: Kjerneregelen med ln

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$ .

Vi setter

g(x) = x^2 + 1

. Da er

g'(x) = 2x

Integralet har formen $\displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx$ , så vi bruker kjerneregelen:

$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \ln|x^2 + 1| + C = \ln(x^2 + 1) + C$

(Vi slipper absoluttverdi siden $x^2 + 1 > 0$ for alle $x$ .)

📝Oppgave 5

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int \frac{3x^2}{x^3 + 5} \, dx$ og $\displaystyle \displaystyle\int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx$ .

Tips for a gjenkjenne kjerneregel-integraler:

1. Se etter en brok der telleren er den deriverte av nevneren
2. Se etter et produkt der den ene faktoren er den deriverte av "kjernen" i den andre faktoren
3. Hvis du ser $e^{\text{noe}}$ , sjekk om "noe" sin deriverte ogsa er til stede

✏️Eksempel 6: Kjerneregelen med e^x

Regn ut $\displaystyle\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx$ .

Vi setter

g(x) = x^2

. Da er

g'(x) = 2x

Integralet har formen $\int g'(x) \cdot e^{g(x)} \, dx$ , sa:

$\int 2x \cdot e^{x^2} \, dx = e^{x^2} + C$

Kontroll: $\displaystyle \frac{d}{dx}[e^{x^2}] = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2}$ \checkmark

📝Oppgave 6

Regn ut $\displaystyle\int (3x^2 + 2) \cdot e^{x^3 + 2x} \, dx$ .

Bestemt integral med ln og e^x

\int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \Big[\ln|x|\Big]_a^b = \ln|b| - \ln|a|

✏️Eksempel 7: Bestemt integral

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} \, dx$ og $\displaystyle\int_0^2 e^x \, dx$ .

\displaystyle \displaystyle\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1

b) $\displaystyle\int_0^2 e^x \, dx = \Big[e^x\Big]_0^2 = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \approx 6{,}39$

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle \displaystyle\int_1^4 \frac{2}{x} \, dx$ og $\displaystyle\int_0^1 3e^{2x} \, dx$ .

Oppsummering

Funksjon	Integral
$\displaystyle \frac{1}{x}$	$\ln\|x\| + C$
$e^x$	$e^x + C$
$e^{kx}$	$\displaystyle \frac{1}{k}e^{kx} + C$
$a^x$	$\displaystyle \frac{a^x}{\ln a} + C$
$\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$	$\ln\|g(x)\| + C$
$g'(x) \cdot e^{g(x)}$	$e^{g(x)} + C$

Funksjon

Integral

\displaystyle \frac{1}{x}

\ln|x| + C

e^x

e^x + C

e^{kx}

\displaystyle \frac{1}{k}e^{kx} + C

a^x

\displaystyle \frac{a^x}{\ln a} + C

\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}

\ln|g(x)| + C

g'(x) \cdot e^{g(x)}

e^{g(x)} + C