2.2 Ubestemt integral

Antiderivasjon og grunnleggende integrasjonsregler.

55 min

20 oppgaver

AntiderivasjonIntegrasjonsreglerKonstantPotensregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Hva er integrasjon?

I forrige kapittel lærte vi å derivere funksjoner. Nå skal vi lære den omvendte operasjonen: integrasjon.

Derivasjon svarer på spørsmålet: Hva er vekstfarten til en funksjon?

Integrasjon svarer på spørsmålet: Hvilken funksjon har denne vekstfarten?

Hvis vi vet at $f'(x) = 2x$ , hvilken funksjon $f(x)$ ga denne deriverte? Vi vet at $(x^2)' = 2x$ , så $f(x) = x^2$ er én løsning. Men det finnes flere!

Antiderivert

F(x)

✏️Eksempel 1: Finne en antiderivert

Finn en antiderivert til $f(x) = 3x^2$ .

Løsning:

Vi leter etter en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = 3x^2$ .

Vi vet at $(x^3)' = 3x^2$ .

Derfor er $F(x) = x^3$ en antiderivert til $f(x) = 3x^2$ .

Sjekk: $F'(x) = (x^3)' = 3x^2 = f(x)$ ✓

📝Oppgave 1

Finn en antiderivert til hver funksjon. Sjekk svaret ved å derivere.

f(x) = 4x^3

f(x) = 5x^4

f(x) = 2x

f(x) = 6x^5

Integrasjonskonstanten $C$

La oss se på funksjonene $F_1(x) = x^2$ , $F_2(x) = x^2 + 5$ og $F_3(x) = x^2 - 3$ .

Alle disse har samme derivert:
- $F_1'(x) = 2x$
- $F_2'(x) = 2x$
- $F_3'(x) = 2x$

Dette betyr at alle tre er antideriverte til $f(x) = 2x$ !

Generelt: Hvis $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ , så er også $F(x) + C$ en antiderivert for enhver konstant $C$ .

Ubestemt integral

f(x)

✏️Eksempel 2: Ubestemt integral

Finn det ubestemte integralet $\displaystyle\int 6x^5 \, dx$ .

Løsning:

Vi leter etter en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = 6x^5$ .

Vi vet at $(x^6)' = 6x^5$ .

Derfor er:

$\int 6x^5 \, dx = x^6 + C$

Integrasjonskonstanten $C$ må alltid være med fordi $x^6 + C$ er en antiderivert for alle verdier av $C$ .

📝Oppgave 2

Finn det ubestemte integralet. Husk integrasjonskonstanten $C$ .

\displaystyle\int 2x \, dx

\displaystyle\int 4x^3 \, dx

\displaystyle\int 7x^6 \, dx

\displaystyle\int 10x^9 \, dx

Potensregelen for integrasjon

Nå skal vi utlede en generell regel for å integrere potensfunksjoner.

Vi vet at $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Hva om vi vil integrere $x^n$ ?

Hvis $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ , så er $x^{n+1}$ nesten en antiderivert til $x^n$ .

Men vi får faktoren $(n+1)$ som vi må kvitte oss med. Løsningen er å dele på $(n+1)$ :

$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$

📜Potensregelen for integrasjon

For alle

n \neq -1

gjelder:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Spesialtilfelle: For $n = 0$ får vi $\int 1 \, dx = x + C$ .

Merk: Regelen gjelder ikke for $n = -1$ fordi vi da ville delt på null. Integralet $\displaystyle \int x^{-1} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx$ behandles senere.

✏️Eksempel 3: Bruke potensregelen

Finn integralene:

a) $\displaystyle\int x^4 \, dx$

b) $\displaystyle\int x^{-3} \, dx$

c) $\displaystyle\int \sqrt{x} \, dx$

Løsning:

a) Vi bruker potensregelen med $n = 4$ :
$\int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

b) Vi bruker potensregelen med $n = -3$ :
$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

c) Først skriver vi om: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ . Potensregelen med $\displaystyle n = \frac{1}{2}$ :
$\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$

📝Oppgave 3

Bruk potensregelen til å finne integralene.

\displaystyle\int x^5 \, dx

\displaystyle\int x^{-2} \, dx

\displaystyle\int x^{-4} \, dx

\displaystyle\int \sqrt[3]{x} \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{1}{x^5} \, dx

Regneregler for integraler

Akkurat som for derivasjon har vi nyttige regneregler som gjør integrasjon enklere.

📜Sumregel og konstantfaktorregel

Sumregelen:

\int \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx

Differansregelen:
$\int \bigl(f(x) - g(x)\bigr) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx$

Konstantfaktorregelen:
$\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$

der $k$ er en konstant.

✏️Eksempel 4: Bruke regnereglene

Finn integralene:

a) $\displaystyle\int 5x^3 \, dx$

b) $\displaystyle\int (x^2 + 3x) \, dx$

c) $\displaystyle\int (4x^3 - 2x + 7) \, dx$

Løsning:

a) Konstantfaktorregelen:
$\int 5x^3 \, dx = 5 \int x^3 \, dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{5x^4}{4} + C$

b) Sumregelen:
$\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$

c) Sum- og konstantfaktorregelen:
$\int (4x^3 - 2x + 7) \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = x^4 - x^2 + 7x + C$

Merk: Vi trenger bare én integrasjonskonstant $C$ til slutt.

📝Oppgave 4

Finn integralene ved å bruke sum- og konstantfaktorregelen.

\displaystyle\int 3x^2 \, dx

\displaystyle\int (x^4 + x^2) \, dx

\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 1) \, dx

\displaystyle\int (2x^5 - 3x^3 + x) \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \left(\frac{1}{2}x^4 - \frac{2}{3}x^3\right) \, dx

Integrasjon av polynomer

Med potensregelen og regnereglene kan vi nå integrere alle polynomer.

Generell metode:
1. Skriv polynomet som en sum av ledd
2. Integrer hvert ledd for seg med potensregelen
3. Legg til integrasjonskonstanten $C$

For et polynom $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ får vi:

$\int p(x) \, dx = \frac{a_n x^{n+1}}{n+1} + \frac{a_{n-1} x^n}{n} + \cdots + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + C$

✏️Eksempel 5: Integrasjon av polynomer

Finn integralene:

a) $\displaystyle\int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx$

b) $\displaystyle\int (x+2)(x-3) \, dx$

c) $\displaystyle \displaystyle\int \frac{x^3 - 2x}{x} \, dx$

Løsning:

a) Integrer ledd for ledd:
$\int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + C$

b) Først utvider vi parentesene:
$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

Så integrerer vi:
$\int (x^2 - x - 6) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x + C$

c) Først forenkler vi ved å dele hvert ledd på $x$ :
$\frac{x^3 - 2x}{x} = \frac{x^3}{x} - \frac{2x}{x} = x^2 - 2$

Så integrerer vi:
$\int (x^2 - 2) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x + C$

📝Oppgave 5

Finn integralene. Forenkle uttrykket først hvis nødvendig.

\displaystyle\int (2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5) \, dx

\displaystyle\int (x+1)^2 \, dx

\displaystyle\int (2x-1)(x+3) \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{x^4 + x^2}{x^2} \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{(x+1)(x-1)}{x} \, dx

Oppsummering

Antiderivert: $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ hvis $F'(x) = f(x)$

Ubestemt integral: $\displaystyle\int f(x) \, dx = F(x) + C$

Potensregelen: $\displaystyle \displaystyle\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$

Sumregelen: $\displaystyle\int (f + g) \, dx = \int f \, dx + \int g \, dx$

Konstantfaktorregelen: $\displaystyle\int k \cdot f \, dx = k \cdot \int f \, dx$

Tips:
- Sjekk alltid svaret ved å derivere!
- Ikke glem integrasjonskonstanten $C$
- Forenkle uttrykket før du integrerer

Vanlige feil

- Glemme $C$ : Det ubestemte integralet inneholder alltid en integrasjonskonstant.
- Feil i potensregelen: Husk at eksponenten økes med 1, og vi deler på den nye eksponenten.
- $\displaystyle \int \frac{1}{x} \, dx \neq \frac{x^0}{0}$ : Potensregelen gjelder ikke for $n = -1$ . Her er svaret $\ln|x| + C$ .

Antiderivasjon og grunnleggende integrasjonsregler.

55 min

20 oppgaver

AntiderivasjonIntegrasjonsreglerKonstantPotensregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Hva er integrasjon?

I forrige kapittel lærte vi å derivere funksjoner. Nå skal vi lære den omvendte operasjonen: integrasjon.

Derivasjon svarer på spørsmålet: Hva er vekstfarten til en funksjon?

Integrasjon svarer på spørsmålet: Hvilken funksjon har denne vekstfarten?

Hvis vi vet at $f'(x) = 2x$ , hvilken funksjon $f(x)$ ga denne deriverte? Vi vet at $(x^2)' = 2x$ , så $f(x) = x^2$ er én løsning. Men det finnes flere!

Antiderivert

F(x)

✏️Eksempel 1: Finne en antiderivert

Finn en antiderivert til $f(x) = 3x^2$ .

Løsning:

Vi leter etter en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = 3x^2$ .

Vi vet at $(x^3)' = 3x^2$ .

Derfor er $F(x) = x^3$ en antiderivert til $f(x) = 3x^2$ .

Sjekk: $F'(x) = (x^3)' = 3x^2 = f(x)$ ✓

📝Oppgave 1

Finn en antiderivert til hver funksjon. Sjekk svaret ved å derivere.

f(x) = 4x^3

f(x) = 5x^4

f(x) = 2x

f(x) = 6x^5

Integrasjonskonstanten $C$

La oss se på funksjonene $F_1(x) = x^2$ , $F_2(x) = x^2 + 5$ og $F_3(x) = x^2 - 3$ .

Alle disse har samme derivert:
- $F_1'(x) = 2x$
- $F_2'(x) = 2x$
- $F_3'(x) = 2x$

Dette betyr at alle tre er antideriverte til $f(x) = 2x$ !

Generelt: Hvis $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ , så er også $F(x) + C$ en antiderivert for enhver konstant $C$ .

Ubestemt integral

f(x)

✏️Eksempel 2: Ubestemt integral

Finn det ubestemte integralet $\displaystyle\int 6x^5 \, dx$ .

Løsning:

Vi leter etter en funksjon $F(x)$ slik at $F'(x) = 6x^5$ .

Vi vet at $(x^6)' = 6x^5$ .

Derfor er:

$\int 6x^5 \, dx = x^6 + C$

Integrasjonskonstanten $C$ må alltid være med fordi $x^6 + C$ er en antiderivert for alle verdier av $C$ .

📝Oppgave 2

Finn det ubestemte integralet. Husk integrasjonskonstanten $C$ .

\displaystyle\int 2x \, dx

\displaystyle\int 4x^3 \, dx

\displaystyle\int 7x^6 \, dx

\displaystyle\int 10x^9 \, dx

Potensregelen for integrasjon

Nå skal vi utlede en generell regel for å integrere potensfunksjoner.

Vi vet at $(x^n)' = nx^{n-1}$ . Hva om vi vil integrere $x^n$ ?

Hvis $(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ , så er $x^{n+1}$ nesten en antiderivert til $x^n$ .

Men vi får faktoren $(n+1)$ som vi må kvitte oss med. Løsningen er å dele på $(n+1)$ :

$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$

📜Potensregelen for integrasjon

For alle

n \neq -1

gjelder:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

Spesialtilfelle: For $n = 0$ får vi $\int 1 \, dx = x + C$ .

Merk: Regelen gjelder ikke for $n = -1$ fordi vi da ville delt på null. Integralet $\displaystyle \int x^{-1} \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx$ behandles senere.

✏️Eksempel 3: Bruke potensregelen

Finn integralene:

a) $\displaystyle\int x^4 \, dx$

b) $\displaystyle\int x^{-3} \, dx$

c) $\displaystyle\int \sqrt{x} \, dx$

Løsning:

a) Vi bruker potensregelen med $n = 4$ :
$\int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$

b) Vi bruker potensregelen med $n = -3$ :
$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

📝Oppgave 3

Bruk potensregelen til å finne integralene.

\displaystyle\int x^5 \, dx

\displaystyle\int x^{-2} \, dx

\displaystyle\int x^{-4} \, dx

\displaystyle\int \sqrt[3]{x} \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{1}{x^5} \, dx

Regneregler for integraler

Akkurat som for derivasjon har vi nyttige regneregler som gjør integrasjon enklere.

📜Sumregel og konstantfaktorregel

Sumregelen:

\int \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx

Differansregelen:
$\int \bigl(f(x) - g(x)\bigr) \, dx = \int f(x) \, dx - \int g(x) \, dx$

Konstantfaktorregelen:
$\int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx$

der $k$ er en konstant.

✏️Eksempel 4: Bruke regnereglene

Finn integralene:

a) $\displaystyle\int 5x^3 \, dx$

b) $\displaystyle\int (x^2 + 3x) \, dx$

c) $\displaystyle\int (4x^3 - 2x + 7) \, dx$

Løsning:

a) Konstantfaktorregelen:
$\int 5x^3 \, dx = 5 \int x^3 \, dx = 5 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{5x^4}{4} + C$

b) Sumregelen:
$\int (x^2 + 3x) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 3x \, dx = \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$

c) Sum- og konstantfaktorregelen:
$\int (4x^3 - 2x + 7) \, dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = x^4 - x^2 + 7x + C$

Merk: Vi trenger bare én integrasjonskonstant $C$ til slutt.

📝Oppgave 4

Finn integralene ved å bruke sum- og konstantfaktorregelen.

\displaystyle\int 3x^2 \, dx

\displaystyle\int (x^4 + x^2) \, dx

\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 1) \, dx

\displaystyle\int (2x^5 - 3x^3 + x) \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \left(\frac{1}{2}x^4 - \frac{2}{3}x^3\right) \, dx

Integrasjon av polynomer

Med potensregelen og regnereglene kan vi nå integrere alle polynomer.

Generell metode:
1. Skriv polynomet som en sum av ledd
2. Integrer hvert ledd for seg med potensregelen
3. Legg til integrasjonskonstanten $C$

For et polynom $p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ får vi:

$\int p(x) \, dx = \frac{a_n x^{n+1}}{n+1} + \frac{a_{n-1} x^n}{n} + \cdots + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + C$

✏️Eksempel 5: Integrasjon av polynomer

Finn integralene:

a) $\displaystyle\int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx$

b) $\displaystyle\int (x+2)(x-3) \, dx$

c) $\displaystyle \displaystyle\int \frac{x^3 - 2x}{x} \, dx$

Løsning:

a) Integrer ledd for ledd:
$\int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + C$

b) Først utvider vi parentesene:
$(x+2)(x-3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$

Så integrerer vi:
$\int (x^2 - x - 6) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x + C$

c) Først forenkler vi ved å dele hvert ledd på $x$ :
$\frac{x^3 - 2x}{x} = \frac{x^3}{x} - \frac{2x}{x} = x^2 - 2$

Så integrerer vi:
$\int (x^2 - 2) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x + C$

📝Oppgave 5

Finn integralene. Forenkle uttrykket først hvis nødvendig.

\displaystyle\int (2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5) \, dx

\displaystyle\int (x+1)^2 \, dx

\displaystyle\int (2x-1)(x+3) \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{x^4 + x^2}{x^2} \, dx

\displaystyle \displaystyle\int \frac{(x+1)(x-1)}{x} \, dx

Oppsummering

Antiderivert: $F(x)$ er en antiderivert til $f(x)$ hvis $F'(x) = f(x)$

Ubestemt integral: $\displaystyle\int f(x) \, dx = F(x) + C$

Potensregelen: $\displaystyle \displaystyle\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ for $n \neq -1$

Sumregelen: $\displaystyle\int (f + g) \, dx = \int f \, dx + \int g \, dx$

Konstantfaktorregelen: $\displaystyle\int k \cdot f \, dx = k \cdot \int f \, dx$

Tips:
- Sjekk alltid svaret ved å derivere!
- Ikke glem integrasjonskonstanten $C$
- Forenkle uttrykket før du integrerer

Vanlige feil

Hva er integrasjon?

Integrasjonskonstanten CCC

Potensregelen for integrasjon

Regneregler for integraler

Integrasjon av polynomer

Oppsummering

2.2 Ubestemt integral

Hva er integrasjon?

Integrasjonskonstanten CCC

Potensregelen for integrasjon

Regneregler for integraler

Integrasjon av polynomer

Oppsummering

Integrasjonskonstanten $C$

Integrasjonskonstanten $C$