2.1 Repetisjon av derivasjon | Matematikk R2

Gjennomgang av derivasjonsregler fra R1.

40 min

16 oppgaver

DerivasjonDerivasjonsreglerKjerneregelProduktregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Derivasjon - en oversikt

I R1 lærte du å derivere funksjoner. Derivasjon handler om å finne den momentane endringsraten til en funksjon, altså hvor raskt funksjonen endrer seg i et bestemt punkt.

I dette kapittelet repeterer vi de viktigste derivasjonsreglene før vi går videre til nye temaer i R2.

Grunnleggende derivasjonsregler

Vi starter med de enkleste reglene som danner grunnlaget for all derivasjon.

Konstantregelen

f(x) = c

Potensregelen

f(x) = x^n

Sumregelen

f(x) = g(x) + h(x)

Konstantfaktorregel

f(x) = c \cdot g(x)

✏️Eksempel 1: Grunnleggende derivasjon

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = 5$
b) $g(x) = x^4$
c) $h(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4$

Løsning:

a) $f(x) = 5$ er en konstant, så:
$f'(x) = 0$

b) $g(x) = x^4$

Vi bruker potensregelen:
$g'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3$

c) $h(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4$

Vi bruker sum- og konstantfaktorregelen på hvert ledd:
$h'(x) = 3 \cdot 5x^4 - 2 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0 = 15x^4 - 6x^2 + 7$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene.

f(x) = x^7

g(x) = 4x^3 - 2x^2 + x

\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}x^6 - 3x^4 + 5

p(x) = x^{-2} + x^{-1}

Produktregel og kvotientregel

Når vi skal derivere produkter eller brøker av funksjoner, trenger vi egne regler.

Produktregelen

f(x) = g(x) \cdot h(x)

Kvotientregelen

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

✏️Eksempel 2: Produktregelen

Deriver $f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)$ ved hjelp av produktregelen.

Løsning:

La $g(x) = x^2 + 1$ og $h(x) = x^3 - 2x$ .

Da er $g'(x) = 2x$ og $h'(x) = 3x^2 - 2$ .

Vi bruker produktregelen:
$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$

$f'(x) = 2x \cdot (x^3 - 2x) + (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2)$

$f'(x) = 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2$

$f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$

Kontroll: Vi kan også gange ut først: $f(x) = x^5 - 2x^3 + x^3 - 2x = x^5 - x^3 - 2x$ , og derivere: $f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$ ✓

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen til å derivere funksjonene.

f(x) = x^2 \cdot (x + 1)

g(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)

h(x) = (x^3 + 2)(x^2 - 1)

✏️Eksempel 3: Kvotientregelen

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ved hjelp av kvotientregelen.

Løsning:

La $g(x) = x^2 + 1$ (teller) og $h(x) = x - 1$ (nevner).

Da er $g'(x) = 2x$ og $h'(x) = 1$ .

Vi bruker kvotientregelen:
$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$

$f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$

📝Oppgave 3

Bruk kvotientregelen til å derivere funksjonene.

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x + 2}

\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{x - 1}

\displaystyle h(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3}

Kjerneregelen (chain rule)

Kjerneregelen brukes når vi skal derivere sammensatte funksjoner, altså funksjoner der en funksjon er satt inn i en annen.

Kjerneregelen

f(x) = g(u)

✏️Eksempel 4: Kjerneregelen

Deriver følgende funksjoner ved hjelp av kjerneregelen:

a) $f(x) = (3x + 2)^5$
b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

Løsning:

a) $f(x) = (3x + 2)^5$

La kjernen være $u = 3x + 2$ , så $f = u^5$ .

Ytre derivert: $\displaystyle \frac{df}{du} = 5u^4$

Indre derivert (kjernens deriverte): $\displaystyle \frac{du}{dx} = 3$

Kjerneregelen gir:
$f'(x) = 5u^4 \cdot 3 = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4$

b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}$

La kjernen være $u = x^2 + 1$ , så $g = u^{1/2}$ .

Ytre derivert: $\displaystyle \frac{dg}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

Indre derivert: $\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x$

Kjerneregelen gir:
$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

📝Oppgave 4

Bruk kjerneregelen til å derivere funksjonene.

f(x) = (2x - 5)^4

g(x) = (x^3 + 2x)^3

h(x) = \sqrt{4x + 1}

\displaystyle p(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}

Derivasjon av spesielle funksjoner

Noen funksjoner har spesielle derivasjonsregler som vi må kunne utenat.

📜Derivasjon av eksponentialfunksjoner

\frac{d}{dx}(e^x) = e^x

$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln a \quad \text{(for } a > 0, a \neq 1\text{)}$

Med kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot u'$

📜Derivasjon av logaritmefunksjoner

\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$

Med kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{u'}{u}$

📜Derivasjon av trigonometriske funksjoner

\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

Med kjerneregelen:
- $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$
- $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$

✏️Eksempel 5: Derivasjon av spesielle funksjoner

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = e^{3x}$
b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$
c) $h(x) = \sin(2x)$
d) $p(x) = x^2 \cdot e^x$

Løsning:

a) $f(x) = e^{3x}$

La $u = 3x$ , så $u' = 3$ .
$f'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$

La $u = x^2 + 1$ , så $u' = 2x$ .
$g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

c) $h(x) = \sin(2x)$

La $u = 2x$ , så $u' = 2$ .
$h'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

d) $p(x) = x^2 \cdot e^x$

Her må vi bruke produktregelen med $g(x) = x^2$ og $h(x) = e^x$ .
$p'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(x + 2)$

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene. Bruk kjerneregelen der det er nødvendig.

f(x) = e^{-x^2}

g(x) = \ln(\sin x)

h(x) = \cos(x^3)

p(x) = e^x \cdot \sin x

\displaystyle q(x) = \frac{\ln x}{x}

Oppsummering av derivasjonsregler

Grunnleggende regler:
- Konstantregelen: $(c)' = 0$
- Potensregelen: $(x^n)' = nx^{n-1}$
- Sumregelen: $(f + g)' = f' + g'$
- Konstantfaktorregel: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$

Produkt- og kvotientregler:
- Produktregelen: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
- Kvotientregelen: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Kjerneregelen:
- $(g(u))' = g'(u) \cdot u'$ der $u = h(x)$

Spesielle funksjoner:
- $(e^x)' = e^x$
- $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$

Komplett formelsamling for derivasjon

Gjennomgang av derivasjonsregler fra R1.

40 min

16 oppgaver

DerivasjonDerivasjonsreglerKjerneregelProduktregel

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Derivasjon - en oversikt

I R1 lærte du å derivere funksjoner. Derivasjon handler om å finne den momentane endringsraten til en funksjon, altså hvor raskt funksjonen endrer seg i et bestemt punkt.

I dette kapittelet repeterer vi de viktigste derivasjonsreglene før vi går videre til nye temaer i R2.

Grunnleggende derivasjonsregler

Vi starter med de enkleste reglene som danner grunnlaget for all derivasjon.

Konstantregelen

f(x) = c

Potensregelen

f(x) = x^n

Sumregelen

f(x) = g(x) + h(x)

Konstantfaktorregel

f(x) = c \cdot g(x)

✏️Eksempel 1: Grunnleggende derivasjon

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = 5$
b) $g(x) = x^4$
c) $h(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4$

Løsning:

a) $f(x) = 5$ er en konstant, så:
$f'(x) = 0$

b) $g(x) = x^4$

Vi bruker potensregelen:
$g'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3$

c) $h(x) = 3x^5 - 2x^3 + 7x - 4$

Vi bruker sum- og konstantfaktorregelen på hvert ledd:
$h'(x) = 3 \cdot 5x^4 - 2 \cdot 3x^2 + 7 \cdot 1 - 0 = 15x^4 - 6x^2 + 7$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene.

f(x) = x^7

g(x) = 4x^3 - 2x^2 + x

\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}x^6 - 3x^4 + 5

p(x) = x^{-2} + x^{-1}

Produktregel og kvotientregel

Når vi skal derivere produkter eller brøker av funksjoner, trenger vi egne regler.

Produktregelen

f(x) = g(x) \cdot h(x)

Kvotientregelen

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

✏️Eksempel 2: Produktregelen

Deriver $f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)$ ved hjelp av produktregelen.

Løsning:

La $g(x) = x^2 + 1$ og $h(x) = x^3 - 2x$ .

Da er $g'(x) = 2x$ og $h'(x) = 3x^2 - 2$ .

Vi bruker produktregelen:
$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$

$f'(x) = 2x \cdot (x^3 - 2x) + (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2)$

$f'(x) = 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2$

$f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$

Kontroll: Vi kan også gange ut først: $f(x) = x^5 - 2x^3 + x^3 - 2x = x^5 - x^3 - 2x$ , og derivere: $f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$ ✓

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen til å derivere funksjonene.

f(x) = x^2 \cdot (x + 1)

g(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)

h(x) = (x^3 + 2)(x^2 - 1)

✏️Eksempel 3: Kvotientregelen

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ved hjelp av kvotientregelen.

Løsning:

La $g(x) = x^2 + 1$ (teller) og $h(x) = x - 1$ (nevner).

Da er $g'(x) = 2x$ og $h'(x) = 1$ .

Vi bruker kvotientregelen:
$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$

$f'(x) = \frac{2x \cdot (x - 1) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$

📝Oppgave 3

Bruk kvotientregelen til å derivere funksjonene.

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x + 2}

\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{x - 1}

\displaystyle h(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 3}

Kjerneregelen (chain rule)

Kjerneregelen brukes når vi skal derivere sammensatte funksjoner, altså funksjoner der en funksjon er satt inn i en annen.

Kjerneregelen

f(x) = g(u)

✏️Eksempel 4: Kjerneregelen

Deriver følgende funksjoner ved hjelp av kjerneregelen:

a) $f(x) = (3x + 2)^5$
b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

Løsning:

a) $f(x) = (3x + 2)^5$

La kjernen være $u = 3x + 2$ , så $f = u^5$ .

Ytre derivert: $\displaystyle \frac{df}{du} = 5u^4$

Indre derivert (kjernens deriverte): $\displaystyle \frac{du}{dx} = 3$

Kjerneregelen gir:
$f'(x) = 5u^4 \cdot 3 = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4$

b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{1/2}$

La kjernen være $u = x^2 + 1$ , så $g = u^{1/2}$ .

Ytre derivert: $\displaystyle \frac{dg}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

Indre derivert: $\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x$

Kjerneregelen gir:
$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

📝Oppgave 4

Bruk kjerneregelen til å derivere funksjonene.

f(x) = (2x - 5)^4

g(x) = (x^3 + 2x)^3

h(x) = \sqrt{4x + 1}

\displaystyle p(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}

Derivasjon av spesielle funksjoner

Noen funksjoner har spesielle derivasjonsregler som vi må kunne utenat.

📜Derivasjon av eksponentialfunksjoner

\frac{d}{dx}(e^x) = e^x

$\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \cdot \ln a \quad \text{(for } a > 0, a \neq 1\text{)}$

Med kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot u'$

📜Derivasjon av logaritmefunksjoner

\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

$\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$

Med kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot u' = \frac{u'}{u}$

📜Derivasjon av trigonometriske funksjoner

\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

$\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

Med kjerneregelen:
- $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$
- $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$

✏️Eksempel 5: Derivasjon av spesielle funksjoner

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = e^{3x}$
b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$
c) $h(x) = \sin(2x)$
d) $p(x) = x^2 \cdot e^x$

Løsning:

a) $f(x) = e^{3x}$

La $u = 3x$ , så $u' = 3$ .
$f'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$

La $u = x^2 + 1$ , så $u' = 2x$ .
$g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

c) $h(x) = \sin(2x)$

La $u = 2x$ , så $u' = 2$ .
$h'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

d) $p(x) = x^2 \cdot e^x$

Her må vi bruke produktregelen med $g(x) = x^2$ og $h(x) = e^x$ .
$p'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(x + 2)$

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene. Bruk kjerneregelen der det er nødvendig.

f(x) = e^{-x^2}

g(x) = \ln(\sin x)

h(x) = \cos(x^3)

p(x) = e^x \cdot \sin x

\displaystyle q(x) = \frac{\ln x}{x}

Oppsummering av derivasjonsregler

Grunnleggende regler:
- Konstantregelen: $(c)' = 0$
- Potensregelen: $(x^n)' = nx^{n-1}$
- Sumregelen: $(f + g)' = f' + g'$
- Konstantfaktorregel: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$

Produkt- og kvotientregler:
- Produktregelen: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$
- Kvotientregelen: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Kjerneregelen:
- $(g(u))' = g'(u) \cdot u'$ der $u = h(x)$

Spesielle funksjoner:
- $(e^x)' = e^x$
- $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$

Komplett formelsamling for derivasjon