6.2 Vektorregning | Matematikk R1

Skalarprodukt, lengde og vinkel mellom vektorer.

55 min

16 oppgaver

SkalarproduktVektorlengdeVinkel mellom vektorerOrtogonalitet

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Lengde av en vektor

Lengden (eller normen) til en vektor er avstanden fra startpunktet til sluttpunktet. Vi bruker Pytagoras' setning til å beregne denne.

Lengde av vektor

\vec{v} = [a, b]

✏️Eksempel 1: Lengde av vektor

Finn lengden til vektorene:

a) $\vec{u} = [3, 4]$
b) $\vec{v} = [-5, 12]$
c) $\vec{w} = [2, -2]$

Løsning:

a) $|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

b) $|\vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

c) $|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

📝Oppgave 1

Finn lengden til vektorene.

\vec{a} = [6, 8]

\vec{b} = [5, -12]

\vec{c} = [-1, 1]

\vec{d} = [0, 7]

Enhetsvektor

Noen ganger trenger vi en vektor med lengde 1 som peker i en bestemt retning.

Enhetsvektor

\hat{v}

✏️Eksempel 2: Enhetsvektor

Finn enhetsvektoren i samme retning som $\vec{v} = [3, 4]$ .

Løsning:

Først finner vi lengden:
$|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Enhetsvektoren blir:
$\hat{v} = \frac{1}{5}[3, 4] = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right]$

Kontroll: $\displaystyle |\hat{v}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1$ ✓

📝Oppgave 2

Finn enhetsvektoren i samme retning som den gitte vektoren.

\vec{u} = [5, 12]

\vec{v} = [1, 1]

\vec{w} = [-4, 3]

Skalarproduktet

Skalarproduktet (også kalt prikkproduktet eller det indre produktet) er en operasjon mellom to vektorer som gir et tall (en skalar).

Skalarprodukt

\vec{u} = [a_1, b_1]

✏️Eksempel 3: Skalarprodukt

La $\vec{u} = [2, 3]$ og $\vec{v} = [4, -1]$ .

Regn ut:
a) $\vec{u} \cdot \vec{v}$
b) $\vec{v} \cdot \vec{u}$
c) $\vec{u} \cdot \vec{u}$
d) $|\vec{u}|^2$

Løsning:

a) $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$

b) $\vec{v} \cdot \vec{u} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 8 - 3 = 5$

Vi ser at $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ .

c) $\vec{u} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13$

d) $|\vec{u}|^2 = (\sqrt{2^2 + 3^2})^2 = 2^2 + 3^2 = 13$

Vi bekrefter at $\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ .

📝Oppgave 3

La $\vec{a} = [3, -2]$ og $\vec{b} = [1, 4]$ . Regn ut:

\vec{a} \cdot \vec{b}

\vec{a} \cdot \vec{a}

\vec{b} \cdot \vec{b}

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a}

Vinkel mellom vektorer

Skalarproduktet har en viktig geometrisk tolkning: det forteller oss om vinkelen mellom to vektorer.

📜Vinkel mellom vektorer

Vinkelen

\theta

mellom to vektorer

\vec{u}

\vec{v}

er gitt ved:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

eller ekvivalent:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta$

Vinkelen $\theta$ er alltid mellom $0°$ og $180°$ .

📊Vinkel mellom vektorer

Dra i punktene for å endre vektorene og se hvordan vinkelen og skalarproduktet endrer seg.

✏️Eksempel 4: Vinkel mellom vektorer

Finn vinkelen mellom $\vec{u} = [1, \sqrt{3}]$ og $\vec{v} = [\sqrt{3}, 1]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn skalarproduktet:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

Steg 2: Beregn lengdene:
$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
$|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$

Steg 3: Bruk vinkelformelen:
$\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Steg 4: Finn vinkelen:
$\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°$

Vinkelen mellom vektorene er $30°$ .

📝Oppgave 4

Finn vinkelen mellom vektorparene.

\vec{u} = [1, 0]

\vec{v} = [1, 1]

\vec{a} = [3, 4]

\vec{b} = [4, -3]

\vec{p} = [2, 2]

\vec{q} = [-1, 1]

\vec{r} = [1, 1]

\vec{s} = [-1, -1]

Ortogonale vektorer

Når to vektorer står vinkelrett på hverandre, sier vi at de er ortogonale.

Ortogonale vektorer

\vec{u}

✏️Eksempel 5: Ortogonale vektorer

a) Avgjør om $\vec{u} = [2, 3]$ og $\vec{v} = [3, -2]$ er ortogonale.

b) Finn en vektor som er ortogonal på $\vec{w} = [4, 5]$ .

Løsning:

a) Vi beregner skalarproduktet:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0$

Siden $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , er $\vec{u} \perp \vec{v}$ . Ja, de er ortogonale.

b) La $\vec{n} = [a, b]$ være ortogonal på $\vec{w} = [4, 5]$ .

Da må $\vec{w} \cdot \vec{n} = 0$ :
$4a + 5b = 0$

Velger vi $a = 5$ , får vi $b = -4$ .

Svar: $\vec{n} = [5, -4]$ er ortogonal på $\vec{w}$ .

Generelt tips: For $\vec{v} = [a, b]$ er $[-b, a]$ og $[b, -a]$ alltid ortogonale på $\vec{v}$ .

📝Oppgave 5

Arbeid med ortogonale vektorer.

Avgjør om $\vec{a} = [5, 2]$ og $\vec{b} = [2, -5]$ er ortogonale.

Finn en vektor ortogonal på $\vec{u} = [3, -1]$ .

Finn alle vektorer med lengde 5 som er ortogonale på $\vec{v} = [3, 4]$ .

Projeksjon av vektor

Projeksjonen av en vektor på en annen er "skyggen" av den første vektoren langs den andre.

Projeksjon

\vec{u}

📊Projeksjon av vektor

Se hvordan projeksjonen av $\vec{u}$ på $\vec{v}$ varierer når du endrer vektorene.

✏️Eksempel 6: Projeksjon

Finn projeksjonen av $\vec{u} = [4, 3]$ på $\vec{v} = [5, 0]$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn skalarproduktet $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 20$

Steg 2: Beregn $|\vec{v}|^2$ :
$|\vec{v}|^2 = 5^2 + 0^2 = 25$

Steg 3: Beregn projeksjonen:
$\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{20}{25} [5, 0] = \frac{4}{5} [5, 0] = [4, 0]$

Tolkning: Projeksjonen av $\vec{u}$ på den horisontale vektoren $\vec{v}$ er den horisontale komponenten av $\vec{u}$ .

📝Oppgave 6

Finn projeksjonen av den første vektoren på den andre.

\vec{u} = [3, 4]

på

\vec{v} = [1, 0]

\vec{a} = [2, 6]

på

\vec{b} = [3, 4]

\vec{p} = [1, 2]

på

\vec{q} = [2, 1]

Anvendelser

Skalarprodukt og projeksjon har mange praktiske anvendelser.

✏️Eksempel 7: Arbeid i fysikk

En kraft $\vec{F} = [30, 40]$ N virker på en gjenstand som flyttes langs vektoren $\vec{s} = [5, 0]$ m. Beregn arbeidet som utføres.

Løsning:

I fysikk er arbeid definert som:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$

Vi beregner skalarproduktet:
$W = [30, 40] \cdot [5, 0] = 30 \cdot 5 + 40 \cdot 0 = 150 \text{ J}$

Arbeidet er 150 joule.

Tolkning: Bare kraftkomponenten i bevegelsesretningen (30 N) bidrar til arbeidet. Den vertikale kraftkomponenten (40 N) gjør ikke noe arbeid når bevegelsen er horisontal.

📝Oppgave 7

Anvendelsesoppgaver med skalarprodukt.

En kraft $\vec{F} = [20, 15]$ N virker på en gjenstand som flyttes $\vec{s} = [4, 3]$ m. Finn arbeidet.

Finn vinkelen mellom kraften og forskyvningen i oppgave a.

En kraft $\vec{F} = [0, 50]$ N virker på en gjenstand som flyttes $\vec{s} = [10, 0]$ m. Finn arbeidet og forklar resultatet.

Oppsummering

Lengde av vektor:
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Enhetsvektor:
$\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Skalarprodukt:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 a_2 + b_1 b_2$

Vinkel mellom vektorer:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Ortogonale vektorer:
$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Projeksjon:
$\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}$