6.3 Parameterframstilling | Matematikk R1

Parameterframstilling av linjer og anvendelser.

55 min

14 oppgaver

ParameterframstillingLinjer i planetSkjæringspunkterNaturvitenskapelige problemer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er parameterframstilling?

Til nå har vi beskrevet kurver med ligninger som $y = 2x + 3$ eller $x^2 + y^2 = 25$ . En alternativ måte er å uttrykke både $x$ og $y$ som funksjoner av en tredje variabel, kalt en parameter.

Dette gir oss større fleksibilitet og er spesielt nyttig for å beskrive bevegelse, der parameteren ofte representerer tid.

Parameterframstilling

\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}

Parameterframstilling av linje

En linje kan beskrives ved et startpunkt og en retningsvektor.

Parameterframstilling av linje

P = (x_0, y_0)

✏️Eksempel 1: Parameterframstilling av linje

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom $A = (1, 2)$ og $B = (4, 6)$ .

Løsning:

Steg 1: Velg et startpunkt. Vi bruker $A = (1, 2)$ .

Steg 2: Finn retningsvektoren:
$\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]$

Steg 3: Sett opp parameterframstillingen:
$\vec{r}(t) = [1, 2] + t[3, 4]$

På komponentform:
$\begin{cases} x(t) = 1 + 3t \\ y(t) = 2 + 4t \end{cases}$

Sjekk:
- For $t = 0$ : $(x, y) = (1, 2) = A$ ✓
- For $t = 1$ : $(x, y) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) = B$ ✓

📊Linje med parameterframstilling

Bruk glidebryteren for å se hvordan punktet beveger seg langs linjen når $t$ endres.

📝Oppgave 1

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom de gitte punktene.

A = (0, 0)

B = (2, 3)

A = (2, 1)

B = (5, 4)

A = (3, -1)

B = (1, 5)

A = (-2, 4)

B = (6, 0)

Fra parameterframstilling til kartesisk ligning

Noen ganger vil vi finne den vanlige ligningen $y = ax + b$ fra en parameterframstilling.

✏️Eksempel 2: Fra parameter til kartesisk form

Finn den kartesiske ligningen for linjen med parameterframstilling:

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}

Løsning:

Steg 1: Løs den første ligningen for $t$ :
$x = 1 + 2t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{2}$

Steg 2: Sett inn i den andre ligningen:
$y = 3 + 4 \cdot \frac{x - 1}{2} = 3 + 2(x - 1) = 3 + 2x - 2 = 2x + 1$

Svar: Den kartesiske ligningen er $y = 2x + 1$ .

Kontroll: Fra parameterframstillingen ser vi at retningsvektoren er $[2, 4]$ , så stigningstallet er $\displaystyle \frac{4}{2} = 2$ ✓

📝Oppgave 2

Finn den kartesiske ligningen for linjen.

x = 2 + t, y = 1 + 3t

x = 3t, y = -1 + 2t

x = 4 - 2t, y = 3 + t

Skjæringspunkt mellom linjer

For å finne skjæringspunktet mellom to linjer gitt ved parameterframstilling, setter vi ligningene lik hverandre.

✏️Eksempel 3: Skjæringspunkt

Finn skjæringspunktet mellom linjene:

Linje 1: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \end{cases}$

Linje 2: $\begin{cases} x = 4 + s \\ y = 1 + 2s \end{cases}$

Løsning:

Viktig: Vi må bruke forskjellige parameternavn for de to linjene ( $t$ og $s$ ).

I skjæringspunktet er $x$ - og $y$ -koordinatene like:

$1 + 2t = 4 + s \quad \text{(1)}$
$3 + t = 1 + 2s \quad \text{(2)}$

Fra (1): $s = 2t - 3$

Sett inn i (2):
$3 + t = 1 + 2(2t - 3)$
$3 + t = 1 + 4t - 6$
$3 + t = 4t - 5$
$8 = 3t$
$t = \frac{8}{3}$

Finn koordinatene:
$x = 1 + 2 \cdot \frac{8}{3} = 1 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}$
$y = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$

Svar: Skjæringspunktet er $\displaystyle \left(\frac{19}{3}, \frac{17}{3}\right)$ .

📝Oppgave 3

Finn skjæringspunktet mellom linjene.

\ell_1: x = t, y = 2t

\ell_2: x = 3 - s, y = s

\ell_1: x = 2 + t, y = 1 + t

\ell_2: x = 1 + 2s, y = 3 - s

\ell_1: x = 1 + 3t, y = 2t

\ell_2: x = 2s, y = 1 + s

Parameterframstilling av sirkel

Parameterframstilling er spesielt nyttig for kurver som ikke er funksjoner.

Sirkel med parameterframstilling

(h, k)

📊Sirkel med parameterframstilling

Se hvordan punktet beveger seg rundt sirkelen når parameteren $t$ endres.

✏️Eksempel 4: Sirkel

En sirkel har sentrum i $(2, 3)$ og radius 4.

a) Skriv parameterframstillingen.
b) Finn punktet på sirkelen for $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$ .
c) Verifiser at punktet ligger på sirkelen.

Løsning:

a) Parameterframstilling:
$\begin{cases} x(t) = 2 + 4\cos t \\ y(t) = 3 + 4\sin t \end{cases}$

b) For $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$ :
$x = 2 + 4\cos\frac{\pi}{3} = 2 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 = 4$
$y = 3 + 4\sin\frac{\pi}{3} = 3 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$

Punktet er $(4, 3 + 2\sqrt{3})$ .

c) Verifisering - avstanden fra sentrum til punktet:
$d = \sqrt{(4-2)^2 + (3 + 2\sqrt{3} - 3)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 = r \checkmark$

📝Oppgave 4

Arbeid med parameterframstilling av sirkler.

Skriv parameterframstillingen for sirkelen med sentrum i origo og radius 5.

Finn punktet på sirkelen $x = 3\cos t, y = 3\sin t$ for $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ .

Skriv parameterframstillingen for sirkelen med sentrum $(-1, 2)$ og radius 3.

Andre kurver

Mange interessante kurver kan beskrives med parameterframstilling.

✏️Eksempel 5: Ellipse

En ellipse har ligningen $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ .

Finn parameterframstillingen.

Løsning:

For en ellipse $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ er parameterframstillingen:
$\begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t \end{cases}$

Her er $a = 3$ og $b = 2$ .

Svar:
$\begin{cases} x(t) = 3\cos t \\ y(t) = 2\sin t \end{cases}$

Verifisering:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = \frac{9\cos^2 t}{9} + \frac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \checkmark$

Bevegelse og hastighetsvektor

Parameterframstilling er naturlig for å beskrive bevegelse, der parameteren $t$ ofte representerer tid.

Hastighetsvektor

\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]

✏️Eksempel 6: Bevegelse langs en linje

En partikkel beveger seg langs banen $\vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 + 4t]$ der $t$ er tid i sekunder og posisjon i meter.

a) Finn hastighetsvektoren.
b) Finn farten.
c) Hvor er partikkelen etter 3 sekunder?

Løsning:

a) Hastighetsvektoren:
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(1 + 2t), \frac{d}{dt}(3 + 4t)] = [2, 4]$

Hastighetsvektoren er konstant (rettlinjet bevegelse med konstant hastighet).

b) Farten:
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ m/s}$

c) Posisjon etter 3 sekunder:
$\vec{r}(3) = [1 + 2 \cdot 3, 3 + 4 \cdot 3] = [7, 15]$

Partikkelen er i punktet $(7, 15)$ .

✏️Eksempel 7: Sirkelbevegelse

En partikkel beveger seg langs sirkelen $\vec{r}(t) = [5\cos t, 5\sin t]$ .

a) Finn hastighetsvektoren.
b) Vis at hastighetsvektoren alltid er ortogonal på posisjonsvektoren.
c) Finn farten.

Løsning:

a) Hastighetsvektoren:
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [-5\sin t, 5\cos t]$

b) Vi beregner skalarproduktet $\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t)$ :
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (5\cos t)(-5\sin t) + (5\sin t)(5\cos t)$
$= -25\cos t \sin t + 25\sin t \cos t = 0$

Siden $\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$ , er $\vec{v} \perp \vec{r}$ . Hastighetsvektoren er tangent til sirkelen.

c) Farten:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-5\sin t)^2 + (5\cos t)^2} = \sqrt{25\sin^2 t + 25\cos^2 t} = \sqrt{25} = 5$

Farten er konstant og lik 5 (lik sirkelens radius, siden vinkelhastigheten er 1 rad/s).

📝Oppgave 5

En partikkel beveger seg langs banen $\vec{r}(t) = [3t, 4t - t^2]$ der $t \geq 0$ .

Finn hastighetsvektoren $\vec{v}(t)$ .

Finn farten ved $t = 0$ og $t = 2$ .

Når er hastigheten horisontal (parallell med $x$ -aksen)?

📝Oppgave 6

Anvendt oppgave med sirkelbevegelse.

En partikkel beveger seg langs $\vec{r}(t) = [4\cos(2t), 4\sin(2t)]$ . Finn hastighetsvektoren.

Finn farten. Sammenlign med forrige eksempel og forklar forskjellen.

Finn akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t)$ og vis at den peker mot sentrum.

📝Oppgave 7

Praktiske anvendelser.

Et fly flyr langs banen $\vec{r}(t) = [200t, 100t - 5t^2]$ (i meter). Finn maksimal høyde.

Når og hvor lander flyet (når $y = 0$ igjen)?

Finn farten ved landing.

Oppsummering

Parameterframstilling:
- Kurve: $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$
- Vektor: $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$

Linje:
$\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{v}$

Sirkel (sentrum $(h, k)$ , radius $r$ ):
$\begin{cases} x = h + r\cos t \\ y = k + r\sin t \end{cases}$

Bevegelse:
- Hastighetsvektor: $\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)$
- Fart: $|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$
- Akselerasjon: $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t)$

Skjæringspunkt: Sett ligningene lik hverandre med forskjellige parameternavn.

Parameterframstilling av linjer og anvendelser.

55 min

14 oppgaver

ParameterframstillingLinjer i planetSkjæringspunkterNaturvitenskapelige problemer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Hva er parameterframstilling?

Dette gir oss større fleksibilitet og er spesielt nyttig for å beskrive bevegelse, der parameteren ofte representerer tid.

Parameterframstilling

\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}

Parameterframstilling av linje

En linje kan beskrives ved et startpunkt og en retningsvektor.

Parameterframstilling av linje

P = (x_0, y_0)

✏️Eksempel 1: Parameterframstilling av linje

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom $A = (1, 2)$ og $B = (4, 6)$ .

Løsning:

Steg 1: Velg et startpunkt. Vi bruker $A = (1, 2)$ .

Steg 2: Finn retningsvektoren:
$\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]$

Steg 3: Sett opp parameterframstillingen:
$\vec{r}(t) = [1, 2] + t[3, 4]$

På komponentform:
$\begin{cases} x(t) = 1 + 3t \\ y(t) = 2 + 4t \end{cases}$

Sjekk:
- For $t = 0$ : $(x, y) = (1, 2) = A$ ✓
- For $t = 1$ : $(x, y) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) = B$ ✓

📊Linje med parameterframstilling

Bruk glidebryteren for å se hvordan punktet beveger seg langs linjen når $t$ endres.

📝Oppgave 1

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom de gitte punktene.

A = (0, 0)

B = (2, 3)

A = (2, 1)

B = (5, 4)

A = (3, -1)

B = (1, 5)

A = (-2, 4)

B = (6, 0)

Fra parameterframstilling til kartesisk ligning

Noen ganger vil vi finne den vanlige ligningen $y = ax + b$ fra en parameterframstilling.

✏️Eksempel 2: Fra parameter til kartesisk form

Finn den kartesiske ligningen for linjen med parameterframstilling:

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}

Løsning:

Steg 1: Løs den første ligningen for $t$ :
$x = 1 + 2t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{2}$

Steg 2: Sett inn i den andre ligningen:
$y = 3 + 4 \cdot \frac{x - 1}{2} = 3 + 2(x - 1) = 3 + 2x - 2 = 2x + 1$

Svar: Den kartesiske ligningen er $y = 2x + 1$ .

Kontroll: Fra parameterframstillingen ser vi at retningsvektoren er $[2, 4]$ , så stigningstallet er $\displaystyle \frac{4}{2} = 2$ ✓

📝Oppgave 2

Finn den kartesiske ligningen for linjen.

x = 2 + t, y = 1 + 3t

x = 3t, y = -1 + 2t

x = 4 - 2t, y = 3 + t

Skjæringspunkt mellom linjer

For å finne skjæringspunktet mellom to linjer gitt ved parameterframstilling, setter vi ligningene lik hverandre.

✏️Eksempel 3: Skjæringspunkt

Finn skjæringspunktet mellom linjene:

Linje 1: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \end{cases}$

Linje 2: $\begin{cases} x = 4 + s \\ y = 1 + 2s \end{cases}$

Løsning:

Viktig: Vi må bruke forskjellige parameternavn for de to linjene ( $t$ og $s$ ).

I skjæringspunktet er $x$ - og $y$ -koordinatene like:

$1 + 2t = 4 + s \quad \text{(1)}$
$3 + t = 1 + 2s \quad \text{(2)}$

Fra (1): $s = 2t - 3$

Sett inn i (2):
$3 + t = 1 + 2(2t - 3)$
$3 + t = 1 + 4t - 6$
$3 + t = 4t - 5$
$8 = 3t$
$t = \frac{8}{3}$

Finn koordinatene:
$x = 1 + 2 \cdot \frac{8}{3} = 1 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}$
$y = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$

Svar: Skjæringspunktet er $\displaystyle \left(\frac{19}{3}, \frac{17}{3}\right)$ .

📝Oppgave 3

Finn skjæringspunktet mellom linjene.

\ell_1: x = t, y = 2t

\ell_2: x = 3 - s, y = s

\ell_1: x = 2 + t, y = 1 + t

\ell_2: x = 1 + 2s, y = 3 - s

\ell_1: x = 1 + 3t, y = 2t

\ell_2: x = 2s, y = 1 + s

Parameterframstilling av sirkel

Parameterframstilling er spesielt nyttig for kurver som ikke er funksjoner.

Sirkel med parameterframstilling

(h, k)

📊Sirkel med parameterframstilling

Se hvordan punktet beveger seg rundt sirkelen når parameteren $t$ endres.

✏️Eksempel 4: Sirkel

En sirkel har sentrum i $(2, 3)$ og radius 4.

a) Skriv parameterframstillingen.
b) Finn punktet på sirkelen for $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$ .
c) Verifiser at punktet ligger på sirkelen.

Løsning:

a) Parameterframstilling:
$\begin{cases} x(t) = 2 + 4\cos t \\ y(t) = 3 + 4\sin t \end{cases}$

b) For $\displaystyle t = \frac{\pi}{3}$ :
$x = 2 + 4\cos\frac{\pi}{3} = 2 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 2 = 4$
$y = 3 + 4\sin\frac{\pi}{3} = 3 + 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$

Punktet er $(4, 3 + 2\sqrt{3})$ .

c) Verifisering - avstanden fra sentrum til punktet:
$d = \sqrt{(4-2)^2 + (3 + 2\sqrt{3} - 3)^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4 = r \checkmark$

📝Oppgave 4

Arbeid med parameterframstilling av sirkler.

Skriv parameterframstillingen for sirkelen med sentrum i origo og radius 5.

Finn punktet på sirkelen $x = 3\cos t, y = 3\sin t$ for $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$ .

Skriv parameterframstillingen for sirkelen med sentrum $(-1, 2)$ og radius 3.

Andre kurver

Mange interessante kurver kan beskrives med parameterframstilling.

✏️Eksempel 5: Ellipse

En ellipse har ligningen $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ .

Finn parameterframstillingen.

Løsning:

For en ellipse $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ er parameterframstillingen:
$\begin{cases} x(t) = a\cos t \\ y(t) = b\sin t \end{cases}$

Her er $a = 3$ og $b = 2$ .

Svar:
$\begin{cases} x(t) = 3\cos t \\ y(t) = 2\sin t \end{cases}$

Verifisering:
$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = \frac{9\cos^2 t}{9} + \frac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \checkmark$

Bevegelse og hastighetsvektor

Parameterframstilling er naturlig for å beskrive bevegelse, der parameteren $t$ ofte representerer tid.

Hastighetsvektor

\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]

✏️Eksempel 6: Bevegelse langs en linje

En partikkel beveger seg langs banen $\vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 + 4t]$ der $t$ er tid i sekunder og posisjon i meter.

a) Finn hastighetsvektoren.
b) Finn farten.
c) Hvor er partikkelen etter 3 sekunder?

Løsning:

a) Hastighetsvektoren:
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(1 + 2t), \frac{d}{dt}(3 + 4t)] = [2, 4]$

Hastighetsvektoren er konstant (rettlinjet bevegelse med konstant hastighet).

b) Farten:
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ m/s}$

c) Posisjon etter 3 sekunder:
$\vec{r}(3) = [1 + 2 \cdot 3, 3 + 4 \cdot 3] = [7, 15]$

Partikkelen er i punktet $(7, 15)$ .

✏️Eksempel 7: Sirkelbevegelse

En partikkel beveger seg langs sirkelen $\vec{r}(t) = [5\cos t, 5\sin t]$ .

a) Finn hastighetsvektoren.
b) Vis at hastighetsvektoren alltid er ortogonal på posisjonsvektoren.
c) Finn farten.

Løsning:

a) Hastighetsvektoren:
$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [-5\sin t, 5\cos t]$

b) Vi beregner skalarproduktet $\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t)$ :
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (5\cos t)(-5\sin t) + (5\sin t)(5\cos t)$
$= -25\cos t \sin t + 25\sin t \cos t = 0$

Siden $\vec{r} \cdot \vec{v} = 0$ , er $\vec{v} \perp \vec{r}$ . Hastighetsvektoren er tangent til sirkelen.

c) Farten:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-5\sin t)^2 + (5\cos t)^2} = \sqrt{25\sin^2 t + 25\cos^2 t} = \sqrt{25} = 5$

Farten er konstant og lik 5 (lik sirkelens radius, siden vinkelhastigheten er 1 rad/s).

📝Oppgave 5

En partikkel beveger seg langs banen $\vec{r}(t) = [3t, 4t - t^2]$ der $t \geq 0$ .

Finn hastighetsvektoren $\vec{v}(t)$ .

Finn farten ved $t = 0$ og $t = 2$ .

Når er hastigheten horisontal (parallell med $x$ -aksen)?

📝Oppgave 6

Anvendt oppgave med sirkelbevegelse.

En partikkel beveger seg langs $\vec{r}(t) = [4\cos(2t), 4\sin(2t)]$ . Finn hastighetsvektoren.

Finn farten. Sammenlign med forrige eksempel og forklar forskjellen.

Finn akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t)$ og vis at den peker mot sentrum.

📝Oppgave 7

Praktiske anvendelser.

Et fly flyr langs banen $\vec{r}(t) = [200t, 100t - 5t^2]$ (i meter). Finn maksimal høyde.

Når og hvor lander flyet (når $y = 0$ igjen)?

Finn farten ved landing.

Oppsummering

Parameterframstilling:
- Kurve: $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}$
- Vektor: $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$

Linje:
$\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{v}$

Sirkel (sentrum $(h, k)$ , radius $r$ ):
$\begin{cases} x = h + r\cos t \\ y = k + r\sin t \end{cases}$

Bevegelse:
- Hastighetsvektor: $\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)$
- Fart: $|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$
- Akselerasjon: $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t)$

Skjæringspunkt: Sett ligningene lik hverandre med forskjellige parameternavn.