6.1 Vektorer i planet | Matematikk R1

Vektorbegrepet og grunnleggende vektoroperasjoner.

55 min

16 oppgaver

VektorbegrepVektoraddisjonSkalar multiplikasjonKoordinater

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Hva er en vektor?

I matematikk og fysikk trenger vi ofte å beskrive størrelser som har både størrelse (lengde) og retning. Eksempler er kraft, hastighet, forskyvning og akselerasjon.

En slik størrelse kalles en vektor. I motsetning til vanlige tall (skalarer), som bare har en verdi, har vektorer altså to egenskaper: hvor lang de er, og hvilken retning de peker.

Vektor

\vec{v}

Grafisk framstilling

En vektor tegnes som en pil fra ett punkt (startpunktet) til et annet (sluttpunktet). Pilens lengde viser vektorens størrelse, og pilens retning viser vektorens retning.

Vektorer som har samme lengde og peker i samme retning, regnes som like vektorer selv om de starter fra forskjellige punkter.

📊Vektorer i planet

Utforsk vektorer grafisk. Du kan dra i punktene for å se hvordan vektorene endrer seg.

Komponentform

For å regne med vektorer bruker vi et koordinatsystem. En vektor $\vec{v}$ kan da skrives ved hjelp av sine komponenter langs $x$ -aksen og $y$ -aksen.

Komponentform

\vec{v}

Enhetsvektorene i og j

\vec{i}

✏️Eksempel 1: Finne komponentform

Finn vektoren $\vec{AB}$ på komponentform når:

a) $A = (2, 3)$ og $B = (5, 7)$
b) $A = (-1, 4)$ og $B = (3, -2)$
c) $A = (0, 0)$ og $B = (-3, 5)$

Løsning:

Vi bruker formelen $\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]$ :

a) $\vec{AB} = [5 - 2, 7 - 3] = [3, 4]$

b) $\vec{AB} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6]$

c) $\vec{AB} = [-3 - 0, 5 - 0] = [-3, 5]$

📝Oppgave 1

Finn vektoren $\vec{AB}$ på komponentform.

A = (1, 2)

B = (4, 6)

A = (3, -1)

B = (-2, 4)

A = (-2, -3)

B = (1, 0)

A = (5, 0)

B = (0, 5)

Stedvektor og forskyvningsvektor

Det finnes to viktige typer vektorer som brukes mye:

Stedvektor

P = (a, b)

Forskyvningsvektor

A

✏️Eksempel 2: Stedvektor og forskyvningsvektor

Et punkt $P = (3, 4)$ flyttes til punkt $Q = (7, 1)$ .

a) Finn stedvektoren til $P$ .
b) Finn stedvektoren til $Q$ .
c) Finn forskyvningsvektoren fra $P$ til $Q$ .

Løsning:

a) Stedvektoren til $P$ :
$\vec{OP} = [3, 4]$

b) Stedvektoren til $Q$ :
$\vec{OQ} = [7, 1]$

c) Forskyvningsvektoren fra $P$ til $Q$ :
$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = [7, 1] - [3, 4] = [7-3, 1-4] = [4, -3]$

Vektoraddisjon

Når vi legger sammen to vektorer, får vi en ny vektor som kalles summen eller resultanten.

Vektoraddisjon

\vec{u} = [a_1, b_1]

📊Vektoraddisjon: Trekantregelen

Dra i punktene for å se hvordan sumvektoren endrer seg.

✏️Eksempel 3: Vektoraddisjon

La $\vec{u} = [3, 2]$ og $\vec{v} = [-1, 4]$ .

Regn ut:
a) $\vec{u} + \vec{v}$
b) $\vec{v} + \vec{u}$
c) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ der $\vec{w} = [2, -3]$

Løsning:

a) $\vec{u} + \vec{v} = [3, 2] + [-1, 4] = [3 + (-1), 2 + 4] = [2, 6]$

b) $\vec{v} + \vec{u} = [-1, 4] + [3, 2] = [-1 + 3, 4 + 2] = [2, 6]$

Vi ser at $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (vektoraddisjon er kommutativ).

c) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = [2, 6] + [2, -3] = [2 + 2, 6 + (-3)] = [4, 3]$

📝Oppgave 2

La $\vec{a} = [2, 5]$ , $\vec{b} = [-3, 1]$ og $\vec{c} = [4, -2]$ . Regn ut:

\vec{a} + \vec{b}

\vec{b} + \vec{c}

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}

\vec{a} + \vec{c}

Skalar multiplikasjon

Når vi ganger en vektor med et tall (en skalar), endrer vi vektorens lengde.

Skalar multiplikasjon

\vec{v} = [a, b]

Motsatt vektor og nullvektor

\vec{v} = [a, b]

✏️Eksempel 4: Skalar multiplikasjon

La $\vec{v} = [2, -3]$ .

Regn ut:
a) $3\vec{v}$
b) $-2\vec{v}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v}$
d) $-\vec{v}$

Løsning:

a) $3\vec{v} = 3 \cdot [2, -3] = [3 \cdot 2, 3 \cdot (-3)] = [6, -9]$

b) $-2\vec{v} = -2 \cdot [2, -3] = [(-2) \cdot 2, (-2) \cdot (-3)] = [-4, 6]$

c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2} \cdot [2, -3] = [\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot (-3)] = [1, -\frac{3}{2}]$

d) $-\vec{v} = -1 \cdot [2, -3] = [-2, 3]$

📝Oppgave 3

La $\vec{u} = [4, -2]$ og $\vec{v} = [-1, 3]$ . Regn ut:

2\vec{u}

-3\vec{v}

2\vec{u} + 3\vec{v}

\vec{u} - 2\vec{v}

Vektorsubtraksjon

Subtraksjon av vektorer defineres ved hjelp av addisjon og motsatt vektor.

Vektorsubtraksjon

\vec{u} = [a_1, b_1]

✏️Eksempel 5: Kombinerte operasjoner

La $\vec{a} = [1, 4]$ , $\vec{b} = [3, -2]$ og $\vec{c} = [-2, 1]$ .

Regn ut:
a) $2\vec{a} - \vec{b}$
b) $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}$
c) $-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Løsning:

a) $2\vec{a} - \vec{b} = 2[1, 4] - [3, -2] = [2, 8] - [3, -2] = [2 - 3, 8 - (-2)] = [-1, 10]$

b) $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c} = [1, 4] + 2[3, -2] - 3[-2, 1]$
$= [1, 4] + [6, -4] - [-6, 3]$
$= [1 + 6 - (-6), 4 + (-4) - 3]$
$= [13, -3]$

c) $-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = -[1, 4] + [3, -2] + [-2, 1]$
$= [-1, -4] + [3, -2] + [-2, 1]$
$= [-1 + 3 + (-2), -4 + (-2) + 1]$
$= [0, -5]$

📝Oppgave 4

La $\vec{p} = [2, 1]$ , $\vec{q} = [-1, 3]$ og $\vec{r} = [3, -4]$ . Regn ut:

\vec{p} - \vec{q}

3\vec{p} + 2\vec{q}

\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}

2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}

Parallelle vektorer

To vektorer kan ha samme eller motsatt retning. Da sier vi at de er parallelle.

Parallelle vektorer

\vec{u}

✏️Eksempel 6: Parallelle vektorer

Avgjør om vektorene er parallelle:

a) $\vec{u} = [2, 6]$ og $\vec{v} = [1, 3]$
b) $\vec{a} = [3, -2]$ og $\vec{b} = [-6, 4]$
c) $\vec{p} = [1, 2]$ og $\vec{q} = [3, 5]$

Løsning:

a) Vi undersøker om $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ :
$[2, 6] = k \cdot [1, 3]$ gir $2 = k \cdot 1$ og $6 = k \cdot 3$
Fra første ligning: $k = 2$ . Sjekk: $2 \cdot 3 = 6$ ✓
Altså er $\vec{u} = 2\vec{v}$ , så $\vec{u} \parallel \vec{v}$ . Parallelle.

b) Vi undersøker om $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ :
$[3, -2] = k \cdot [-6, 4]$ gir $3 = -6k$ og $-2 = 4k$
Fra første ligning: $\displaystyle k = -\frac{1}{2}$ . Fra andre ligning: $\displaystyle k = -\frac{1}{2}$ ✓
Altså er $\displaystyle \vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{b}$ , så $\vec{a} \parallel \vec{b}$ . Parallelle.

c) Vi undersøker om $\vec{p} = k \cdot \vec{q}$ :
$[1, 2] = k \cdot [3, 5]$ gir $1 = 3k$ og $2 = 5k$
Fra første ligning: $\displaystyle k = \frac{1}{3}$ . Fra andre ligning: $\displaystyle k = \frac{2}{5}$ .
Siden $\displaystyle \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$ , er de ikke parallelle.

📝Oppgave 5

Avgjør om vektorparene er parallelle. Begrunn svaret.

\vec{u} = [4, 8]

\vec{v} = [2, 4]

\vec{a} = [3, 1]

\vec{b} = [6, 3]

\vec{p} = [-2, 5]

\vec{q} = [4, -10]

\vec{r} = [1, 0]

\vec{s} = [0, 1]

Anvendelser av vektorer

Vektorer brukes i mange sammenhenger, spesielt i fysikk og geometri.

✏️Eksempel 7: Midtpunkt mellom to punkter

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket mellom $A = (1, 3)$ og $B = (5, 7)$ ved hjelp av vektorer.

Løsning:

La $\vec{a} = \vec{OA} = [1, 3]$ og $\vec{b} = \vec{OB} = [5, 7]$ være stedvektorene.

Stedvektoren til midtpunktet er gjennomsnittet av stedvektorene:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}([1, 3] + [5, 7]) = \frac{1}{2}[6, 10] = [3, 5]$

Altså er $M = (3, 5)$ .

Alternativ metode: Midtpunktsformelen gir direkte:
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) = (3, 5)$

📝Oppgave 6

Bruk vektorer til å løse oppgavene.

Finn midtpunktet mellom $A = (2, -4)$ og $B = (8, 6)$ .

Punktet $A = (1, 2)$ flyttes med vektor $\vec{v} = [3, -1]$ . Hvor havner punktet?

Finn vektoren som fører punktet $(3, 5)$ til punktet $(-1, 2)$ .

📝Oppgave 7

Sammensatte oppgaver med vektorer.

I en trekant er $A = (0, 0)$ , $B = (6, 0)$ og $C = (2, 4)$ . Finn midtpunktene på alle tre sider.

Vis at vektoren fra $A$ til midtpunktet på $BC$ er $\vec{v} = [4, 2]$ .

Finn koordinatene til tyngdepunktet $T$ i trekanten. (Hint: $T$ deler medianen fra $A$ i forholdet $2:1$ )

Oppsummering

Vektor:
- En størrelse med både lengde og retning
- Skrives som $\vec{v}$ , $\bar{v}$ eller $\mathbf{v}$

Komponentform:
- $\vec{v} = [a, b]$ der $a$ og $b$ er komponentene
- $\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]$

Vektoroperasjoner:
- Addisjon: $[a_1, b_1] + [a_2, b_2] = [a_1 + a_2, b_1 + b_2]$
- Skalar multiplikasjon: $k[a, b] = [ka, kb]$
- Subtraksjon: $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$

Spesielle vektorer:
- Nullvektor: $\vec{0} = [0, 0]$
- Enhetsvektorer: $\vec{i} = [1, 0]$ , $\vec{j} = [0, 1]$

Parallelle vektorer:
- $\vec{u} \parallel \vec{v}$ hvis $\vec{u} = k\vec{v}$ for en skalar $k \neq 0$