4.5 Derivasjon av omvendte funksjoner

Den deriverte til omvendte funksjoner.

50 min

14 oppgaver

Derivasjon av f^{-1}Implisitt derivasjonSammenheng mellom f og f^{-1}

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Omvendte funksjoner og derivasjon

Hvis $f$ er en inverterbar funksjon med omvendt funksjon $f^{-1}$ , hvordan finner vi den deriverte til $f^{-1}$ ?

For eksempel vet vi at $e^x$ og $\ln x$ er omvendte funksjoner. Vi kjenner $(e^x)' = e^x$ , men hva er $(\ln x)'$ ?

I dette kapittelet utleder vi en generell formel for derivasjon av omvendte funksjoner.

Sammenhengen mellom $f$ og $f^{-1}$

Husk at $f$ og $f^{-1}$ er omvendte funksjoner betyr at:
- $f(f^{-1}(x)) = x$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f^{-1}$
- $f^{-1}(f(x)) = x$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f$

Grafisk er $y = f^{-1}(x)$ en speiling av $y = f(x)$ om linjen $y = x$ .

📜Derivasjon av omvendt funksjon

f

være en deriverbar funksjon med omvendt funksjon

f^{-1}

. Hvis

f'(f^{-1}(x)) \neq 0

, så er

f^{-1}

deriverbar og

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Eller ekvivalent, hvis $y = f(x)$ :

$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

Utledning av formelen

Vi starter med likheten $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Deriverer vi begge sider med hensyn på $x$ og bruker kjerneregelen:

$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$

Løser vi for $(f^{-1})'(x)$ :

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

✏️Eksempel 1: Derivasjon av ln x

Bruk formelen for omvendte funksjoner til å utlede at $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ .

Løsning:

Vi vet at $\ln x$ er den omvendte funksjonen til $e^x$ .

La $f(x) = e^x$ , slik at $f^{-1}(x) = \ln x$ .

Vi har $f'(x) = e^x$ .

Formelen gir:
$(\ln x)' = (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$

Svar: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$

✏️Eksempel 2: Derivasjon av arctan x

Finn $(\arctan x)'$ .

Løsning:

$\arctan x$ er den omvendte funksjonen til $\tan x$ (på intervallet $\displaystyle (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ).

La $f(x) = \tan x$ , slik at $f^{-1}(x) = \arctan x$ .

Vi har $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ .

La $y = \arctan x$ , slik at $\tan y = x$ .

Formelen gir:
$(\arctan x)' = \frac{1}{f'(\arctan x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}$

Svar: $\displaystyle (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

✏️Eksempel 3: Derivasjon av arcsin x

Finn $(\arcsin x)'$ .

Løsning:

$\arcsin x$ er den omvendte funksjonen til $\sin x$ (på intervallet $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ).

La $f(x) = \sin x$ , slik at $f^{-1}(x) = \arcsin x$ .

Vi har $f'(x) = \cos x$ .

La $y = \arcsin x$ , slik at $\sin y = x$ og $\displaystyle y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ .

Da er $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ (positiv fordi $y$ er i første eller fjerde kvadrant).

Formelen gir:
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Svar: $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ for $|x| < 1$

Deriverte av inverse trigonometriske funksjoner

\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x| < 1

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene.

f(x) = \arctan(2x)

g(x) = \arcsin(x^2)

h(x) = x \cdot \arctan x

Implisitt derivasjon (introduksjon)

Noen ganger er $y$ gitt implisitt som funksjon av $x$ gjennom en likning, uten at vi kan løse eksplisitt for $y$ .

Eksempel: $x^2 + y^2 = 1$ definerer $y$ implisitt som funksjon av $x$ .

Implisitt derivasjon lar oss finne $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ uten å løse for $y$ først.

Metode for implisitt derivasjon:

1. Deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$
2. Husk at $y$ er en funksjon av $x$ , så bruk kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}$
3. Samle alle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på én side
4. Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$

✏️Eksempel 4: Implisitt derivasjon av sirkel

Gitt $x^2 + y^2 = 1$ , finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon.

Løsning:

Vi deriverer begge sider med hensyn på $x$ :

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Løser for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Svar: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ (der $y \neq 0$ )

Tolkning: I punktet $\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ på sirkelen er stigningstallet $\displaystyle -\frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

✏️Eksempel 5: Implisitt derivasjon med produkt

Gitt $xy + y^2 = 1$ , finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

Løsning:

Vi deriverer begge sider med hensyn på $x$ :

For leddet $xy$ bruker vi produktregelen:
$\frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$

For leddet $y^2$ :
$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Så vi får:
$y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

Samler ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :
$(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$

Svar: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$ (der $x + 2y \neq 0$ )

📝Oppgave 2

Bruk implisitt derivasjon til å finne $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

x^2 - y^2 = 4

x^3 + y^3 = 6xy

\sin(xy) = x

📝Oppgave 3

Finn tangentens likning til kurven i det gitte punktet.

x^2 + y^2 = 25

i punktet

(3, 4)

xy = 6

i punktet

(2, 3)

📝Oppgave 4

Utfordringsoppgaver med inverse funksjoner.

La $f(x) = x^3 + x$ . Vis at $f$ har en omvendt funksjon, og finn $(f^{-1})'(2)$ .

Deriver $f(x) = \arctan(e^x)$

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene.

f(x) = \arccos(2x)

g(x) = \arctan(\ln x)

h(x) = \arcsin(\sin x)

Oppsummering

Derivasjon av omvendt funksjon:
$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Viktige deriverte:
- $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\displaystyle (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\displaystyle (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Implisitt derivasjon:
- Deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$
- Husk at $\displaystyle \frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}$ (kjerneregel)
- Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$

📊Omvendte funksjoner

Grafen til $f(x) = e^x$ og $f^{-1}(x) = \ln x$ , speilet om $y = x$ .

Den deriverte til omvendte funksjoner.

50 min

14 oppgaver

Derivasjon av f^{-1}Implisitt derivasjonSammenheng mellom f og f^{-1}

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Omvendte funksjoner og derivasjon

Hvis $f$ er en inverterbar funksjon med omvendt funksjon $f^{-1}$ , hvordan finner vi den deriverte til $f^{-1}$ ?

For eksempel vet vi at $e^x$ og $\ln x$ er omvendte funksjoner. Vi kjenner $(e^x)' = e^x$ , men hva er $(\ln x)'$ ?

I dette kapittelet utleder vi en generell formel for derivasjon av omvendte funksjoner.

Sammenhengen mellom $f$ og $f^{-1}$

Husk at $f$ og $f^{-1}$ er omvendte funksjoner betyr at:
- $f(f^{-1}(x)) = x$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f^{-1}$
- $f^{-1}(f(x)) = x$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f$

Grafisk er $y = f^{-1}(x)$ en speiling av $y = f(x)$ om linjen $y = x$ .

📜Derivasjon av omvendt funksjon

f

være en deriverbar funksjon med omvendt funksjon

f^{-1}

. Hvis

f'(f^{-1}(x)) \neq 0

, så er

f^{-1}

deriverbar og

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Eller ekvivalent, hvis $y = f(x)$ :

$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

Utledning av formelen

Vi starter med likheten $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Deriverer vi begge sider med hensyn på $x$ og bruker kjerneregelen:

$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$

Løser vi for $(f^{-1})'(x)$ :

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

✏️Eksempel 1: Derivasjon av ln x

Bruk formelen for omvendte funksjoner til å utlede at $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ .

Løsning:

Vi vet at $\ln x$ er den omvendte funksjonen til $e^x$ .

La $f(x) = e^x$ , slik at $f^{-1}(x) = \ln x$ .

Vi har $f'(x) = e^x$ .

Formelen gir:
$(\ln x)' = (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x}$

Svar: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$

✏️Eksempel 2: Derivasjon av arctan x

Finn $(\arctan x)'$ .

Løsning:

$\arctan x$ er den omvendte funksjonen til $\tan x$ (på intervallet $\displaystyle (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ).

La $f(x) = \tan x$ , slik at $f^{-1}(x) = \arctan x$ .

Vi har $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ .

La $y = \arctan x$ , slik at $\tan y = x$ .

Formelen gir:
$(\arctan x)' = \frac{1}{f'(\arctan x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}$

Svar: $\displaystyle (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$

✏️Eksempel 3: Derivasjon av arcsin x

Finn $(\arcsin x)'$ .

Løsning:

$\arcsin x$ er den omvendte funksjonen til $\sin x$ (på intervallet $\displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ).

La $f(x) = \sin x$ , slik at $f^{-1}(x) = \arcsin x$ .

Vi har $f'(x) = \cos x$ .

La $y = \arcsin x$ , slik at $\sin y = x$ og $\displaystyle y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ .

Da er $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ (positiv fordi $y$ er i første eller fjerde kvadrant).

Formelen gir:
$(\arcsin x)' = \frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

Svar: $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ for $|x| < 1$

Deriverte av inverse trigonometriske funksjoner

\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x| < 1

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene.

f(x) = \arctan(2x)

g(x) = \arcsin(x^2)

h(x) = x \cdot \arctan x

Implisitt derivasjon (introduksjon)

Noen ganger er $y$ gitt implisitt som funksjon av $x$ gjennom en likning, uten at vi kan løse eksplisitt for $y$ .

Eksempel: $x^2 + y^2 = 1$ definerer $y$ implisitt som funksjon av $x$ .

Implisitt derivasjon lar oss finne $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ uten å løse for $y$ først.

Metode for implisitt derivasjon:

✏️Eksempel 4: Implisitt derivasjon av sirkel

Gitt $x^2 + y^2 = 1$ , finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon.

Løsning:

Vi deriverer begge sider med hensyn på $x$ :

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Løser for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Svar: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ (der $y \neq 0$ )

Tolkning: I punktet $\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ på sirkelen er stigningstallet $\displaystyle -\frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

✏️Eksempel 5: Implisitt derivasjon med produkt

Gitt $xy + y^2 = 1$ , finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

Løsning:

Vi deriverer begge sider med hensyn på $x$ :

For leddet $xy$ bruker vi produktregelen:
$\frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$

For leddet $y^2$ :
$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Så vi får:
$y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

Samler ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :
$(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$

Svar: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$ (der $x + 2y \neq 0$ )

📝Oppgave 2

Bruk implisitt derivasjon til å finne $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

x^2 - y^2 = 4

x^3 + y^3 = 6xy

\sin(xy) = x

📝Oppgave 3

Finn tangentens likning til kurven i det gitte punktet.

x^2 + y^2 = 25

i punktet

(3, 4)

xy = 6

i punktet

(2, 3)

📝Oppgave 4

Utfordringsoppgaver med inverse funksjoner.

La $f(x) = x^3 + x$ . Vis at $f$ har en omvendt funksjon, og finn $(f^{-1})'(2)$ .

Deriver $f(x) = \arctan(e^x)$

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene.

f(x) = \arccos(2x)

g(x) = \arctan(\ln x)

h(x) = \arcsin(\sin x)

Oppsummering

Derivasjon av omvendt funksjon:
$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Viktige deriverte:
- $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\displaystyle (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- $\displaystyle (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

Implisitt derivasjon:
- Deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$
- Husk at $\displaystyle \frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}$ (kjerneregel)
- Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$

📊Omvendte funksjoner

Grafen til $f(x) = e^x$ og $f^{-1}(x) = \ln x$ , speilet om $y = x$ .

Omvendte funksjoner og derivasjon

Sammenhengen mellom fff og f−1f^{-1}f−1

Utledning av formelen

Implisitt derivasjon (introduksjon)

Oppsummering

4.5 Derivasjon av omvendte funksjoner

Omvendte funksjoner og derivasjon

Sammenhengen mellom fff og f−1f^{-1}f−1

Utledning av formelen

Implisitt derivasjon (introduksjon)

Oppsummering

Sammenhengen mellom $f$ og $f^{-1}$

Sammenhengen mellom $f$ og $f^{-1}$