Derivasjon av produkter og brøker av funksjoner.
Når vi har funksjoner som er produkter eller brøker av andre funksjoner, kan vi ikke bare derivere hver faktor for seg. Vi trenger spesielle regler: produktregelen og kvotientregelen.
I dette kapittelet lærer du:
- Hvordan derivere et produkt av to funksjoner
- Hvordan derivere en brøk av to funksjoner
- Hvordan kombinere disse reglene med kjerneregelen
Hvis , kan vi ikke derivere ved å gange de deriverte: .
For eksempel: La . Da er .
Men og gir .
Vi trenger produktregelen!
Kort skrevet:
Huskeregel: «Derivert av første ganger andre, pluss første ganger derivert av andre»
Deriver .
Vi identifiserer faktorene:
-
-
Produktregelen gir:
Vi faktoriserer ut :
Svar:
Deriver .
Vi identifiserer faktorene:
-
-
Produktregelen gir:
Svar:
Deriver .
For tre faktorer kan vi bruke produktregelen to ganger:
Med , , :
-
-
-
Svar:
Deriver funksjonene ved hjelp av produktregelen.
Når vi skal derivere en brøk , bruker vi kvotientregelen. Denne regelen er litt mer komplisert enn produktregelen, men følger et lignende mønster.
Kort skrevet:
Huskeregel: «Derivert av teller ganger nevner, minus teller ganger derivert av nevner, delt på nevner i andre»
Deriver .
Vi identifiserer teller og nevner:
-
-
Kvotientregelen gir:
Svar:
Vis at .
Vi skriver og bruker kvotientregelen:
-
-
Siden :
Svar:
Deriver funksjonene ved hjelp av kvotientregelen.
Ofte må vi kombinere produktregelen eller kvotientregelen med kjerneregelen. Dette skjer når en av faktorene selv er en sammensatt funksjon.
Kjerneregelen:
Deriver .
Vi har et produkt der den ene faktoren er sammensatt:
-
- (sammensatt funksjon)
For bruker vi kjerneregelen:
- Ytre funksjon: med derivert
- Indre funksjon: med derivert
-
Produktregelen gir:
Svar:
Deriver .
La og .
For bruker vi kjerneregelen:
Kvotientregelen gir:
Svar:
Deriver ved å kombinere reglene.
Det kan være forvirrende å vite hvilken derivasjonsregel man skal bruke. Her er en enkel sjekkliste:
1. Enkle funksjoner: Bruk standardregler direkte
- , , , , , osv.
2. Sammensatt funksjon (funksjon av funksjon): Bruk kjerneregelen
- Eksempel: , ,
3. Produkt av to funksjoner: Bruk produktregelen
- Eksempel: ,
4. Brøk av to funksjoner: Bruk kvotientregelen
- Eksempel: ,
Tips: Noen ganger kan du omskrive uttrykket for å gjøre det enklere:
- (potensregel)
- (forenkle først)
Deriver funksjonene. Velg selv riktig metode.
Utfordringsoppgaver.
Deriver
Deriver
Finn tangentens likning i det gitte punktet.
Produktregelen:
Kvotientregelen:
Viktige poenger:
- I produktregelen adderer vi to ledd
- I kvotientregelen har vi minus i telleren (pass på rekkefølgen!)
- Kombiner med kjerneregelen når faktorene er sammensatte funksjoner
- Vurder alltid om du kan forenkle uttrykket før du deriverer
Grafen til og dens deriverte.