4.4 Produktregelen og kvotientregelen | Matematikk R1

Derivasjon av produkter og brøker av funksjoner.

55 min

16 oppgaver

ProduktregelenKvotientregelenKombinasjon med kjerneregelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Derivasjon av sammensatte funksjoner

Når vi har funksjoner som er produkter eller brøker av andre funksjoner, kan vi ikke bare derivere hver faktor for seg. Vi trenger spesielle regler: produktregelen og kvotientregelen.

I dette kapittelet lærer du:
- Hvordan derivere et produkt av to funksjoner
- Hvordan derivere en brøk av to funksjoner
- Hvordan kombinere disse reglene med kjerneregelen

Produktregelen

Hvis $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ , kan vi ikke derivere ved å gange de deriverte: $h'(x) \neq f'(x) \cdot g'(x)$ .

For eksempel: La $h(x) = x \cdot x = x^2$ . Da er $h'(x) = 2x$ .
Men $f(x) = x$ og $g(x) = x$ gir $f'(x) \cdot g'(x) = 1 \cdot 1 = 1 \neq 2x$ .

Vi trenger produktregelen!

📜Produktregelen

Hvis

f

g

er deriverbare funksjoner, så er produktet

h(x) = f(x) \cdot g(x)

også deriverbart, og

$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Kort skrevet: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Huskeregel: «Derivert av første ganger andre, pluss første ganger derivert av andre»

✏️Eksempel 1: Produktregelen

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x$ .

Løsning:

Vi identifiserer faktorene:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Produktregelen gir:
$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$h'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$

Vi faktoriserer ut $e^x$ :
$h'(x) = e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(2 + x)$

Svar: $h'(x) = (x^2 + 2x)e^x$

✏️Eksempel 2: Produkt med trigonometriske funksjoner

Deriver $h(x) = x \cdot \sin x$ .

Løsning:

Vi identifiserer faktorene:
- $f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1$
- $g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Produktregelen gir:
$h'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x$

Svar: $h'(x) = \sin x + x \cos x$

✏️Eksempel 3: Produkt av tre funksjoner

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \ln x$ .

Løsning:

For tre faktorer $f \cdot g \cdot k$ kan vi bruke produktregelen to ganger:
$(f \cdot g \cdot k)' = f' \cdot g \cdot k + f \cdot g' \cdot k + f \cdot g \cdot k'$

Med $f(x) = x^2$ , $g(x) = e^x$ , $k(x) = \ln x$ :
- $f'(x) = 2x$
- $g'(x) = e^x$
- $\displaystyle k'(x) = \frac{1}{x}$

$h'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x}$

$h'(x) = x e^x \left(2\ln x + x \ln x + 1\right)$

Svar: $h'(x) = xe^x(2\ln x + x\ln x + 1)$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene ved hjelp av produktregelen.

f(x) = x \cdot e^x

g(x) = x^3 \cdot \ln x

h(x) = (x+1) \cdot \sin x

k(x) = e^x \cdot \cos x

Kvotientregelen

Når vi skal derivere en brøk $\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ , bruker vi kvotientregelen. Denne regelen er litt mer komplisert enn produktregelen, men følger et lignende mønster.

📜Kvotientregelen

Hvis

f

g

er deriverbare funksjoner og

g(x) \neq 0

, så er brøken

\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

deriverbar, og

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

Kort skrevet: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Huskeregel: «Derivert av teller ganger nevner, minus teller ganger derivert av nevner, delt på nevner i andre»

Viktig: I kvotientregelen er det minus i telleren, ikke pluss som i produktregelen. Pass på rekkefølgen: det er

f' \cdot g - f \cdot g'

, ikke omvendt!

✏️Eksempel 4: Kvotientregelen

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{x^2}{e^x}$ .

Løsning:

Vi identifiserer teller og nevner:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Kvotientregelen gir:
$h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

$h'(x) = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{(e^x)^2}$

$h'(x) = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{x(2-x)}{e^x}$

✏️Eksempel 5: Derivasjon av tan x

Vis at $\displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ .

Løsning:

Vi skriver $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og bruker kvotientregelen:
- $f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = \cos x$
- $g(x) = \cos x \Rightarrow g'(x) = -\sin x$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

Siden $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

$= \frac{1}{\cos^2 x}$

Svar: $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

📝Oppgave 2

Deriver funksjonene ved hjelp av kvotientregelen.

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1}

\displaystyle g(x) = \frac{e^x}{x}

\displaystyle h(x) = \frac{\sin x}{x}

\displaystyle k(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Kombinasjon med kjerneregelen

Ofte må vi kombinere produktregelen eller kvotientregelen med kjerneregelen. Dette skjer når en av faktorene selv er en sammensatt funksjon.

Kjerneregelen: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

✏️Eksempel 6: Produktregel + kjerneregel

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^{3x}$ .

Løsning:

Vi har et produkt der den ene faktoren er sammensatt:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^{3x}$ (sammensatt funksjon)

For $g(x) = e^{3x}$ bruker vi kjerneregelen:
- Ytre funksjon: $e^u$ med derivert $e^u$
- Indre funksjon: $u = 3x$ med derivert $3$
- $g'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

Produktregelen gir:
$h'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$
$h'(x) = e^{3x}(2x + 3x^2)$

Svar: $h'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$

✏️Eksempel 7: Kvotientregel + kjerneregel

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$ .

Løsning:

La $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ og $g(x) = x$ .

For $f(x)$ bruker vi kjerneregelen:
$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$g'(x) = 1$

Kvotientregelen gir:
$h'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2+1} \cdot x - \ln(x^2+1) \cdot 1}{x^2}$

$h'(x) = \frac{\frac{2x^2}{x^2+1} - \ln(x^2+1)}{x^2}$

$h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

📝Oppgave 3

Deriver ved å kombinere reglene.

f(x) = x \cdot e^{2x}

g(x) = (x^2 + 1) \cdot \sin(2x)

\displaystyle h(x) = \frac{e^{2x}}{x+1}

Når bruke hvilken regel?

Det kan være forvirrende å vite hvilken derivasjonsregel man skal bruke. Her er en enkel sjekkliste:

Sjekkliste for derivasjon:

1. Enkle funksjoner: Bruk standardregler direkte
- $x^n$ , $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , osv.

2. Sammensatt funksjon (funksjon av funksjon): Bruk kjerneregelen
- Eksempel: $e^{x^2}$ , $\sin(3x)$ , $\ln(x^2+1)$

3. Produkt av to funksjoner: Bruk produktregelen
- Eksempel: $x \cdot e^x$ , $x^2 \cdot \sin x$

4. Brøk av to funksjoner: Bruk kvotientregelen
- Eksempel: $\displaystyle \frac{x}{e^x}$ , $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$

Tips: Noen ganger kan du omskrive uttrykket for å gjøre det enklere:
- $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ (potensregel)
- $\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}} = e^{-x}$ (forenkle først)

📝Oppgave 4

Deriver funksjonene. Velg selv riktig metode.

f(x) = \sqrt{x} \cdot \ln x

\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{\ln x}

h(x) = e^x \cdot \sin x \cdot \cos x

📝Oppgave 5

Utfordringsoppgaver.

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x \cdot e^x}{x + 1}$

Deriver $\displaystyle g(x) = \frac{\sin x - x\cos x}{\sin^2 x}$

📝Oppgave 6

Finn tangentens likning i det gitte punktet.

f(x) = x \cdot e^x

i punktet

(0, 0)

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x+1}

i punktet

\displaystyle (1, \frac{1}{2})

Oppsummering

Produktregelen:
$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Kvotientregelen:
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Viktige poenger:
- I produktregelen adderer vi to ledd
- I kvotientregelen har vi minus i telleren (pass på rekkefølgen!)
- Kombiner med kjerneregelen når faktorene er sammensatte funksjoner
- Vurder alltid om du kan forenkle uttrykket før du deriverer

📊Produktregel visualisert

Grafen til $f(x) = x \cdot e^x$ og dens deriverte.

Derivasjon av produkter og brøker av funksjoner.

55 min

16 oppgaver

ProduktregelenKvotientregelenKombinasjon med kjerneregelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Derivasjon av sammensatte funksjoner

Når vi har funksjoner som er produkter eller brøker av andre funksjoner, kan vi ikke bare derivere hver faktor for seg. Vi trenger spesielle regler: produktregelen og kvotientregelen.

I dette kapittelet lærer du:
- Hvordan derivere et produkt av to funksjoner
- Hvordan derivere en brøk av to funksjoner
- Hvordan kombinere disse reglene med kjerneregelen

Produktregelen

Hvis $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ , kan vi ikke derivere ved å gange de deriverte: $h'(x) \neq f'(x) \cdot g'(x)$ .

For eksempel: La $h(x) = x \cdot x = x^2$ . Da er $h'(x) = 2x$ .
Men $f(x) = x$ og $g(x) = x$ gir $f'(x) \cdot g'(x) = 1 \cdot 1 = 1 \neq 2x$ .

Vi trenger produktregelen!

📜Produktregelen

Hvis

f

g

er deriverbare funksjoner, så er produktet

h(x) = f(x) \cdot g(x)

også deriverbart, og

$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Kort skrevet: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Huskeregel: «Derivert av første ganger andre, pluss første ganger derivert av andre»

✏️Eksempel 1: Produktregelen

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x$ .

Løsning:

Vi identifiserer faktorene:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Produktregelen gir:
$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$h'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$

Vi faktoriserer ut $e^x$ :
$h'(x) = e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(2 + x)$

Svar: $h'(x) = (x^2 + 2x)e^x$

✏️Eksempel 2: Produkt med trigonometriske funksjoner

Deriver $h(x) = x \cdot \sin x$ .

Løsning:

Vi identifiserer faktorene:
- $f(x) = x \Rightarrow f'(x) = 1$
- $g(x) = \sin x \Rightarrow g'(x) = \cos x$

Produktregelen gir:
$h'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x$

Svar: $h'(x) = \sin x + x \cos x$

✏️Eksempel 3: Produkt av tre funksjoner

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \ln x$ .

Løsning:

For tre faktorer $f \cdot g \cdot k$ kan vi bruke produktregelen to ganger:
$(f \cdot g \cdot k)' = f' \cdot g \cdot k + f \cdot g' \cdot k + f \cdot g \cdot k'$

Med $f(x) = x^2$ , $g(x) = e^x$ , $k(x) = \ln x$ :
- $f'(x) = 2x$
- $g'(x) = e^x$
- $\displaystyle k'(x) = \frac{1}{x}$

$h'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x}$

$h'(x) = x e^x \left(2\ln x + x \ln x + 1\right)$

Svar: $h'(x) = xe^x(2\ln x + x\ln x + 1)$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene ved hjelp av produktregelen.

f(x) = x \cdot e^x

g(x) = x^3 \cdot \ln x

h(x) = (x+1) \cdot \sin x

k(x) = e^x \cdot \cos x

Kvotientregelen

Når vi skal derivere en brøk $\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ , bruker vi kvotientregelen. Denne regelen er litt mer komplisert enn produktregelen, men følger et lignende mønster.

📜Kvotientregelen

Hvis

f

g

er deriverbare funksjoner og

g(x) \neq 0

, så er brøken

\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

deriverbar, og

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

Kort skrevet: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Huskeregel: «Derivert av teller ganger nevner, minus teller ganger derivert av nevner, delt på nevner i andre»

Viktig: I kvotientregelen er det minus i telleren, ikke pluss som i produktregelen. Pass på rekkefølgen: det er

f' \cdot g - f \cdot g'

, ikke omvendt!

✏️Eksempel 4: Kvotientregelen

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{x^2}{e^x}$ .

Løsning:

Vi identifiserer teller og nevner:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Kvotientregelen gir:
$h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

$h'(x) = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{(e^x)^2}$

$h'(x) = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{x(2-x)}{e^x}$

✏️Eksempel 5: Derivasjon av tan x

Vis at $\displaystyle \frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ .

Løsning:

Vi skriver $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og bruker kvotientregelen:
- $f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = \cos x$
- $g(x) = \cos x \Rightarrow g'(x) = -\sin x$

$\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$

Siden $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ :

$= \frac{1}{\cos^2 x}$

Svar: $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$

📝Oppgave 2

Deriver funksjonene ved hjelp av kvotientregelen.

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1}

\displaystyle g(x) = \frac{e^x}{x}

\displaystyle h(x) = \frac{\sin x}{x}

\displaystyle k(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Kombinasjon med kjerneregelen

Ofte må vi kombinere produktregelen eller kvotientregelen med kjerneregelen. Dette skjer når en av faktorene selv er en sammensatt funksjon.

Kjerneregelen: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

✏️Eksempel 6: Produktregel + kjerneregel

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^{3x}$ .

Løsning:

Vi har et produkt der den ene faktoren er sammensatt:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^{3x}$ (sammensatt funksjon)

For $g(x) = e^{3x}$ bruker vi kjerneregelen:
- Ytre funksjon: $e^u$ med derivert $e^u$
- Indre funksjon: $u = 3x$ med derivert $3$
- $g'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

Produktregelen gir:
$h'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$
$h'(x) = e^{3x}(2x + 3x^2)$

Svar: $h'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$

✏️Eksempel 7: Kvotientregel + kjerneregel

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$ .

Løsning:

La $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ og $g(x) = x$ .

For $f(x)$ bruker vi kjerneregelen:
$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$g'(x) = 1$

Kvotientregelen gir:
$h'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2+1} \cdot x - \ln(x^2+1) \cdot 1}{x^2}$

$h'(x) = \frac{\frac{2x^2}{x^2+1} - \ln(x^2+1)}{x^2}$

$h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

📝Oppgave 3

Deriver ved å kombinere reglene.

f(x) = x \cdot e^{2x}

g(x) = (x^2 + 1) \cdot \sin(2x)

\displaystyle h(x) = \frac{e^{2x}}{x+1}

Når bruke hvilken regel?

Det kan være forvirrende å vite hvilken derivasjonsregel man skal bruke. Her er en enkel sjekkliste:

Sjekkliste for derivasjon:

1. Enkle funksjoner: Bruk standardregler direkte
- $x^n$ , $e^x$ , $\ln x$ , $\sin x$ , $\cos x$ , osv.

2. Sammensatt funksjon (funksjon av funksjon): Bruk kjerneregelen
- Eksempel: $e^{x^2}$ , $\sin(3x)$ , $\ln(x^2+1)$

3. Produkt av to funksjoner: Bruk produktregelen
- Eksempel: $x \cdot e^x$ , $x^2 \cdot \sin x$

4. Brøk av to funksjoner: Bruk kvotientregelen
- Eksempel: $\displaystyle \frac{x}{e^x}$ , $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$

Tips: Noen ganger kan du omskrive uttrykket for å gjøre det enklere:
- $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ (potensregel)
- $\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}} = e^{-x}$ (forenkle først)

📝Oppgave 4

Deriver funksjonene. Velg selv riktig metode.

f(x) = \sqrt{x} \cdot \ln x

\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{\ln x}

h(x) = e^x \cdot \sin x \cdot \cos x

📝Oppgave 5

Utfordringsoppgaver.

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x \cdot e^x}{x + 1}$

Deriver $\displaystyle g(x) = \frac{\sin x - x\cos x}{\sin^2 x}$

📝Oppgave 6

Finn tangentens likning i det gitte punktet.

f(x) = x \cdot e^x

i punktet

(0, 0)

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x+1}

i punktet

\displaystyle (1, \frac{1}{2})

Oppsummering

Produktregelen:
$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Kvotientregelen:
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

📊Produktregel visualisert

Grafen til $f(x) = x \cdot e^x$ og dens deriverte.