Analysere funksjoner ved hjelp av derivasjon.
Funksjonsdrøfting handler om å analysere en funksjon systematisk for å forstå dens oppførsel. Vi undersøker:
1. Definisjonsmengde - Hvor er funksjonen definert?
2. Nullpunkter - Hvor krysser grafen -aksen?
3. Monotoniegenskaper - Hvor er funksjonen voksende/avtagende?
4. Ekstremalpunkter - Hvor har funksjonen topp- og bunnpunkter?
5. Vendepunkter - Hvor endrer grafen krumning?
6. Asymptoter - Hvordan oppfører funksjonen seg mot grensene?
Med denne informasjonen kan vi tegne en nøyaktig skisse av grafen.
Den deriverte forteller oss om funksjonen er voksende eller avtagende.
La være en deriverbar funksjon på et intervall .
- Hvis for alle i , så er strengt voksende på
- Hvis for alle i , så er strengt avtagende på
- Hvis for alle i , så er konstant på
1. Finn
2. Løs for å finne stasjonære punkter
3. Sett opp et fortegnsskjema for
4. Les av intervallene hvor (voksende) og (avtagende)
Finn monotoniintervallene til .
Steg 1: Finn den deriverte
Steg 2: Løs
Steg 3: Fortegnsskjema
Et ekstremalpunkt er et punkt der funksjonen har en lokal maksimum- eller minimumsverdi.
La være et stasjonært punkt for (dvs. ).
- Hvis skifter fra positiv til negativ i , har et lokalt maksimum i
- Hvis skifter fra negativ til positiv i , har et lokalt minimum i
- Hvis ikke skifter fortegn i , har ikke ekstremalpunkt i (terrassepunkt)
La være et stasjonært punkt for (dvs. ).
- Hvis , har et lokalt maksimum i
- Hvis , har et lokalt minimum i
- Hvis , gir testen ingen konklusjon (bruk første derivasjonstest)
Finn ekstremalpunktene til fra forrige eksempel.
Fra forrige eksempel har vi med nullpunkter og .
Metode 1: Fortegnsskjema
Fra fortegnsskjemaet ser vi at:
- skifter fra til i → lokalt maksimum
- skifter fra til i → lokalt minimum
Metode 2: Andre derivasjonstest
- → lokalt maksimum i
- → lokalt minimum i
Ekstremalpunktene:
- Lokalt maksimum:
- Lokalt minimum:
Finn monotoniintervaller og ekstremalpunkter.
Et vendepunkt er et punkt der grafen endrer krumning - fra konkav (buet nedover) til konveks (buet oppover), eller omvendt.
La være to ganger deriverbar.
Et punkt er et vendepunkt for hvis og skifter fortegn i .
Krumning:
- Hvis , er grafen konveks (buet oppover, smiler)
- Hvis , er grafen konkav (buet nedover, sur)
Finn vendepunktene til .
Steg 1: Finn andrederiverte
Steg 2: Løs
Steg 3: Sjekk fortegnskifte
- For : (konkav)
- For : (konveks)
skifter fortegn i , så dette er et vendepunkt.
Steg 4: Finn koordinatene
Svar: Vendepunkt i .
Finn vendepunktene til funksjonene.
En asymptote er en linje som grafen nærmer seg mer og mer, uten nødvendigvis å krysse den.
Horisontal asymptote :
Skrå asymptote (der ):
1.
2.
Hvis , har vi en horisontal asymptote .
Hvis grensene ikke eksisterer, har vi ingen asymptote i den retningen.
Finn asymptotene til .
Vertikal asymptote:
Nevneren er null når .
Vertikal asymptote:
Skrå asymptote:
Vi utfører polynomdivisjon:
Når :
Skrå asymptote:
Svar:
- Vertikal asymptote:
- Skrå asymptote:
Finn asymptotene til .
Vertikal asymptote:
Nevneren er null når .
Vertikal asymptote:
Horisontal asymptote:
Horisontal asymptote:
Svar:
- Vertikal asymptote:
- Horisontal asymptote:
Finn asymptotene til funksjonene.
Nå skal vi sette alt sammen i en systematisk analyse av en funksjon.
1. Definisjonsmengde - Hvor er definert?
2. Symmetri - Er partall eller oddetall?
3. Nullpunkter - Løs
4. Asymptoter - Vertikale, horisontale, skrå
5. Førstederiverte - Finn
6. Stasjonære punkter - Løs
7. Monotoni - Fortegnsskjema for
8. Ekstremalpunkter - Klassifiser stasjonære punkter
9. Andrederiverte - Finn
10. Vendepunkter - Løs , sjekk fortegnskifte
11. Skisse - Tegn grafen med all informasjon
Utfør fullstendig drøfting av .
1. Definisjonsmengde:
2. Symmetri: og . Ingen symmetri.
3. Nullpunkter:
4. Asymptoter:
- Vertikal: (nevner )
- Skrå: , så
5. Førstederiverte:
6. Stasjonære punkter: eller
7. Monotoni: for og , for (unntatt )
8. Ekstremalpunkter:
- Lokalt maksimum i
- Lokalt minimum i
9. Andrederiverte:
10. Vendepunkter: for alle . Ingen vendepunkter.
Skisse: Grafen har en vertikal asymptote ved , en skrå asymptote , et lokalt maksimum i origo, og et lokalt minimum i .
Utfør fullstendig funksjonsdrøfting.
Fullstendig funksjonsdrøfting med rasjonale funksjoner.
Bruk GeoGebra til å verifisere svarene dine fra oppgave 4 og 5. Sammenlign din skisse med GeoGebra-grafen.
Tegn i GeoGebra. Marker nullpunkter, ekstremalpunkter og vendepunkt.
Tegn i GeoGebra. Finn ekstremalpunkt og vendepunkt numerisk.
Utfordringsoppgaver.
Finn og slik at har et vendepunkt i .
Vis at grafen til alltid passerer gjennom sitt vendepunkt med stigningstall .
Monotoni:
- → voksende
- → avtagende
Ekstremalpunkter:
- og fortegnskifte → ekstremalpunkt
- → minimum, → maksimum
Vendepunkter:
- og fortegnskifte i → vendepunkt
- → konveks, → konkav
Asymptoter:
- Vertikal: der nevneren blir null
- Horisontal:
- Skrå: der ,
Grafen til med ekstremalpunkter og vendepunkt.