4.3 Kjerneregelen

Derivasjon av sammensatte funksjoner.

50 min

14 oppgaver

KjerneregelenIndre derivertYtre derivertSammensatte funksjoner

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Sammensatte funksjoner og kjerneregelen

Mange funksjoner er bygget opp av flere funksjoner satt inn i hverandre. For eksempel er $f(x) = e^{2x}$ en sammensatt funksjon – vi har $e^u$ der $u = 2x$ .

Kjerneregelen (også kalt kjederegelen) forteller oss hvordan vi deriverer slike funksjoner.

Hva er en sammensatt funksjon?

En sammensatt funksjon er en funksjon der vi først bruker én funksjon, og deretter en annen funksjon på resultatet.

Sammensatt funksjon

f(g(x))

✏️Eksempel 1: Identifisere ytre og indre funksjon

Bestem ytre og indre funksjon i:

a) $f(x) = (x^2 + 1)^5$
b) $g(x) = \ln(3x)$
c) $h(x) = e^{x^2}$
d) $p(x) = \sqrt{x^3 - 2}$

Løsning:

a) $f(x) = (x^2 + 1)^5$
- Ytre funksjon: $u^5$
- Indre funksjon: $u = x^2 + 1$

b) $g(x) = \ln(3x)$
- Ytre funksjon: $\ln u$
- Indre funksjon: $u = 3x$

c) $h(x) = e^{x^2}$
- Ytre funksjon: $e^u$
- Indre funksjon: $u = x^2$

d) $p(x) = \sqrt{x^3 - 2} = (x^3 - 2)^{1/2}$
- Ytre funksjon: $u^{1/2}$
- Indre funksjon: $u = x^3 - 2$

Kjerneregelen

Når vi deriverer en sammensatt funksjon, må vi ta hensyn til både den ytre og den indre funksjonen.

📜Kjerneregelen

Hvis

f(x) = h(g(x))

er en sammensatt funksjon, så er

$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$

Med ord: Ytre derivert ganger indre derivert.

Alternativ notasjon: Hvis $y = f(u)$ og $u = g(x)$ , så er
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Fremgangsmåte for kjerneregelen:

1. Identifiser den ytre funksjonen og kjernen (den indre funksjonen)
2. Deriver den ytre funksjonen (behold kjernen uendret)
3. Multipliser med den deriverte av kjernen

$\text{(ytre derivert)} \cdot \text{(indre derivert)}$

Kjerneregelen med potensfunksjoner

En vanlig type sammensatt funksjon er $(\text{noe})^n$ , der "noe" er en funksjon av $x$ .

📜Generalisert potensregel

Hvis

f(x) = (g(x))^n

, så er

$f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$

✏️Eksempel 2: Kjerneregelen med potenser

Deriver $f(x) = (x^2 + 1)^5$ .

Løsning:

Vi identifiserer:
- Ytre funksjon: $u^5$ , med derivert $5u^4$
- Indre funksjon (kjerne): $u = x^2 + 1$ , med derivert $2x$

Kjerneregelen gir:
$f'(x) = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

Steg for steg:
1. Ytre derivert: $5(x^2 + 1)^4$ (vi beholder kjernen)
2. Indre derivert: $2x$
3. Ganger sammen: $5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4$

✏️Eksempel 3: Flere potenseksempler

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = (3x - 2)^4$
b) $g(x) = \sqrt{x^2 + 4} = (x^2 + 4)^{1/2}$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{(2x + 1)^3} = (2x + 1)^{-3}$

Løsning:

a) $f(x) = (3x - 2)^4$
- Kjerne: $u = 3x - 2$ , $u' = 3$
$f'(x) = 4(3x - 2)^3 \cdot 3 = 12(3x - 2)^3$

b) $g(x) = (x^2 + 4)^{1/2}$
- Kjerne: $u = x^2 + 4$ , $u' = 2x$
$g'(x) = \frac{1}{2}(x^2 + 4)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$

c) $h(x) = (2x + 1)^{-3}$
- Kjerne: $u = 2x + 1$ , $u' = 2$
$h'(x) = -3(2x + 1)^{-4} \cdot 2 = -\frac{6}{(2x + 1)^4}$

📝Oppgave 1

Deriver følgende funksjoner ved å bruke kjerneregelen.

f(x) = (x + 3)^6

g(x) = (2x - 1)^5

h(x) = (x^2 - 3x)^4

p(x) = (x^3 + 2)^2

Kjerneregelen med $e^{g(x)}$

Når vi deriverer $e^{\text{noe}}$ der "noe" er en funksjon av $x$ , bruker vi at $(e^u)' = e^u$ sammen med kjerneregelen.

📜Derivasjon av $e^{g(x)}$

Hvis

f(x) = e^{g(x)}

, så er

$f'(x) = e^{g(x)} \cdot g'(x)$

✏️Eksempel 4: Kjerneregelen med $e^x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = e^{2x}$
b) $g(x) = e^{x^2}$
c) $h(x) = e^{-x}$

Løsning:

a) $f(x) = e^{2x}$
- Kjerne: $u = 2x$ , $u' = 2$
$f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$

b) $g(x) = e^{x^2}$
- Kjerne: $u = x^2$ , $u' = 2x$
$g'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2}$

c) $h(x) = e^{-x}$
- Kjerne: $u = -x$ , $u' = -1$
$h'(x) = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$

📝Oppgave 2

Deriver følgende eksponentialfunksjoner.

f(x) = e^{3x}

g(x) = e^{-2x}

h(x) = e^{x^2 + 1}

p(x) = 3e^{4x}

Kjerneregelen med $\ln(g(x))$

Når vi deriverer $\ln(\text{noe})$ der "noe" er en funksjon av $x$ , bruker vi at $\displaystyle (\ln u)' = \frac{1}{u}$ sammen med kjerneregelen.

📜Derivasjon av $\ln(g(x))$

Hvis

f(x) = \ln(g(x))

der

g(x) > 0

, så er

$f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$

✏️Eksempel 5: Kjerneregelen med $\ln x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = \ln(2x)$
b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$
c) $h(x) = \ln(3x^2)$

Løsning:

a) $f(x) = \ln(2x)$
- Kjerne: $u = 2x$ , $u' = 2$
$f'(x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$

b) $g(x) = \ln(x^2 + 1)$
- Kjerne: $u = x^2 + 1$ , $u' = 2x$
$g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

c) $h(x) = \ln(3x^2)$
- Kjerne: $u = 3x^2$ , $u' = 6x$
$h'(x) = \frac{6x}{3x^2} = \frac{2}{x}$

Merk: I a) og c) kunne vi også brukt logaritmeregler først:
- $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$ , så $\displaystyle (\ln(2x))' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

📝Oppgave 3

Deriver følgende logaritmefunksjoner.

f(x) = \ln(5x)

g(x) = \ln(x^3)

h(x) = \ln(x^2 - 4)

p(x) = \ln(e^x + 1)

Kombinasjon med andre regler

Ofte må vi kombinere kjerneregelen med sumregelen og konstantregelen.

✏️Eksempel 6: Kombinerte funksjoner

Deriver $f(x) = x^2 + e^{3x} - \ln(x + 1)$ .

Løsning:

Vi deriverer hvert ledd for seg:

1. $(x^2)' = 2x$

2. $(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$ (kjerneregelen)

3. $\displaystyle (\ln(x + 1))' = \frac{1}{x + 1}$ (kjerneregelen, $u' = 1$ )

Svar:
$f'(x) = 2x + 3e^{3x} - \frac{1}{x + 1}$

✏️Eksempel 7: Dobbel bruk av kjerneregelen

Deriver $f(x) = e^{(x^2 + 1)^3}$ .

Løsning:

Her har vi en "dobbelt sammensatt" funksjon:
- Ytre: $e^v$
- Mellom: $v = u^3$ der $u = x^2 + 1$
- Indre: $u = x^2 + 1$

Vi kan tenke trinnvis:
1. $(e^{g(x)})' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ der $g(x) = (x^2 + 1)^3$
2. $g'(x) = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$

Svar:
$f'(x) = e^{(x^2 + 1)^3} \cdot 6x(x^2 + 1)^2$

📝Oppgave 4

Deriver følgende funksjoner.

f(x) = x^3 + e^{2x}

g(x) = (x^2 + 1)^3 - \ln(2x)

h(x) = 2e^{-x} + 3\sqrt{x + 1}

p(x) = \ln(x^2) + e^{x^2}

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene og forenkle svaret.

f(x) = \sqrt{1 - x^2}

\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

h(x) = e^{\sqrt{x}}

p(x) = \ln(\ln x)

📝Oppgave 6

Finn tangentens likning i det angitte punktet.

f(x) = e^{2x}

i punktet

(0, 1)

f(x) = \ln(x + 1)

i punktet

(0, 0)

f(x) = (x - 1)^3

i punktet

(2, 1)

📝Oppgave 7

Løs følgende oppgaver.

Finn $f''(x)$ når $f(x) = e^{2x}$ .

Vis at $f(x) = e^{-x^2}$ har et maksimum for $x = 0$ .

For hvilken $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = \ln(2x)$ stigningstall $\displaystyle \frac{1}{4}$ ?

Oppsummering

Kjerneregelen:
$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Viktige spesialtilfeller:

Funksjon	Derivert
$(g(x))^n$	$n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)$
$e^{g(x)}$	$e^{g(x)} \cdot g'(x)$
$\ln(g(x))$	$\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}$
$a^{g(x)}$	$a^{g(x)} \cdot \ln a \cdot g'(x)$

Huskeregel: Ytre derivert

\times

indre derivert

Funksjon

Derivert

(g(x))^n

n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)

e^{g(x)}

e^{g(x)} \cdot g'(x)

\ln(g(x))

\displaystyle \frac{g'(x)}{g(x)}

a^{g(x)}

a^{g(x)} \cdot \ln a \cdot g'(x)

Sammensatte funksjoner og kjerneregelen

Hva er en sammensatt funksjon?

Kjerneregelen

Kjerneregelen med potensfunksjoner

Kjerneregelen med eg(x)e^{g(x)}eg(x)

Kjerneregelen med ln⁡(g(x))\ln(g(x))ln(g(x))

Kombinasjon med andre regler

Oppsummering

4.3 Kjerneregelen

Sammensatte funksjoner og kjerneregelen

Hva er en sammensatt funksjon?

Kjerneregelen

Kjerneregelen med potensfunksjoner

Kjerneregelen med eg(x)e^{g(x)}eg(x)

Kjerneregelen med ln⁡(g(x))\ln(g(x))ln(g(x))

Kombinasjon med andre regler

Oppsummering

Kjerneregelen med $e^{g(x)}$

Kjerneregelen med $\ln(g(x))$

Kjerneregelen med $e^{g(x)}$

Kjerneregelen med $\ln(g(x))$