4.2 Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner | Matematikk R1

Derivasjon av e^x, a^x, ln(x) og log_a(x).

55 min

16 oppgaver

Derivasjon av e^xDerivasjon av ln(x)Derivasjon av a^xDerivasjon av log_a(x)

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

Eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner har spesielle derivasjonsregler. I dette kapittelet skal vi se hvorfor $e^x$ er så spesiell – den er sin egen deriverte!

Den naturlige eksponentialfunksjonen

Funksjonen $f(x) = e^x$ har en helt unik egenskap: den er lik sin egen deriverte. Tallet $e \approx 2{,}718$ er definert nettopp slik at dette skal stemme.

📜Derivasjon av $e^x$

Hvis

f(x) = e^x

, så er

$f'(x) = e^x$

Med ord: $e^x$ er sin egen deriverte.

Hvorfor er dette spesielt?

$e^x$ er den eneste funksjonen (bortsett fra $f(x) = 0$ ) som er lik sin egen deriverte. Dette gjør eksponentialfunksjonen sentral i matematikk, fysikk og økonomi – spesielt i modeller for vekst og forfall.

✏️Eksempel 1: Derivasjon av $e^x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = e^x$
b) $g(x) = 3e^x$
c) $h(x) = e^x + x^2$

Løsning:

a) $f(x) = e^x$
$f'(x) = e^x$

b) $g(x) = 3e^x$
$g'(x) = 3 \cdot e^x = 3e^x$ (konstant faktor-regelen)

c) $h(x) = e^x + x^2$
$h'(x) = e^x + 2x$ (sumregelen)

Eksponentialfunksjoner med andre grunntall

Hva om grunntallet ikke er $e$ ? For eksempel $2^x$ eller $10^x$ ? Da må vi bruke en litt annen formel.

📜Derivasjon av $a^x$

Hvis

f(x) = a^x

der

a > 0

a \neq 1

, så er

$f'(x) = a^x \cdot \ln a$

Spesialtilfelle: Når $a = e$ , får vi $\ln e = 1$ , så $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$ .

Bevis for formelen

✏️Eksempel 2: Derivasjon av $a^x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = 2^x$
b) $g(x) = 10^x$
c) $h(x) = 3 \cdot 5^x$

Løsning:

a) $f(x) = 2^x$
$f'(x) = 2^x \cdot \ln 2$

b) $g(x) = 10^x$
$g'(x) = 10^x \cdot \ln 10$

c) $h(x) = 3 \cdot 5^x$
$h'(x) = 3 \cdot 5^x \cdot \ln 5$

📝Oppgave 1

Deriver følgende eksponentialfunksjoner.

f(x) = e^x

g(x) = 5e^x

h(x) = 3^x

p(x) = 2 \cdot 4^x

Den naturlige logaritmen

Den naturlige logaritmen $\ln x$ er den inverse funksjonen til $e^x$ . Det viser seg at den deriverte av $\ln x$ har en overraskende enkel form.

📜Derivasjon av $\ln x$

Hvis

f(x) = \ln x

der

x > 0

, så er

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Bevis for formelen

✏️Eksempel 3: Derivasjon av $\ln x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = \ln x$
b) $g(x) = 5 \ln x$
c) $h(x) = x^2 + \ln x$

Løsning:

a) $f(x) = \ln x$
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$

b) $g(x) = 5 \ln x$
$\displaystyle g'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$

c) $h(x) = x^2 + \ln x$
$\displaystyle h'(x) = 2x + \frac{1}{x}$

Logaritmer med andre grunntall

For logaritmer med andre grunntall enn $e$ bruker vi sammenhengen med den naturlige logaritmen.

📜Derivasjon av $\log_a x$

Hvis

f(x) = \log_a x

der

a > 0

a \neq 1

x > 0

, så er

$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Huskeregel: Formelen følger fra at $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ .

✏️Eksempel 4: Derivasjon av $\log_a x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = \log_2 x$
b) $g(x) = \log_{10} x = \lg x$
c) $h(x) = 3 \log_5 x$

Løsning:

a) $f(x) = \log_2 x$
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 2}$

b) $g(x) = \log_{10} x$
$\displaystyle g'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 10}$

c) $h(x) = 3 \log_5 x$
$\displaystyle h'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x \cdot \ln 5} = \frac{3}{x \ln 5}$

📝Oppgave 2

Deriver følgende logaritmefunksjoner.

f(x) = \ln x

g(x) = 4 \ln x

h(x) = \log_3 x

p(x) = 2 \log_{10} x

📝Oppgave 3

Deriver følgende funksjoner.

f(x) = e^x + \ln x

g(x) = x^3 - 2e^x

h(x) = 2^x + 3\ln x

p(x) = 5^x - \log_5 x

✏️Eksempel 5: Kombinerte funksjoner

Deriver funksjonen $f(x) = x^2 + 3e^x - 2\ln x$ .

Løsning:

Vi deriverer hvert ledd for seg:
$f'(x) = (x^2)' + (3e^x)' - (2\ln x)'$

$f'(x) = 2x + 3e^x - \frac{2}{x}$

✏️Eksempel 6: Tangent til eksponentialfunksjon

Finn tangentens likning til $f(x) = e^x$ i punktet $(0, 1)$ .

Løsning:

Vi har $f(x) = e^x$ og $f'(x) = e^x$ .

I punktet $x = 0$ :
- $f(0) = e^0 = 1$ ✓
- $f'(0) = e^0 = 1$

Tangentens stigningstall er $a = 1$ .

Tangentens likning (ettpunktsformelen):
$y - 1 = 1(x - 0)$
$y = x + 1$

📝Oppgave 4

Finn tangentens likning i det angitte punktet.

f(x) = e^x

i punktet

(1, e)

f(x) = \ln x

i punktet

(1, 0)

f(x) = \ln x

i punktet

(e, 1)

📝Oppgave 5

Løs følgende oppgaver.

For hvilken $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = e^x$ stigningstall $3$ ?

For hvilken $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = \ln x$ stigningstall $\displaystyle \frac{1}{2}$ ?

Vis at $f(x) = e^x - x$ har et minimum for $x = 0$ .

📝Oppgave 6

Finn den andrederiverte $f''(x)$ .

f(x) = e^x + x^2

f(x) = 3\ln x

f(x) = 2^x

Oppsummering

Eksponentialfunksjoner:
- $(e^x)' = e^x$
- $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$

Logaritmefunksjoner:
- $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Nyttige sammenhenger:
- $e^x$ og $\ln x$ er inverse funksjoner
- $a^x = e^{x \ln a}$
- $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Derivasjon av e^x, a^x, ln(x) og log_a(x).

55 min

16 oppgaver

Derivasjon av e^xDerivasjon av ln(x)Derivasjon av a^xDerivasjon av log_a(x)

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Derivasjon av eksponential- og logaritmefunksjoner

Eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner har spesielle derivasjonsregler. I dette kapittelet skal vi se hvorfor $e^x$ er så spesiell – den er sin egen deriverte!

Den naturlige eksponentialfunksjonen

Funksjonen $f(x) = e^x$ har en helt unik egenskap: den er lik sin egen deriverte. Tallet $e \approx 2{,}718$ er definert nettopp slik at dette skal stemme.

📜Derivasjon av $e^x$

Hvis

f(x) = e^x

, så er

$f'(x) = e^x$

Med ord: $e^x$ er sin egen deriverte.

Hvorfor er dette spesielt?

✏️Eksempel 1: Derivasjon av $e^x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = e^x$
b) $g(x) = 3e^x$
c) $h(x) = e^x + x^2$

Løsning:

a) $f(x) = e^x$
$f'(x) = e^x$

b) $g(x) = 3e^x$
$g'(x) = 3 \cdot e^x = 3e^x$ (konstant faktor-regelen)

c) $h(x) = e^x + x^2$
$h'(x) = e^x + 2x$ (sumregelen)

Eksponentialfunksjoner med andre grunntall

Hva om grunntallet ikke er $e$ ? For eksempel $2^x$ eller $10^x$ ? Da må vi bruke en litt annen formel.

📜Derivasjon av $a^x$

Hvis

f(x) = a^x

der

a > 0

a \neq 1

, så er

$f'(x) = a^x \cdot \ln a$

Spesialtilfelle: Når $a = e$ , får vi $\ln e = 1$ , så $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$ .

Bevis for formelen

✏️Eksempel 2: Derivasjon av $a^x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = 2^x$
b) $g(x) = 10^x$
c) $h(x) = 3 \cdot 5^x$

Løsning:

a) $f(x) = 2^x$
$f'(x) = 2^x \cdot \ln 2$

b) $g(x) = 10^x$
$g'(x) = 10^x \cdot \ln 10$

c) $h(x) = 3 \cdot 5^x$
$h'(x) = 3 \cdot 5^x \cdot \ln 5$

📝Oppgave 1

Deriver følgende eksponentialfunksjoner.

f(x) = e^x

g(x) = 5e^x

h(x) = 3^x

p(x) = 2 \cdot 4^x

Den naturlige logaritmen

Den naturlige logaritmen $\ln x$ er den inverse funksjonen til $e^x$ . Det viser seg at den deriverte av $\ln x$ har en overraskende enkel form.

📜Derivasjon av $\ln x$

Hvis

f(x) = \ln x

der

x > 0

, så er

$f'(x) = \frac{1}{x}$

Bevis for formelen

✏️Eksempel 3: Derivasjon av $\ln x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = \ln x$
b) $g(x) = 5 \ln x$
c) $h(x) = x^2 + \ln x$

Løsning:

a) $f(x) = \ln x$
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$

b) $g(x) = 5 \ln x$
$\displaystyle g'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$

c) $h(x) = x^2 + \ln x$
$\displaystyle h'(x) = 2x + \frac{1}{x}$

Logaritmer med andre grunntall

For logaritmer med andre grunntall enn $e$ bruker vi sammenhengen med den naturlige logaritmen.

📜Derivasjon av $\log_a x$

Hvis

f(x) = \log_a x

der

a > 0

a \neq 1

x > 0

, så er

$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Huskeregel: Formelen følger fra at $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ .

✏️Eksempel 4: Derivasjon av $\log_a x$

Deriver følgende funksjoner:

a) $f(x) = \log_2 x$
b) $g(x) = \log_{10} x = \lg x$
c) $h(x) = 3 \log_5 x$

Løsning:

a) $f(x) = \log_2 x$
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 2}$

b) $g(x) = \log_{10} x$
$\displaystyle g'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln 10}$

c) $h(x) = 3 \log_5 x$
$\displaystyle h'(x) = 3 \cdot \frac{1}{x \cdot \ln 5} = \frac{3}{x \ln 5}$

📝Oppgave 2

Deriver følgende logaritmefunksjoner.

f(x) = \ln x

g(x) = 4 \ln x

h(x) = \log_3 x

p(x) = 2 \log_{10} x

📝Oppgave 3

Deriver følgende funksjoner.

f(x) = e^x + \ln x

g(x) = x^3 - 2e^x

h(x) = 2^x + 3\ln x

p(x) = 5^x - \log_5 x

✏️Eksempel 5: Kombinerte funksjoner

Deriver funksjonen $f(x) = x^2 + 3e^x - 2\ln x$ .

Løsning:

Vi deriverer hvert ledd for seg:
$f'(x) = (x^2)' + (3e^x)' - (2\ln x)'$

$f'(x) = 2x + 3e^x - \frac{2}{x}$

✏️Eksempel 6: Tangent til eksponentialfunksjon

Finn tangentens likning til $f(x) = e^x$ i punktet $(0, 1)$ .

Løsning:

Vi har $f(x) = e^x$ og $f'(x) = e^x$ .

I punktet $x = 0$ :
- $f(0) = e^0 = 1$ ✓
- $f'(0) = e^0 = 1$

Tangentens stigningstall er $a = 1$ .

Tangentens likning (ettpunktsformelen):
$y - 1 = 1(x - 0)$
$y = x + 1$

📝Oppgave 4

Finn tangentens likning i det angitte punktet.

f(x) = e^x

i punktet

(1, e)

f(x) = \ln x

i punktet

(1, 0)

f(x) = \ln x

i punktet

(e, 1)

📝Oppgave 5

Løs følgende oppgaver.

For hvilken $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = e^x$ stigningstall $3$ ?

For hvilken $x$ -verdi har tangenten til $f(x) = \ln x$ stigningstall $\displaystyle \frac{1}{2}$ ?

Vis at $f(x) = e^x - x$ har et minimum for $x = 0$ .

📝Oppgave 6

Finn den andrederiverte $f''(x)$ .

f(x) = e^x + x^2

f(x) = 3\ln x

f(x) = 2^x

Oppsummering

Eksponentialfunksjoner:
- $(e^x)' = e^x$
- $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$

Logaritmefunksjoner:
- $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $\displaystyle (\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Nyttige sammenhenger:
- $e^x$ og $\ln x$ er inverse funksjoner
- $a^x = e^{x \ln a}$
- $\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$