4.1 Derivasjonsregler | Matematikk R1

Grunnleggende derivasjonsregler for polynomer.

55 min

16 oppgaver

PotensregelenSumregelenKonstantregelenKonstant faktor

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Innledning

I dette kapitlet skal vi lære de grunnleggende reglene for derivasjon. Disse reglene gjør det mulig å derivere funksjoner uten å måtte gå via definisjonen med grenseverdier hver gang.

Derivasjon er et sentralt verktøy i matematikk og naturvitenskap. Det brukes til å finne:
- Vekstfart og endringsrate
- Stigningstall til tangenter
- Maksimums- og minimumsverdier
- Optimalisering i økonomi og fysikk

Vi starter med de enkleste reglene og bygger opp til mer komplekse derivasjoner.

Derivasjon av konstanter

En konstant funksjon har samme verdi for alle verdier av $x$ . Grafen til en konstant funksjon er en horisontal linje, som har stigningstall 0 overalt.

📜Konstantregelen

Hvis

f(x) = c

der

c

er en konstant, så er:

$f'(x) = 0$

Med Lagranges notasjon: $(c)' = 0$

Bevis for konstantregelen

Intuisjon: En konstant funksjon endrer seg ikke. Siden den deriverte måler endringsraten, må den deriverte av en konstant være 0.

✏️Eksempel 1: Derivasjon av konstanter

Deriver funksjonene:

a) $f(x) = 5$
b) $g(x) = -3$
c) $h(x) = \pi$
d) $k(x) = \sqrt{2}$

Løsning:

Alle disse funksjonene er konstanter, så den deriverte er 0 for alle:

a) $f'(x) = 0$

b) $g'(x) = 0$

c) $h'(x) = 0$

d) $k'(x) = 0$

Merk at $\pi$ og $\sqrt{2}$ er konstanter selv om de ikke er heltall.

Potensregelen

Potensregelen er den viktigste regelen for derivasjon av polynomer og mange andre funksjoner. Den forteller oss hvordan vi deriverer $x$ opphøyd i en potens.

📜Potensregelen

For

f(x) = x^n

der

n

er et reelt tall, er:

$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Med Lagranges notasjon: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$

Eksponenten flyttes ned foran og reduseres med 1.

Bevis for potensregelen (for positive heltall)

✏️Eksempel 2: Potensregelen med positive eksponenter

Deriver funksjonene:

a) $f(x) = x^5$
b) $g(x) = x^3$
c) $h(x) = x^{10}$
d) $k(x) = x$

Løsning:

a) $f(x) = x^5$
$f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4$

b) $g(x) = x^3$
$g'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$

c) $h(x) = x^{10}$
$h'(x) = 10x^{10-1} = 10x^9$

d) $k(x) = x = x^1$
$k'(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1$

Merk at $(x)' = 1$ , noe som gir mening siden grafen til $y = x$ har stigningstall 1.

Nyttig å huske:
-

(x)' = 1

(x^2)' = 2x

(x^3)' = 3x^2

Disse dukker opp svært ofte!

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene ved å bruke potensregelen.

f(x) = x^4

f(x) = x^6

f(x) = x^7

f(x) = x^{12}

f(x) = x^{100}

f(x) = x^2

Konstant faktor

Hva skjer når vi ganger en funksjon med en konstant? Regelen er enkel: konstanten "følger med" gjennom derivasjonen.

📜Regelen for konstant faktor

Hvis

c

er en konstant og

f

er en deriverbar funksjon, så er:

$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$

Konstanten kan "flyttes ut" av derivasjonen.

Bevis for konstant faktor

✏️Eksempel 3: Derivasjon med konstant faktor

Deriver funksjonene:

a) $f(x) = 3x^4$
b) $g(x) = -2x^5$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}x^6$
d) $k(x) = 5x$

Løsning:

a) $f(x) = 3x^4$
$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$

b) $g(x) = -2x^5$
$g'(x) = -2 \cdot 5x^4 = -10x^4$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}x^6$
$\displaystyle h'(x) = \frac{1}{2} \cdot 6x^5 = 3x^5$

d) $k(x) = 5x = 5x^1$
$k'(x) = 5 \cdot 1 \cdot x^0 = 5$

📝Oppgave 2

Deriver funksjonene.

f(x) = 4x^3

f(x) = -3x^5

f(x) = 7x^2

\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^9

f(x) = -x^4

f(x) = 10x

Sumregelen og differanseregelen

Når vi har en sum eller differanse av funksjoner, kan vi derivere hvert ledd for seg.

📜Sumregelen og differanseregelen

Hvis

f

g

er deriverbare funksjoner, så er:

Sumregelen:
$(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)$

Differanseregelen:
$(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)$

Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.

Bevis for sumregelen

✏️Eksempel 4: Derivasjon av summer og differanser

Deriver funksjonene:

a) $f(x) = x^3 + x^2$
b) $g(x) = 4x^5 - 3x^2$
c) $h(x) = x^4 + 2x^3 - 5x + 7$

Løsning:

a) $f(x) = x^3 + x^2$
$f'(x) = 3x^2 + 2x$

b) $g(x) = 4x^5 - 3x^2$
$g'(x) = 4 \cdot 5x^4 - 3 \cdot 2x = 20x^4 - 6x$

c) $h(x) = x^4 + 2x^3 - 5x + 7$
$h'(x) = 4x^3 + 2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 1 + 0$
$h'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 5$

📝Oppgave 3

Deriver funksjonene.

f(x) = x^4 + 3x^2

f(x) = 2x^5 - x^3 + 4

f(x) = -x^3 + 5x^2 - 2x + 1

\displaystyle f(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + x

Derivasjon av polynomer

Ved å kombinere potensregelen, konstantfaktoren og sumregelen kan vi derivere ethvert polynom. Vi deriverer rett og slett hvert ledd for seg.

Derivasjon av et generelt polynom

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

✏️Eksempel 5: Derivasjon av polynomer

Deriver polynomene:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 4$
b) $\displaystyle Q(x) = x^5 + \frac{1}{2}x^2 - 3$

Løsning:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - x + 4$

Vi deriverer hvert ledd:
- $(3x^4)' = 12x^3$
- $(-2x^3)' = -6x^2$
- $(5x^2)' = 10x$
- $(-x)' = -1$
- $(4)' = 0$

$P'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x - 1$

b) $\displaystyle Q(x) = x^5 + \frac{1}{2}x^2 - 3$

$\displaystyle Q'(x) = 5x^4 + \frac{1}{2} \cdot 2x - 0 = 5x^4 + x$

📊Polynom og den deriverte

Grafen til $f(x) = x^3 - 3x$ (blå) og den deriverte $f'(x) = 3x^2 - 3$ (rød). Legg merke til at $f'(x) = 0$ der $f(x)$ har topp- og bunnpunkt.

📝Oppgave 4

Deriver polynomene.

P(x) = x^6 - 4x^4 + 2x^2 - 1

\displaystyle P(x) = 5x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 4x - 7

P(x) = -2x^5 + x^4 - 3x^3 + x - 8

\displaystyle P(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2

Negative eksponenter

Potensregelen gjelder også for negative eksponenter. Husk at $\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ .

Viktig sammenheng:

$\frac{1}{x^n} = x^{-n}$

For eksempel:
- $\displaystyle \frac{1}{x} = x^{-1}$
- $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$
- $\displaystyle \frac{1}{x^3} = x^{-3}$

✏️Eksempel 6: Derivasjon med negative eksponenter

Deriver funksjonene:

a) $f(x) = x^{-2}$
b) $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{3}{x^4}$
d) $\displaystyle k(x) = x^2 - \frac{2}{x^3}$

Løsning:

a) $f(x) = x^{-2}$
$\displaystyle f'(x) = -2x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$

b) $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$
$\displaystyle g'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{3}{x^4} = 3x^{-4}$
$\displaystyle h'(x) = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -12x^{-5} = -\frac{12}{x^5}$

d) $\displaystyle k(x) = x^2 - \frac{2}{x^3} = x^2 - 2x^{-3}$
$\displaystyle k'(x) = 2x - 2 \cdot (-3)x^{-4} = 2x + 6x^{-4} = 2x + \frac{6}{x^4}$

Strategi: Skriv om brøker med

x

i nevneren til negative eksponenter før du deriverer. Dette gjør det enklere å bruke potensregelen.

$\frac{1}{x^n} \rightarrow x^{-n} \rightarrow \text{deriver} \rightarrow -n \cdot x^{-n-1}$

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene. Skriv svaret både med negative eksponenter og som brøk.

f(x) = x^{-3}

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}

\displaystyle f(x) = \frac{5}{x}

\displaystyle f(x) = \frac{4}{x^3}

\displaystyle f(x) = x^3 + \frac{1}{x}

\displaystyle f(x) = 2x^2 - \frac{3}{x^2} + 1

Rasjonale eksponenter

Potensregelen gjelder også for brøkeksponenter (rasjonale eksponenter). Husk sammenhengen mellom røtter og brøkeksponenter.

Viktig sammenheng:

$\sqrt{x} = x^{1/2}$

$\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$

$\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$

For eksempel:
- $\sqrt{x} = x^{1/2}$
- $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
- $\sqrt{x^3} = x^{3/2}$

✏️Eksempel 7: Derivasjon med rasjonale eksponenter

Deriver funksjonene:

a) $f(x) = \sqrt{x}$
b) $g(x) = \sqrt[3]{x}$
c) $h(x) = x^{3/2}$
d) $\displaystyle k(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Løsning:

a) $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$
$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

b) $g(x) = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}$
$\displaystyle g'(x) = \frac{1}{3}x^{1/3-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

c) $h(x) = x^{3/2}$
$\displaystyle h'(x) = \frac{3}{2}x^{3/2-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$

d) $\displaystyle k(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$
$\displaystyle k'(x) = -\frac{1}{2}x^{-1/2-1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$

Nyttig å huske:

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Dette resultatet brukes ofte!

📊Rotfunksjonen og den deriverte

Grafen til $f(x) = \sqrt{x}$ (blå) og den deriverte $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ (rød).

📝Oppgave 6

Deriver funksjonene. Skriv om til eksponentform først.

f(x) = \sqrt{x}

f(x) = \sqrt[4]{x}

f(x) = x^{2/3}

f(x) = 3\sqrt{x}

f(x) = x^2 + 2\sqrt{x}

\displaystyle f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}

Oppsummering av derivasjonsregler

La oss oppsummere alle reglene vi har lært i dette kapitlet:

Derivasjonsregler

(c)' = 0

Regel	Formel
Konstantregelen	$(c)' = 0$
Potensregelen	$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
Konstant faktor	$(c \cdot f)' = c \cdot f'$
Sumregelen	$(f + g)' = f' + g'$
Differanseregelen	$(f - g)' = f' - g'$

📝Oppgave 7

Deriver funksjonene. Skriv om til standardform først hvis nødvendig.

\displaystyle f(x) = 3x^4 - 2x^2 + \frac{5}{x}

\displaystyle f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}

\displaystyle f(x) = \frac{x^3 - 2x + 1}{x}

f(x) = (x + 1)(x - 2)

Anvendelse: Tangenter til grafer

Den deriverte $f'(a)$ gir stigningstallet til tangenten til grafen av $f$ i punktet $(a, f(a))$ .

✏️Eksempel 8: Finne tangent til en kurve

La $f(x) = x^3 - 2x + 1$ . Finn likningen for tangenten til grafen i punktet der $x = 2$ .

Løsning:

Steg 1: Finn $y$ -verdien når $x = 2$ :
$f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5$
Berøringspunktet er $(2, 5)$ .

Steg 2: Finn stigningstallet (den deriverte i $x = 2$ ):
$f'(x) = 3x^2 - 2$
$f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 = 12 - 2 = 10$

Steg 3: Bruk ettpunktsformelen for en rett linje:
$y - y_1 = a(x - x_1)$
$y - 5 = 10(x - 2)$
$y = 10x - 20 + 5$
$y = 10x - 15$

Svar: Tangentens likning er $y = 10x - 15$ .

📝Oppgave 8

Finn likningen for tangenten til grafen i det oppgitte punktet.

f(x) = x^2

x = 3

f(x) = x^3 - x

x = 1

f(x) = \sqrt{x}

x = 4

f(x) = x^2 - 4x + 5

x = 2

Oppsummering

I dette kapitlet har vi lært de grunnleggende derivasjonsreglene:

Konstantregelen: $(c)' = 0$
- Den deriverte av en konstant er alltid 0.

Potensregelen: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$
- Eksponenten flyttes ned foran og reduseres med 1.
- Gjelder for alle reelle eksponenter.

Konstant faktor: $(c \cdot f)' = c \cdot f'$
- Konstanten kan "flyttes ut" av derivasjonen.

Sumregelen: $(f + g)' = f' + g'$
- Den deriverte av en sum er summen av de deriverte.

Differanseregelen: $(f - g)' = f' - g'$
- Den deriverte av en differanse er differansen av de deriverte.

Viktige spesialtilfeller:
- $(x)' = 1$
- $(x^2)' = 2x$
- $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
- $\displaystyle (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver