3.3 Derivasjonens definisjon | Matematikk R1

Den deriverte geometrisk, algebraisk og numerisk.

60 min

16 oppgaver

Momentan vekstfartSekant og tangentDerivasjonens definisjonNumerisk derivasjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Fra vekstfart til derivasjon

I dette kapittelet skal vi utvikle den matematiske definisjonen av den deriverte. Vi starter med det intuitive begrepet vekstfart og ser hvordan vi kan gjore dette presist ved hjelp av grenseverdier.

Tenk på en bil som kjorer langs en vei. Hvis bilen tilbakelegger 100 km på 2 timer, er gjennomsnittsfarten $\displaystyle \frac{100}{2} = 50$ km/t. Men hva er farten akkurat i et gitt oyeblikk? Dette er et sporsmal om momentan vekstfart, og svaret ligger i derivasjonens definisjon.

Gjennomsnittlig vekstfart

Nar vi har en funksjon $f(x)$ , kan vi beregne hvor mye funksjonsverdien endrer seg i gjennomsnitt mellom to punkter.

Gjennomsnittlig vekstfart

f

Geometrisk tolkning:

En sekant er en rett linje som skjaerer grafen i to punkter. Stigningstallet til sekanten forteller oss hvor bratt funksjonen stiger (eller synker) i gjennomsnitt mellom disse to punktene.

Hvis vi setter $b = a + h$ , der $h$ er avstanden mellom $x$ -verdiene, far vi den alternative formen:

$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Dette kalles differansekvotienten eller Newton-kvotienten.

✏️Eksempel 1: Gjennomsnittlig vekstfart

La $f(x) = x^2$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[1, 3]$ .

Løsning:

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart:

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 - 1^2}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Svar: Den gjennomsnittlige vekstfarten er $4$ .

Dette betyr at sekanten gjennom $(1, 1)$ og $(3, 9)$ har stigningstall $4$ .

📊Sekant til f(x) = x^2

Visualisering av sekanten mellom to punkter på parabelen.

📝Oppgave 1

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen i det oppgitte intervallet.

f(x) = x^2

i intervallet

[2, 4]

f(x) = x^3

i intervallet

[1, 2]

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

i intervallet

[1, 4]

f(x) = \sqrt{x}

i intervallet

[4, 9]

Momentan vekstfart

Hva skjer hvis vi lar de to punktene komme naermere og naermere hverandre? Sekanten vil da naerme seg en tangent - en linje som bare berorer grafen i ett punkt.

Den momentane vekstfarten i et punkt er stigningstallet til tangenten i det punktet.

Fra sekant til tangent:

Tenk på at vi har funksjonen $f(x) = x^2$ og vil finne den momentane vekstfarten i punktet $x = 2$ .

Vi beregner den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 2$ til $x = 2 + h$ for stadig mindre verdier av $h$ :

$h$	Gjennomsnittlig vekstfart
$1$	$\displaystyle \frac{(2+1)^2 - 2^2}{1} = \frac{9-4}{1} = 5$
$0{,}5$	$\displaystyle \frac{(2{,}5)^2 - 4}{0{,}5} = \frac{6{,}25-4}{0{,}5} = 4{,}5$
$0{,}1$	$\displaystyle \frac{(2{,}1)^2 - 4}{0{,}1} = \frac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1$
$0{,}01$	$\displaystyle \frac{(2{,}01)^2 - 4}{0{,}01} = \frac{4{,}0401-4}{0{,}01} = 4{,}01$

Vi ser at nar

h \to 0

, naermer den gjennomsnittlige vekstfarten seg

4

📊Fra sekant til tangent

Bruk glidebryteren til a se hvordan sekanten naermer seg tangenten nar h gar mot 0.

📝Oppgave 2

Bruk en tabell til a estimere den momentane vekstfarten.

La $f(x) = x^2$ . Beregn $\displaystyle \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Hva naermer verdiene seg?

La $g(x) = x^3$ . Beregn $\displaystyle \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Hva naermer verdiene seg?

Derivasjonens definisjon

Na er vi klare til a gi den presise matematiske definisjonen av den deriverte. Den deriverte er grenseverdien av differansekvotienten nar $h$ gar mot $0$ .

📜Derivasjonens definisjon

Den deriverte av funksjonen

f

i punktet

x = a

er definert som:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

forutsatt at denne grenseverdien eksisterer.

Alternativ form: Ved a sette $x = a + h$ (slik at $h = x - a$ ) far vi:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Notasjon for den deriverte:

Vi bruker flere ulike notasjoner for den deriverte:

- $f'(x)$ - Lagranges notasjon (mest brukt i Norge)
- $\displaystyle \frac{df}{dx}$ eller $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ - Leibniz' notasjon
- $Df(x)$ - Operatornotasjon

Alle disse betyr det samme: den deriverte av $f$ med hensyn på $x$ .

✏️Eksempel 2: Derivasjon fra definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ nar $f(x) = x^2$ .

Løsning:

Vi bruker definisjonen:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Steg 1: Beregn $f(x+h)$ :
$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$

Steg 2: Beregn differansen $f(x+h) - f(x)$ :
$f(x+h) - f(x) = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$

Steg 3: Del på $h$ :
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h$

Steg 4: Ta grenseverdien nar $h \to 0$ :
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Svar: $f'(x) = 2x$

Dette bekrefter at den deriverte av $x^2$ er $2x$ .

✏️Eksempel 3: Derivasjon av $f(x) = x^3$

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ nar $f(x) = x^3$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn $f(x+h)$ :
$f(x+h) = (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

(Vi bruker tredje kvadratsetning: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ )

Steg 2: Beregn differansen:
$f(x+h) - f(x) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3 = 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Steg 3: Del på $h$ :
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$

Steg 4: Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2$

Svar: $f'(x) = 3x^2$

📝Oppgave 3

Bruk definisjonen til å finne den deriverte.

f(x) = 3x

f(x) = x^2 + 2x

f(x) = 5

f(x) = x^2 - 3x + 1

✏️Eksempel 4: Derivasjon av $f(x) = \frac{1}{x}$

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ nar $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ .

Løsning:

Steg 1: Beregn $f(x+h) - f(x)$ :
$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}$

Steg 2: Finn fellesnevner:
$= \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{x - x - h}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}$

Steg 3: Del på $h$ :
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-h}{h \cdot x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)}$

Steg 4: Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}$

Svar: $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

✏️Eksempel 5: Derivasjon av $f(x) = \sqrt{x}$

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ nar $f(x) = \sqrt{x}$ for $x > 0$ .

Løsning:

Steg 1: Sett opp differansekvotienten:
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

Steg 2: Utvid med konjugatet:
$= \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$= \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

Steg 3: Forenkle:
$= \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

Steg 4: Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Svar: $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Tips: Konjugatmetoden

Nar differansekvotienten inneholder rottuttrykk, er det ofte nyttig a utvide med konjugatet:

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{h} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a - b}{h(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Dette eliminerer rottene i telleren.

📝Oppgave 4

Bruk definisjonen til å finne den deriverte. Vis alle mellomregninger.

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x}

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}

f(x) = \sqrt{2x}

Geometrisk tolkning

Den deriverte $f'(a)$ har en viktig geometrisk betydning: den er stigningstallet til tangentlinjen til grafen i punktet $(a, f(a))$ .

📜Tangentens ligning

Tangenten til grafen til

f

i punktet

(a, f(a))

har ligningen:

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

eller på formen $y = mx + c$ :

$y = f'(a) \cdot x + (f(a) - a \cdot f'(a))$

✏️Eksempel 6: Finn tangentens ligning

La $f(x) = x^2$ . Finn ligningen for tangenten til grafen i punktet der $x = 3$ .

Løsning:

Steg 1: Finn $f(3)$ :
$f(3) = 3^2 = 9$

Berorningspunktet er $(3, 9)$ .

Steg 2: Finn $f'(x)$ :
Vi vet fra for at $f'(x) = 2x$ .

Steg 3: Finn stigningstallet $f'(3)$ :
$f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$

Steg 4: Sett opp tangentligningen:
$y - 9 = 6(x - 3)$
$y = 6x - 18 + 9$
$y = 6x - 9$

Svar: Tangentens ligning er $y = 6x - 9$ .

📊Tangent til f(x) = x^2 i x = 3

Grafen til $f(x) = x^2$ med tangenten i punktet $(3, 9)$ .

📝Oppgave 5

Finn ligningen for tangenten til grafen i det oppgitte punktet.

f(x) = x^2

x = 2

f(x) = x^3

x = 1

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

x = 4

Numerisk derivasjon

Noen ganger er det vanskelig eller umulig å finne den deriverte analytisk. Da kan vi tilnaerme den deriverte numerisk ved a velge en liten verdi for $h$ .

Numeriske tilnaerminger

f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Hvorfor er sentral differanse mer noyaktig?

Sentral differanse bruker informasjon fra begge sider av punktet $a$ , noe som gir en bedre tilnaerming. Feilen i sentral differanse er proporsjonal med $h^2$ , mens feilen i framover/bakover-differanse er proporsjonal med $h$ .

For $h = 0{,}01$ : Sentral differanse har feil $\sim 0{,}0001$ , mens de andre har feil $\sim 0{,}01$ .

✏️Eksempel 7: Numerisk derivasjon

La $f(x) = \sin(x)$ . Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til a tilnaerme $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ .

Løsning:

Vi bruker formelen for sentral differanse:
$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx \frac{f\left(\frac{\pi}{4} + 0{,}01\right) - f\left(\frac{\pi}{4} - 0{,}01\right)}{2 \cdot 0{,}01}$

Beregner:
- $\displaystyle \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854$
- $\sin(0{,}7954) \approx 0{,}7141$
- $\sin(0{,}7754) \approx 0{,}7000$

$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx \frac{0{,}7141 - 0{,}7000}{0{,}02} = \frac{0{,}0141}{0{,}02} \approx 0{,}707$

Sammenligning: Den eksakte verdien er $f'(x) = \cos(x)$ , sa $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071$ .

Tilnaermingen var svaert god!

📝Oppgave 6

Bruk numerisk derivasjon til a tilnaerme den deriverte.

Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til a tilnaerme $f'(2)$ for $f(x) = x^3$ . Sammenlign med eksakt svar.

Bruk framoverdifferanse med $h = 0{,}001$ til a tilnaerme $f'(1)$ for $f(x) = e^x$ . Sammenlign med eksakt svar.

Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til a tilnaerme $f'(0)$ for $f(x) = \cos(x)$ .

Nar er en funksjon deriverbar?

En funksjon er deriverbar i et punkt hvis grenseverdien i derivasjonens definisjon eksisterer. Men ikke alle funksjoner er deriverbare overalt.

📜Deriverbarhet og kontinuitet

Hvis $f$ er deriverbar i $x = a$ , så er $f$ kontinuerlig i $x = a$ .

Merk: Det motsatte gjelder ikke! En funksjon kan være kontinuerlig uten a være deriverbar.

Tilfeller der en funksjon ikke er deriverbar:

1. Spisse hjorner: Funksjonen $f(x) = |x|$ er ikke deriverbar i $x = 0$ fordi venstre- og hoyresidige grenseverdier er ulike.

2. Vertikale tangenter: Funksjonen $f(x) = \sqrt[3]{x}$ har vertikal tangent i $x = 0$ (grenseverdien blir uendelig).

3. Diskontinuiteter: Hvis funksjonen har et hopp eller et hull, er den ikke deriverbar der.

📊Absoluttverdifunksjonen

Grafen til $f(x) = |x|$ har et spisst hjorne i $x = 0$ og er derfor ikke deriverbar der.

✏️Eksempel 8: $f(x) = |x|$ er ikke deriverbar i $x = 0$

Vis at $f(x) = |x|$ ikke er deriverbar i $x = 0$ .

Løsning:

Vi undersoker grenseverdien fra hoyre og venstre:

Fra hoyre ( $h > 0$ ):
$\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

Fra venstre ( $h < 0$ ):
$\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

Siden $1 \neq -1$ , eksisterer ikke grenseverdien $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ .

Konklusjon: $f(x) = |x|$ er ikke deriverbar i $x = 0$ .

Geometrisk: Grafen har et spisst hjorne i origo, sa det finnes ingen entydig tangent.

📝Oppgave 7

Undersok om funksjonen er deriverbar i det oppgitte punktet.

f(x) = |x - 2|

x = 2

f(x) = x|x|

x = 0

f(x) = \sqrt{|x|}

x = 0

Oppsummering

Gjennomsnittlig vekstfart (sekant):
$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Derivasjonens definisjon:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Alternativ form:
$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Geometrisk tolkning: $f'(a)$ er stigningstallet til tangenten i $(a, f(a))$ .

Tangentens ligning: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Numerisk derivasjon (sentral differanse):
$f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$

Deriverbarhet: En funksjon er deriverbar i et punkt hvis grenseverdien i definisjonen eksisterer. Deriverbarhet impliserer kontinuitet, men ikke omvendt.

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 2 oppgaver

h

Gjennomsnittlig vekstfart

1

\displaystyle \frac{(2+1)^2 - 2^2}{1} = \frac{9-4}{1} = 5

0{,}5

\displaystyle \frac{(2{,}5)^2 - 4}{0{,}5} = \frac{6{,}25-4}{0{,}5} = 4{,}5

0{,}1

\displaystyle \frac{(2{,}1)^2 - 4}{0{,}1} = \frac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1

0{,}01

\displaystyle \frac{(2{,}01)^2 - 4}{0{,}01} = \frac{4{,}0401-4}{0{,}01} = 4{,}01