2.3 Sammensatte funksjoner | Matematikk R1

Komposisjon av funksjoner.

45 min

12 oppgaver

Komposisjonf∘gIndre og ytre funksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Sammensatte funksjoner

Når vi setter én funksjon inn i en annen, får vi en sammensatt funksjon (også kalt komposisjon). Dette er et viktig begrep som danner grunnlag for kjerneregelen i derivasjon.

Komposisjon av funksjoner

f

✏️Eksempel 1: Beregne komposisjon

La $f(x) = x^2$ og $g(x) = x + 3$ .

Finn:
a) $(f \circ g)(x)$
b) $(g \circ f)(x)$
c) $(f \circ g)(2)$

Løsning:

a) $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Her er $g(x) = x + 3$ den indre funksjonen og $f(x) = x^2$ den ytre.

b) $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$

Her er $f(x) = x^2$ den indre funksjonen og $g(x) = x + 3$ den ytre.

c) $(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(2 + 3) = f(5) = 5^2 = 25$

Alternativt: $(f \circ g)(2) = (2 + 3)^2 = 25$

Viktig: Rekkefølgen betyr noe!

Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$ .

Fra eksemplet over:
- $(f \circ g)(x) = x^2 + 6x + 9$
- $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$

Disse er ulike funksjoner!

📝Oppgave 1

La $f(x) = 2x$ og $g(x) = x - 1$ . Finn:

(f \circ g)(x)

(g \circ f)(x)

(f \circ f)(x)

(g \circ g)(x)

✏️Eksempel 2: Komposisjon med ulike funksjonstyper

La $f(x) = e^x$ og $g(x) = 2x + 1$ .

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = e^{2x+1}$

Her er:
- Indre funksjon: $g(x) = 2x + 1$
- Ytre funksjon: $f(x) = e^x$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^x) = 2e^x + 1$

Her er:
- Indre funksjon: $f(x) = e^x$
- Ytre funksjon: $g(x) = 2x + 1$

📝Oppgave 2

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = x + 4

f(x) = \ln x

g(x) = x^2

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

g(x) = x + 1

f(x) = x^3

g(x) = \cos x

Identifisere indre og ytre funksjon

Når vi har et sammensatt uttrykk, må vi kunne "se" hvilke funksjoner som er satt sammen. Dette er viktig for derivasjon med kjerneregelen.

✏️Eksempel 3: Identifisere indre og ytre funksjon

Skriv følgende som $f(g(x))$ og identifiser indre og ytre funksjon:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
b) $k(x) = e^{x^2}$
c) $m(x) = \ln(\sin x)$
d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$

Løsning:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
- Indre: $g(x) = 3x - 2$
- Ytre: $f(u) = u^5$
- $h(x) = f(g(x))$ der $f(u) = u^5$ , $g(x) = 3x - 2$

b) $k(x) = e^{x^2}$
- Indre: $g(x) = x^2$
- Ytre: $f(u) = e^u$
- $k(x) = f(g(x))$

c) $m(x) = \ln(\sin x)$
- Indre: $g(x) = \sin x$
- Ytre: $f(u) = \ln u$
- $m(x) = f(g(x))$

d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$
- Indre: $g(x) = 1 - x^2$
- Ytre: $f(u) = \sqrt{u}$
- $n(x) = f(g(x))$

Tips for å identifisere indre og ytre funksjon:

Spør deg selv: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?"

- I $(3x-2)^5$ : Det ytterste er å opphøye i 5. Det indre er $3x-2$ .
- I $e^{x^2}$ : Det ytterste er $e$ -funksjonen. Det indre er $x^2$ .
- I $\ln(\sin x)$ : Det ytterste er $\ln$ . Det indre er $\sin x$ .

📝Oppgave 3

Identifiser indre og ytre funksjon.

h(x) = (x^2 + 1)^4

k(x) = \sin(3x)

m(x) = e^{\sqrt{x}}

\displaystyle n(x) = \frac{1}{(2x-3)^2}

p(x) = \ln(x^3 + 1)

Flere enn to funksjoner

Vi kan også sette sammen tre eller flere funksjoner:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Her regner vi fra innsiden og ut: først $h(x)$ , så $g$ , så $f$ .

✏️Eksempel 4: Trippel komposisjon

La $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 1$ og $h(x) = 2x$ .

Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Steg 1: $h(x) = 2x$

Steg 2: $g(h(x)) = g(2x) = 2x + 1$

Steg 3: $f(g(h(x))) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Svar: $(f \circ g \circ h)(x) = 4x^2 + 4x + 1$

📝Oppgave 4

Finn de sammensatte funksjonene.

La $f(x) = \sqrt{x}$ , $g(x) = x + 4$ , $h(x) = x^2$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

La $f(x) = e^x$ , $g(x) = 2x$ , $h(x) = x + 1$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Skriv $\sin^2(3x)$ som $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Forbindelse til kjerneregelen

Når vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen:

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

- $g(x)$ kalles kjernen
- Vi deriverer den ytre funksjonen $f$ og setter inn kjernen $g(x)$
- Vi ganger med den deriverte av kjernen $g'(x)$

✏️Eksempel 5: Forsmak på kjerneregelen

La $h(x) = (2x + 1)^3$ . Identifiser indre og ytre funksjon og tenk over hvordan du ville derivert.

Løsning:

Indre funksjon (kjernen): $g(x) = 2x + 1$
Ytre funksjon: $f(u) = u^3$

Derivert av ytre: $f'(u) = 3u^2$
Derivert av indre: $g'(x) = 2$

Med kjerneregelen:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$

Kjerneregelen vil bli grundig behandlet i kapittel 3.

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver.

La $f(x) = x^2 - 1$ og $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ . Vis at $\displaystyle (f \circ g)(x) = \frac{1-x^2}{x^2}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = e^{\sin x}$ .

Hvis $f(x) = 2x + 1$ og $(f \circ g)(x) = 4x - 1$ , finn $g(x)$ .

📊Sammensatte funksjoner

Visualisering av $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 2$ og $(f \circ g)(x) = (x+2)^2$ .

Oppsummering

Komposisjon:
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Indre og ytre funksjon:
- I $f(g(x))$ er $g$ indre og $f$ ytre
- Den indre funksjonen regnes ut først

Viktig:
- Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$
- Komposisjon er grunnlaget for kjerneregelen i derivasjon

Identifisering:
Spør: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?" for å finne ytre funksjon.

Komposisjon av funksjoner.

45 min

12 oppgaver

Komposisjonf∘gIndre og ytre funksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Sammensatte funksjoner

Når vi setter én funksjon inn i en annen, får vi en sammensatt funksjon (også kalt komposisjon). Dette er et viktig begrep som danner grunnlag for kjerneregelen i derivasjon.

Komposisjon av funksjoner

f

✏️Eksempel 1: Beregne komposisjon

La $f(x) = x^2$ og $g(x) = x + 3$ .

Finn:
a) $(f \circ g)(x)$
b) $(g \circ f)(x)$
c) $(f \circ g)(2)$

Løsning:

a) $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Her er $g(x) = x + 3$ den indre funksjonen og $f(x) = x^2$ den ytre.

b) $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2) = x^2 + 3$

Her er $f(x) = x^2$ den indre funksjonen og $g(x) = x + 3$ den ytre.

c) $(f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(2 + 3) = f(5) = 5^2 = 25$

Alternativt: $(f \circ g)(2) = (2 + 3)^2 = 25$

Viktig: Rekkefølgen betyr noe!

Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$ .

Fra eksemplet over:
- $(f \circ g)(x) = x^2 + 6x + 9$
- $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$

Disse er ulike funksjoner!

📝Oppgave 1

La $f(x) = 2x$ og $g(x) = x - 1$ . Finn:

(f \circ g)(x)

(g \circ f)(x)

(f \circ f)(x)

(g \circ g)(x)

✏️Eksempel 2: Komposisjon med ulike funksjonstyper

La $f(x) = e^x$ og $g(x) = 2x + 1$ .

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = e^{2x+1}$

Her er:
- Indre funksjon: $g(x) = 2x + 1$
- Ytre funksjon: $f(x) = e^x$

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^x) = 2e^x + 1$

Her er:
- Indre funksjon: $f(x) = e^x$
- Ytre funksjon: $g(x) = 2x + 1$

📝Oppgave 2

Finn $(f \circ g)(x)$ og $(g \circ f)(x)$ .

f(x) = \sqrt{x}

g(x) = x + 4

f(x) = \ln x

g(x) = x^2

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

g(x) = x + 1

f(x) = x^3

g(x) = \cos x

Identifisere indre og ytre funksjon

Når vi har et sammensatt uttrykk, må vi kunne "se" hvilke funksjoner som er satt sammen. Dette er viktig for derivasjon med kjerneregelen.

✏️Eksempel 3: Identifisere indre og ytre funksjon

Skriv følgende som $f(g(x))$ og identifiser indre og ytre funksjon:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
b) $k(x) = e^{x^2}$
c) $m(x) = \ln(\sin x)$
d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$

Løsning:

a) $h(x) = (3x - 2)^5$
- Indre: $g(x) = 3x - 2$
- Ytre: $f(u) = u^5$
- $h(x) = f(g(x))$ der $f(u) = u^5$ , $g(x) = 3x - 2$

b) $k(x) = e^{x^2}$
- Indre: $g(x) = x^2$
- Ytre: $f(u) = e^u$
- $k(x) = f(g(x))$

c) $m(x) = \ln(\sin x)$
- Indre: $g(x) = \sin x$
- Ytre: $f(u) = \ln u$
- $m(x) = f(g(x))$

d) $n(x) = \sqrt{1 - x^2}$
- Indre: $g(x) = 1 - x^2$
- Ytre: $f(u) = \sqrt{u}$
- $n(x) = f(g(x))$

Tips for å identifisere indre og ytre funksjon:

Spør deg selv: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?"

📝Oppgave 3

Identifiser indre og ytre funksjon.

h(x) = (x^2 + 1)^4

k(x) = \sin(3x)

m(x) = e^{\sqrt{x}}

\displaystyle n(x) = \frac{1}{(2x-3)^2}

p(x) = \ln(x^3 + 1)

Flere enn to funksjoner

Vi kan også sette sammen tre eller flere funksjoner:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Her regner vi fra innsiden og ut: først $h(x)$ , så $g$ , så $f$ .

✏️Eksempel 4: Trippel komposisjon

La $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 1$ og $h(x) = 2x$ .

Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Løsning:

$(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x)))$

Steg 1: $h(x) = 2x$

Steg 2: $g(h(x)) = g(2x) = 2x + 1$

Steg 3: $f(g(h(x))) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

Svar: $(f \circ g \circ h)(x) = 4x^2 + 4x + 1$

📝Oppgave 4

Finn de sammensatte funksjonene.

La $f(x) = \sqrt{x}$ , $g(x) = x + 4$ , $h(x) = x^2$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

La $f(x) = e^x$ , $g(x) = 2x$ , $h(x) = x + 1$ . Finn $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Skriv $\sin^2(3x)$ som $(f \circ g \circ h)(x)$ .

Forbindelse til kjerneregelen

Når vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen:

$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

- $g(x)$ kalles kjernen
- Vi deriverer den ytre funksjonen $f$ og setter inn kjernen $g(x)$
- Vi ganger med den deriverte av kjernen $g'(x)$

✏️Eksempel 5: Forsmak på kjerneregelen

La $h(x) = (2x + 1)^3$ . Identifiser indre og ytre funksjon og tenk over hvordan du ville derivert.

Løsning:

Indre funksjon (kjernen): $g(x) = 2x + 1$
Ytre funksjon: $f(u) = u^3$

Derivert av ytre: $f'(u) = 3u^2$
Derivert av indre: $g'(x) = 2$

Med kjerneregelen:
$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$

Kjerneregelen vil bli grundig behandlet i kapittel 3.

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver.

La $f(x) = x^2 - 1$ og $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x}$ . Vis at $\displaystyle (f \circ g)(x) = \frac{1-x^2}{x^2}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ .

Finn funksjoner $f$ og $g$ slik at $(f \circ g)(x) = e^{\sin x}$ .

Hvis $f(x) = 2x + 1$ og $(f \circ g)(x) = 4x - 1$ , finn $g(x)$ .

📊Sammensatte funksjoner

Visualisering av $f(x) = x^2$ , $g(x) = x + 2$ og $(f \circ g)(x) = (x+2)^2$ .

Oppsummering

Komposisjon:
$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Indre og ytre funksjon:
- I $f(g(x))$ er $g$ indre og $f$ ytre
- Den indre funksjonen regnes ut først

Viktig:
- Generelt er $f \circ g \neq g \circ f$
- Komposisjon er grunnlaget for kjerneregelen i derivasjon

Identifisering:
Spør: "Hva er det ytterste jeg gjør med $x$ ?" for å finne ytre funksjon.