3.1 Grenseverdi | Matematikk R1

Grenseverdier til funksjoner og strategier for å bestemme dem.

55 min

16 oppgaver

GrenseverdiEnsidig grenseverdiGrenseverdi i uendelig

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Hva er en grenseverdi?

Grenseverdier er et av de mest fundamentale begrepene i matematisk analyse. De beskriver hva som skjer med en funksjon når variabelen nærmer seg en bestemt verdi, uten nødvendigvis å nå den.

Tenk på funksjonen $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ . Vi kan ikke sette inn $x = 1$ direkte fordi vi da får $\displaystyle \frac{0}{0}$ . Men vi kan undersøke hva som skjer når $x$ kommer veldig nær 1.

✏️Eksempel 1: Tilnærming til en verdi

Undersøk verdiene til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ når $x$ nærmer seg 1.

Løsning:

La oss beregne noen verdier:

$x$	$f(x)$
0.9	1.9
0.99	1.99
0.999	1.999
1.001	2.001
1.01	2.01
1.1	2.1

Vi ser at når

x

kommer nærmere og nærmere 1, så kommer

f(x)

nærmere og nærmere 2.
Algebraisk forklaring:

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \quad \text{for } x \neq 1

Når

x \to 1

, får vi

x + 1 \to 2

Grenseverdi

\lim_{x \to a} f(x) = L

Viktig: Grenseverdien

\lim_{x \to a} f(x)

avhenger bare av verdiene til

f(x)

nær

a

, ikke av verdien

f(a)

selv. Funksjonen trenger ikke engang å være definert i

x = a

📊Grenseverdi - visualisering

Grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ med et hull i $x = 1$ . Grenseverdien er 2.

📝Oppgave 1

Finn grenseverdien ved direkte innsetting.

\lim_{x \to 2} (x^2 + 1)

\lim_{x \to 3} (2x - 1)

\lim_{x \to -1} (x^3 + x)

\lim_{x \to 4} \sqrt{x + 5}

Regneregler for grenseverdier

Hvis $\lim_{x \to a} f(x) = L$ og $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , så gjelder følgende regneregler:

📜Regneregler for grenseverdier

La $\lim_{x \to a} f(x) = L$ og $\lim_{x \to a} g(x) = M$ . Da gjelder:

Sum: $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$

Differanse: $\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$

Produkt: $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$

Kvotient: $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ , dersom $M \neq 0$

Konstant: $\lim_{x \to a} c = c$ for en konstant $c$

Konstant ganger funksjon: $\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$

Potens: $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$ for $n \in \mathbb{N}$

✏️Eksempel 2: Bruk av regneregler

Beregn grenseverdiene:

a) $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 2x + 1)$

b) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 1}{x + 2}$

Løsning:

a) $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 2x + 1)$

Ved å bruke reglene for sum, produkt og konstant:
$= 3 \cdot \lim_{x \to 2} x^2 - 2 \cdot \lim_{x \to 2} x + \lim_{x \to 2} 1$
$= 3 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9$

b) $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 1}{x + 2}$

Siden nevneren ikke er null for $x = 1$ :
$= \frac{\lim_{x \to 1}(x^2 + 1)}{\lim_{x \to 1}(x + 2)} = \frac{1 + 1}{1 + 2} = \frac{2}{3}$

📝Oppgave 2

Bruk regnereglene til å finne grenseverdiene.

\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 5)

\lim_{x \to -2} (x^3 - 3x)

\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{x + 1}{x - 1}

\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Ubestemte former

Noen ganger gir direkte innsetting formen $\displaystyle \frac{0}{0}$ eller $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ . Dette kalles ubestemte former og krever algebraisk manipulasjon før vi kan finne grenseverdien.

Ubestemt form

Uttrykk som $\displaystyle \frac{0}{0}$ er ikke et tall - det er en ubestemt form. Vi må bruke algebraiske teknikker for å finne den faktiske grenseverdien.

Vanlige teknikker:
- Faktorisering (for polynomer)
- Konjugering (for uttrykk med røtter)
- Forlengelse (for brøker)

✏️Eksempel 3: Faktorisering

Finn $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Løsning:

Direkte innsetting gir $\displaystyle \frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ (ubestemt form).

Vi faktoriserer telleren:
$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x - 3}$

For $x \neq 3$ kan vi forkorte:
$= \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6$

Svar: $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = 6$

✏️Eksempel 4: Konjugering

Finn $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$

Løsning:

Direkte innsetting gir $\displaystyle \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{0}{0}$ (ubestemt form).

Vi ganger med konjugatet:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$

$= \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$

Svar: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \frac{1}{4}$

Tips for konjugering:

Konjugatet til $\sqrt{a} - b$ er $\sqrt{a} + b$ .

Når vi ganger med konjugatet, bruker vi at:
$(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2$

Dette fjerner rotuttrykket og lar oss ofte forkorte.

📝Oppgave 3

Finn grenseverdiene ved faktorisering eller konjugering.

\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}

\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x + 1}

\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x^2 - 4x - 5}

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

Ensidige grenseverdier

Noen ganger oppfører en funksjon seg forskjellig når vi nærmer oss et punkt fra venstre (mindre verdier) og fra høyre (større verdier). Da trenger vi ensidige grenseverdier.

Ensidige grenseverdier

\lim_{x \to a^-} f(x) = L

✏️Eksempel 5: Ensidige grenseverdier

La $\displaystyle f(x) = \frac{|x|}{x}$ . Finn de ensidige grenseverdiene når $x \to 0$ .

Løsning:

For $x > 0$ : $|x| = x$ , så $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x} = 1$

For $x < 0$ : $|x| = -x$ , så $\displaystyle f(x) = \frac{-x}{x} = -1$

Dermed:
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$

Siden de ensidige grenseverdiene er forskjellige, eksisterer ikke $\lim_{x \to 0} f(x)$ .

📊Fortegnsfunksjonen

Grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{|x|}{x}$ med sprang i $x = 0$ .

📝Oppgave 4

Finn de ensidige grenseverdiene.

\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}

\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2}

\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2}

Grenseverdier i uendelig

Vi kan også undersøke hva som skjer med en funksjon når $x$ blir veldig stor (positiv eller negativ). Dette kalles grenseverdier i uendelig.

Grenseverdi i uendelig

\lim_{x \to \infty} f(x) = L

📜Grunnleggende grenseverdier i uendelig

For

n > 0

\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0$

Intuisjon: Når $x$ blir veldig stor, blir $\displaystyle \frac{1}{x^n}$ veldig liten.

✏️Eksempel 6: Rasjonale funksjoner i uendelig

Finn:

a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5}$

b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x^2 - 1}$

Løsning:

Metode: Del på høyeste potens av $x$ i nevneren.

a) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 2x + 1}{x^2 + 5}$

Vi deler teller og nevner på $x^2$ :
$= \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}}$

Når $x \to \infty$ : $\displaystyle \frac{2}{x} \to 0$ , $\displaystyle \frac{1}{x^2} \to 0$ , $\displaystyle \frac{5}{x^2} \to 0$

$= \frac{3 - 0 + 0}{1 + 0} = 3$

b) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x^2 - 1}$

Vi deler på $x^2$ :
$= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 - 0} = 0$

Tommelfingerregel for rasjonale funksjoner:

La $\displaystyle f(x) = \frac{a_n x^n + \ldots}{b_m x^m + \ldots}$

- Hvis $n < m$ : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 0$
- Hvis $n = m$ : $\displaystyle \lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m}$
- Hvis $n > m$ : Grenseverdien er $\pm\infty$ (avhenger av fortegn)

📝Oppgave 5

Finn grenseverdiene når $x \to \infty$ .

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x - 1}

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 1}{2x^2 + 3x}

\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^2 + 1}

\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{x + 4}

📊Horisontal asymptote

Grafen til $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ med horisontal asymptote $y = 2$ .

Oppsummering

Grenseverdi:
$\lim_{x \to a} f(x) = L$
betyr at $f(x) \to L$ når $x \to a$ .

Regneregler: Sum, differanse, produkt, kvotient og potens av grenseverdier følger intuitive regler.

Ubestemte former ( $\displaystyle \frac{0}{0}$ ): Bruk faktorisering, konjugering eller andre algebraiske teknikker.

Ensidige grenseverdier:
- $\lim_{x \to a^-}$ : fra venstre ( $x < a$ )
- $\lim_{x \to a^+}$ : fra høyre ( $x > a$ )
- Grenseverdien eksisterer bare hvis begge er like

Grenseverdier i uendelig:
- For rasjonale funksjoner: del på høyeste potens av $x$
- Horisontal asymptote når grenseverdien er et endelig tall

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 2 oppgaver

x

f(x)

0.9

1.9

0.99

1.99

0.999

1.999

1.001

2.001

1.01

2.01

1.1

2.1