2.2 Omvendte funksjoner | Matematikk R1

Finne og analysere omvendte (inverse) funksjoner.

55 min

16 oppgaver

Omvendt funksjonEntydig funksjonSpeiling om y=xDefinisjonsmengde

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Omvendte funksjoner

Noen funksjoner kan "reverseres" - vi kan gå tilbake fra $y$ -verdien til $x$ -verdien. En slik reversert funksjon kalles den omvendte eller inverse funksjonen.

Omvendt funksjon

f

Krav for at omvendt funksjon eksisterer:

En funksjon $f$ har en omvendt funksjon hvis og bare hvis $f$ er en-til-en (injektiv):

$f(x_1) = f(x_2) \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2$

Grafisk: Hver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt.

Eksempel: $f(x) = x^2$ er IKKE en-til-en fordi $f(-2) = f(2) = 4$ . Men $f(x) = x^2$ for $x \geq 0$ ER en-til-en.

✏️Eksempel 1: Avgjøre om omvendt funksjon eksisterer

Avgjør om følgende funksjoner har en omvendt funksjon:

a) $f(x) = 2x + 3$
b) $g(x) = x^2$
c) $h(x) = e^x$

Løsning:

a) $f(x) = 2x + 3$

Hvis $f(x_1) = f(x_2)$ :
$2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \Rightarrow x_1 = x_2$ ✓

Ja, $f$ er en-til-en og har omvendt funksjon.

b) $g(x) = x^2$

$g(-2) = g(2) = 4$ , men $-2 \neq 2$ .

Nei, $g$ er ikke en-til-en på hele $\mathbb{R}$ .
(Men den har omvendt funksjon hvis vi begrenser til $x \geq 0$ .)

c) $h(x) = e^x$

Eksponentialfunksjonen er strengt voksende, så den er en-til-en.

Ja, $h$ har omvendt funksjon (som er $h^{-1}(x) = \ln x$ ).

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonene har en omvendt funksjon. Begrunn svaret.

f(x) = 3x - 5

g(x) = x^3

h(x) = |x|

\displaystyle k(x) = \frac{1}{x}

for

x > 0

Finne omvendt funksjon algebraisk

For å finne $f^{-1}$ , løser vi ligningen $y = f(x)$ med hensyn på $x$ .

📜Fremgangsmåte for å finne omvendt funksjon

1. Skriv $y = f(x)$
2. Løs ligningen for $x$ (uttrykk $x$ ved hjelp av $y$ )
3. Bytt om $x$ og $y$ for å få $y = f^{-1}(x)$

Alternativ notasjon: Noen skriver direkte $x = f^{-1}(y)$ uten å bytte om.

✏️Eksempel 2: Finne omvendt funksjon

Finn den omvendte funksjonen til:

a) $f(x) = 2x + 3$
b) $g(x) = x^3 - 1$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ for $x \neq 2$

Løsning:

a) $f(x) = 2x + 3$

$y = 2x + 3$
$y - 3 = 2x$
$\displaystyle x = \frac{y - 3}{2}$

Bytter $x$ og $y$ : $\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$

b) $g(x) = x^3 - 1$

$y = x^3 - 1$
$y + 1 = x^3$
$x = \sqrt[3]{y + 1}$

$g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 1}$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

$\displaystyle y = \frac{x + 1}{x - 2}$
$y(x - 2) = x + 1$
$xy - 2y = x + 1$
$xy - x = 2y + 1$
$x(y - 1) = 2y + 1$
$\displaystyle x = \frac{2y + 1}{y - 1}$

$\displaystyle h^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ for $x \neq 1$

✏️Eksempel 3: Eksponential- og logaritmefunksjoner

Finn den omvendte funksjonen til:

a) $f(x) = e^{2x}$
b) $g(x) = \ln(x - 1) + 2$

Løsning:

a) $f(x) = e^{2x}$

$y = e^{2x}$
$\ln y = 2x$
$\displaystyle x = \frac{\ln y}{2}$

$\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{\ln x}{2} = \frac{1}{2}\ln x$

Definisjonsmengde: $D_{f^{-1}} = \langle 0, \infty \rangle$

b) $g(x) = \ln(x - 1) + 2$

$y = \ln(x - 1) + 2$
$y - 2 = \ln(x - 1)$
$e^{y-2} = x - 1$
$x = e^{y-2} + 1$

$g^{-1}(x) = e^{x-2} + 1$

📝Oppgave 2

Finn den omvendte funksjonen.

f(x) = 5x - 2

g(x) = \sqrt{x} + 3

for

x \geq 0

h(x) = 2^x

\displaystyle k(x) = \frac{3x}{x + 1}

for

x \neq -1

m(x) = e^x + 1

Grafisk sammenheng

Grafene til $f$ og $f^{-1}$ har en spesiell geometrisk sammenheng.

📜Speiling om linjen $y = x$

Grafen til $f^{-1}$ er speilbildet av grafen til $f$ om linjen $y = x$ .

Begrunnelse: Hvis punktet $(a, b)$ ligger på grafen til $f$ (dvs. $f(a) = b$ ), så ligger punktet $(b, a)$ på grafen til $f^{-1}$ (fordi $f^{-1}(b) = a$ ).

Å bytte om $x$ - og $y$ -koordinatene tilsvarer speiling om linjen $y = x$ .

📊Funksjon og omvendt funksjon

Grafen til $f(x) = e^x$ og $f^{-1}(x) = \ln x$ er speilinger om $y = x$ .

📝Oppgave 3

Bruk sammenhengen mellom grafer.

Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 5)$ . Hvilket punkt ligger på grafen til $f^{-1}$ ?

Grafen til $g$ går gjennom $(0, 1)$ og $(1, 3)$ . Finn to punkter på grafen til $g^{-1}$ .

Skisser grafene til $f(x) = 2x + 1$ og $f^{-1}(x)$ i samme koordinatsystem.

Definisjonsmengde og verdimengde for omvendt funksjon

📜Definisjonsmengde og verdimengde

For en funksjon

f

og dens omvendte

f^{-1}

gjelder:

$D_{f^{-1}} = V_f$
$V_{f^{-1}} = D_f$

Definisjonsmengden til $f^{-1}$ er lik verdimengden til $f$ , og omvendt.

✏️Eksempel 4: Definisjonsmengder

La $f(x) = \sqrt{x}$ for $x \geq 0$ . Finn $f^{-1}$ og bestem $D_{f^{-1}}$ og $V_{f^{-1}}$ .

Løsning:

For $f(x) = \sqrt{x}$ har vi:
- $D_f = [0, \infty \rangle$
- $V_f = [0, \infty \rangle$ (kvadratroten gir ikke-negative verdier)

Finner $f^{-1}$ :
$y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2$

$f^{-1}(x) = x^2$

Men vi må begrense til verdimengden til $f$ :
- $D_{f^{-1}} = V_f = [0, \infty \rangle$
- $V_{f^{-1}} = D_f = [0, \infty \rangle$

Altså: $f^{-1}(x) = x^2$ for $x \geq 0$ .

📝Oppgave 4

Finn omvendt funksjon med riktig definisjonsmengde.

f(x) = x^2

for

x \leq 0

g(x) = e^x - 2

h(x) = \ln(x + 3)

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver.

Vis at $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ er sin egen omvendte funksjon.

Finn $f^{-1}$ for $\displaystyle f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ .

Hvis $f(2) = 5$ og $f(5) = 8$ , finn $(f^{-1} \circ f^{-1})(8)$ .

Oppsummering

Omvendt funksjon:
- $f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y$
- Eksisterer bare for en-til-en (injektive) funksjoner

Finne omvendt funksjon:
1. Skriv $y = f(x)$
2. Løs for $x$
3. Bytt $x$ og $y$

Grafisk sammenheng:
- $f$ og $f^{-1}$ er speilbilder om $y = x$

Mengder:
- $D_{f^{-1}} = V_f$ og $V_{f^{-1}} = D_f$

Finne og analysere omvendte (inverse) funksjoner.

55 min

16 oppgaver

Omvendt funksjonEntydig funksjonSpeiling om y=xDefinisjonsmengde

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Omvendte funksjoner

Noen funksjoner kan "reverseres" - vi kan gå tilbake fra $y$ -verdien til $x$ -verdien. En slik reversert funksjon kalles den omvendte eller inverse funksjonen.

Omvendt funksjon

f

Krav for at omvendt funksjon eksisterer:

En funksjon $f$ har en omvendt funksjon hvis og bare hvis $f$ er en-til-en (injektiv):

$f(x_1) = f(x_2) \quad \Rightarrow \quad x_1 = x_2$

Grafisk: Hver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt.

Eksempel: $f(x) = x^2$ er IKKE en-til-en fordi $f(-2) = f(2) = 4$ . Men $f(x) = x^2$ for $x \geq 0$ ER en-til-en.

✏️Eksempel 1: Avgjøre om omvendt funksjon eksisterer

Avgjør om følgende funksjoner har en omvendt funksjon:

a) $f(x) = 2x + 3$
b) $g(x) = x^2$
c) $h(x) = e^x$

Løsning:

a) $f(x) = 2x + 3$

Hvis $f(x_1) = f(x_2)$ :
$2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \Rightarrow x_1 = x_2$ ✓

Ja, $f$ er en-til-en og har omvendt funksjon.

b) $g(x) = x^2$

$g(-2) = g(2) = 4$ , men $-2 \neq 2$ .

Nei, $g$ er ikke en-til-en på hele $\mathbb{R}$ .
(Men den har omvendt funksjon hvis vi begrenser til $x \geq 0$ .)

c) $h(x) = e^x$

Eksponentialfunksjonen er strengt voksende, så den er en-til-en.

Ja, $h$ har omvendt funksjon (som er $h^{-1}(x) = \ln x$ ).

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonene har en omvendt funksjon. Begrunn svaret.

f(x) = 3x - 5

g(x) = x^3

h(x) = |x|

\displaystyle k(x) = \frac{1}{x}

for

x > 0

Finne omvendt funksjon algebraisk

For å finne $f^{-1}$ , løser vi ligningen $y = f(x)$ med hensyn på $x$ .

📜Fremgangsmåte for å finne omvendt funksjon

1. Skriv $y = f(x)$
2. Løs ligningen for $x$ (uttrykk $x$ ved hjelp av $y$ )
3. Bytt om $x$ og $y$ for å få $y = f^{-1}(x)$

Alternativ notasjon: Noen skriver direkte $x = f^{-1}(y)$ uten å bytte om.

✏️Eksempel 2: Finne omvendt funksjon

Finn den omvendte funksjonen til:

a) $f(x) = 2x + 3$
b) $g(x) = x^3 - 1$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ for $x \neq 2$

Løsning:

a) $f(x) = 2x + 3$

$y = 2x + 3$
$y - 3 = 2x$
$\displaystyle x = \frac{y - 3}{2}$

Bytter $x$ og $y$ : $\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$

b) $g(x) = x^3 - 1$

$y = x^3 - 1$
$y + 1 = x^3$
$x = \sqrt[3]{y + 1}$

$g^{-1}(x) = \sqrt[3]{x + 1}$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

$\displaystyle y = \frac{x + 1}{x - 2}$
$y(x - 2) = x + 1$
$xy - 2y = x + 1$
$xy - x = 2y + 1$
$x(y - 1) = 2y + 1$
$\displaystyle x = \frac{2y + 1}{y - 1}$

$\displaystyle h^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ for $x \neq 1$

✏️Eksempel 3: Eksponential- og logaritmefunksjoner

Finn den omvendte funksjonen til:

a) $f(x) = e^{2x}$
b) $g(x) = \ln(x - 1) + 2$

Løsning:

a) $f(x) = e^{2x}$

$y = e^{2x}$
$\ln y = 2x$
$\displaystyle x = \frac{\ln y}{2}$

$\displaystyle f^{-1}(x) = \frac{\ln x}{2} = \frac{1}{2}\ln x$

Definisjonsmengde: $D_{f^{-1}} = \langle 0, \infty \rangle$

b) $g(x) = \ln(x - 1) + 2$

$y = \ln(x - 1) + 2$
$y - 2 = \ln(x - 1)$
$e^{y-2} = x - 1$
$x = e^{y-2} + 1$

$g^{-1}(x) = e^{x-2} + 1$

📝Oppgave 2

Finn den omvendte funksjonen.

f(x) = 5x - 2

g(x) = \sqrt{x} + 3

for

x \geq 0

h(x) = 2^x

\displaystyle k(x) = \frac{3x}{x + 1}

for

x \neq -1

m(x) = e^x + 1

Grafisk sammenheng

Grafene til $f$ og $f^{-1}$ har en spesiell geometrisk sammenheng.

📜Speiling om linjen $y = x$

Grafen til $f^{-1}$ er speilbildet av grafen til $f$ om linjen $y = x$ .

Begrunnelse: Hvis punktet $(a, b)$ ligger på grafen til $f$ (dvs. $f(a) = b$ ), så ligger punktet $(b, a)$ på grafen til $f^{-1}$ (fordi $f^{-1}(b) = a$ ).

Å bytte om $x$ - og $y$ -koordinatene tilsvarer speiling om linjen $y = x$ .

📊Funksjon og omvendt funksjon

Grafen til $f(x) = e^x$ og $f^{-1}(x) = \ln x$ er speilinger om $y = x$ .

📝Oppgave 3

Bruk sammenhengen mellom grafer.

Grafen til $f$ går gjennom punktet $(2, 5)$ . Hvilket punkt ligger på grafen til $f^{-1}$ ?

Grafen til $g$ går gjennom $(0, 1)$ og $(1, 3)$ . Finn to punkter på grafen til $g^{-1}$ .

Skisser grafene til $f(x) = 2x + 1$ og $f^{-1}(x)$ i samme koordinatsystem.

Definisjonsmengde og verdimengde for omvendt funksjon

📜Definisjonsmengde og verdimengde

For en funksjon

f

og dens omvendte

f^{-1}

gjelder:

$D_{f^{-1}} = V_f$
$V_{f^{-1}} = D_f$

Definisjonsmengden til $f^{-1}$ er lik verdimengden til $f$ , og omvendt.

✏️Eksempel 4: Definisjonsmengder

La $f(x) = \sqrt{x}$ for $x \geq 0$ . Finn $f^{-1}$ og bestem $D_{f^{-1}}$ og $V_{f^{-1}}$ .

Løsning:

For $f(x) = \sqrt{x}$ har vi:
- $D_f = [0, \infty \rangle$
- $V_f = [0, \infty \rangle$ (kvadratroten gir ikke-negative verdier)

Finner $f^{-1}$ :
$y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2$

$f^{-1}(x) = x^2$

Men vi må begrense til verdimengden til $f$ :
- $D_{f^{-1}} = V_f = [0, \infty \rangle$
- $V_{f^{-1}} = D_f = [0, \infty \rangle$

Altså: $f^{-1}(x) = x^2$ for $x \geq 0$ .

📝Oppgave 4

Finn omvendt funksjon med riktig definisjonsmengde.

f(x) = x^2

for

x \leq 0

g(x) = e^x - 2

h(x) = \ln(x + 3)

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver.

Vis at $\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ er sin egen omvendte funksjon.

Finn $f^{-1}$ for $\displaystyle f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ .

Hvis $f(2) = 5$ og $f(5) = 8$ , finn $(f^{-1} \circ f^{-1})(8)$ .

Oppsummering

Omvendt funksjon:
- $f^{-1}(y) = x \Leftrightarrow f(x) = y$
- Eksisterer bare for en-til-en (injektive) funksjoner

Finne omvendt funksjon:
1. Skriv $y = f(x)$
2. Løs for $x$
3. Bytt $x$ og $y$

Grafisk sammenheng:
- $f$ og $f^{-1}$ er speilbilder om $y = x$

Mengder:
- $D_{f^{-1}} = V_f$ og $V_{f^{-1}} = D_f$