2.1 Funksjonstyper og egenskaper | Matematikk R1

Ulike funksjonstyper, definisjonsmengde og verdimengde.

50 min

14 oppgaver

PolynomfunksjonerRasjonale funksjonerEksponentialfunksjonerDefinisjonsmengde

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Funksjonstyper

I R1 arbeider vi med ulike typer funksjoner. Det er viktig å kunne gjenkjenne dem og forstå deres egenskaper.

Viktige funksjonstyper

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

✏️Eksempel 1: Identifisere funksjonstyper

Klassifiser funksjonene:

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1$
b) $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 3}$
c) $h(x) = 2 \cdot 3^x$
d) $k(x) = \sqrt{x}$

Løsning:

a) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1$ er en polynomfunksjon av grad 4.

b) $\displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 3}$ er en rasjonale funksjon (brøk av polynomer).

c) $h(x) = 2 \cdot 3^x$ er en eksponentialfunksjon med grunntall 3.

d) $k(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ er en potensefunksjon med eksponent $\displaystyle \frac{1}{2}$ .

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden $D_f$ er mengden av alle $x$ -verdier der funksjonen er definert.

Verdimengden $V_f$ er mengden av alle $y$ -verdier funksjonen kan anta.

📜Regler for definisjonsmengde

Begrensninger på definisjonsmengden:

1. Divisjon med null: $\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}$ er udefinert når $Q(x) = 0$

2. Kvadratrot av negativt tall: $\sqrt{f(x)}$ krever $f(x) \geq 0$

3. Logaritme av ikke-positivt tall: $\ln f(x)$ krever $f(x) > 0$

✏️Eksempel 2: Finne definisjonsmengde

Finn definisjonsmengden til:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x - 2}$
b) $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$
c) $h(x) = \ln(x - 1)$
d) $\displaystyle k(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$

Løsning:

a) $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x - 2}$

Nevneren kan ikke være null: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ eller $D_f = \langle -\infty, 2 \rangle \cup \langle 2, \infty \rangle$

b) $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$

Må ha: $4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$

$D_g = [-2, 2]$

c) $h(x) = \ln(x - 1)$

Må ha: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

$D_h = \langle 1, \infty \rangle$

d) $\displaystyle k(x) = \frac{\sqrt{x}}{x - 4}$

To krav: $x \geq 0$ og $x \neq 4$

$D_k = [0, 4\rangle \cup \langle 4, \infty \rangle$

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengden til funksjonene.

\displaystyle f(x) = \frac{2x}{x^2 - 9}

g(x) = \sqrt{x - 3}

h(x) = \ln(2x + 4)

\displaystyle k(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}

m(x) = \sqrt{x} + \ln x

✏️Eksempel 3: Finne verdimengde

Finn verdimengden til:

a) $f(x) = x^2$
b) $g(x) = e^x$
c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{x}$ for $x > 0$

Løsning:

a) $f(x) = x^2$

Kvadratet er alltid $\geq 0$ , og kan bli vilkårlig stort.

$V_f = [0, \infty \rangle$

b) $g(x) = e^x$

Eksponentialfunksjonen er alltid positiv og kan bli vilkårlig stor eller liten (men aldri 0).

$V_g = \langle 0, \infty \rangle$

c) $\displaystyle h(x) = \frac{1}{x}$ for $x > 0$

Når $x \to 0^+$ , går $h(x) \to \infty$ .
Når $x \to \infty$ , går $h(x) \to 0^+$ .

$V_h = \langle 0, \infty \rangle$

📝Oppgave 2

Finn verdimengden til funksjonene.

f(x) = x^2 + 1

g(x) = -x^2 + 4

h(x) = 2^x - 1

k(x) = |x|

Symmetri: Like og odde funksjoner

En funksjon kan ha spesiell symmetri som gjør det enklere å forstå og tegne grafen.

Like og odde funksjoner

f(-x) = f(x)

✏️Eksempel 4: Avgjøre symmetri

Avgjør om funksjonene er like, odde eller ingen av delene:

a) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$
b) $g(x) = x^3 - x$
c) $h(x) = x^2 + x$

Løsning:

a) $f(x) = x^4 - 3x^2 + 1$

$f(-x) = (-x)^4 - 3(-x)^2 + 1 = x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)$

Like funksjon (symmetrisk om $y$ -aksen)

b) $g(x) = x^3 - x$

$g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$

Odde funksjon (punktsymmetrisk om origo)

c) $h(x) = x^2 + x$

$h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$

$h(-x) \neq h(x)$ og $h(-x) \neq -h(x)$

Verken like eller odde

📊Like og odde funksjoner

Sammenlign en like funksjon ( $x^2$ ) og en odde funksjon ( $x^3$ ).

📝Oppgave 3

Avgjør om funksjonene er like, odde eller ingen av delene.

f(x) = x^6 + x^2

g(x) = x^5 - 2x^3

h(x) = e^x

\displaystyle k(x) = \frac{x}{x^2 + 1}

m(x) = x^2 \cdot e^x

Nullpunkter og fortegn

Nullpunkter er $x$ -verdiene der $f(x) = 0$ . Disse punktene deler $x$ -aksen i intervaller der funksjonen har konstant fortegn.

✏️Eksempel 5: Nullpunkter og fortegnsanalyse

Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - 4x$ og bestem fortegnet til $f(x)$ på hvert intervall.

Løsning:

Nullpunkter:
$f(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x-2)(x+2) = 0$
$x = 0, \quad x = 2, \quad x = -2$

Fortegnsanalyse:
Vi tester ett punkt i hvert intervall:

Intervall	Testpunkt	Fortegn av $f(x)$
$x < -2$	$x = -3$	$(-)(-)(-) = -$
$-2 < x < 0$	$x = -1$	$(-)(-)(-) = +$
$0 < x < 2$	$x = 1$	$(+)(-)(-) = -$
$x > 2$	$x = 3$	$(+)(+)(+) = +$

Fortegnslinje:

\begin{array}{c|ccccccc} x & & -2 & & 0 & & 2 & \\ \hline f(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{array}

📝Oppgave 4

Finn nullpunktene og lag fortegnsskjema.

f(x) = x^2 - 4x + 3

g(x) = (x-1)(x+2)(x-3)

\displaystyle h(x) = \frac{x-2}{x+1}

📝Oppgave 5

Sammensatte oppgaver om funksjonsegenskaper.

Finn $D_f$ og $V_f$ for $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ .

Vis at $\displaystyle f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$ er en odde funksjon.

For hvilke verdier av $k$ er $f(x) = x^4 + kx^2 + 4$ en like funksjon?

Oppsummering

Funksjonstyper:
- Polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner, potensefunksjoner

Definisjonsmengde:
- Unngå divisjon med null, kvadratrot av negativt, logaritme av ikke-positivt

Symmetri:
- Like funksjon: $f(-x) = f(x)$ (symmetri om $y$ -aksen)
- Odde funksjon: $f(-x) = -f(x)$ (punktsymmetri om origo)

Nullpunkter og fortegn:
- Nullpunkter deler tallinja i intervaller med konstant fortegn

Intervall

Testpunkt

Fortegn av

f(x)

x < -2

x = -3

(-)(-)(-) = -

-2 < x < 0

x = -1

(-)(-)(-) = +

0 < x < 2

x = 1

(+)(-)(-) = -

x > 2

x = 3

(+)(+)(+) = +