1.3 Eksponential- og logaritmeligninger | Matematikk R1

Løse eksponentialligninger og logaritmeligninger.

55 min

16 oppgaver

EksponentialligningerLogaritmeligningerLøsningsstrategier

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Eksponentialligninger

En eksponentialligning er en ligning der den ukjente står i eksponenten. For å løse slike ligninger bruker vi logaritmer.

Eksponentialligning

a^{f(x)} = b

✏️Eksempel 1: Enkle eksponentialligninger

Løs ligningene:

a) $2^x = 16$
b) $3^x = 50$
c) $5^{2x} = 125$

Løsning:

a) $2^x = 16$

Vi ser at $16 = 2^4$ , så $2^x = 2^4$ , altså $x = 4$ .

Alternativt med logaritme: $\displaystyle x = \log_2 16 = \frac{\ln 16}{\ln 2} = 4$

b) $3^x = 50$

Her må vi bruke logaritme:
$x = \log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} \approx \frac{3{,}912}{1{,}099} \approx 3{,}56$

c) $5^{2x} = 125$

Vi har $125 = 5^3$ , så $5^{2x} = 5^3$
$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

📝Oppgave 1

Løs eksponentialligningene.

2^x = 32

3^x = 81

5^x = 20

10^x = 500

4^{x-1} = 16

e^x = 10

✏️Eksempel 2: Ligninger med ukjent på begge sider

Løs ligningen $2^{x+1} = 5^{x-2}$ .

Løsning:

Vi tar den naturlige logaritmen på begge sider:
$\ln(2^{x+1}) = \ln(5^{x-2})$
$(x+1)\ln 2 = (x-2)\ln 5$

Vi utvider:
$x \ln 2 + \ln 2 = x \ln 5 - 2\ln 5$

Samler $x$ -leddene på én side:
$x \ln 2 - x \ln 5 = -2\ln 5 - \ln 2$
$x(\ln 2 - \ln 5) = -2\ln 5 - \ln 2$
$x = \frac{-2\ln 5 - \ln 2}{\ln 2 - \ln 5} = \frac{2\ln 5 + \ln 2}{\ln 5 - \ln 2}$

Med kalkulator:
$x = \frac{2 \cdot 1{,}609 + 0{,}693}{1{,}609 - 0{,}693} = \frac{3{,}911}{0{,}916} \approx 4{,}27$

📝Oppgave 2

Løs eksponentialligningene.

2 \cdot 3^x = 54

5 \cdot 2^{x+1} = 80

3^{2x} = 7^x

2^{x+3} = 3^{x-1}

Logaritmeligninger

En logaritmeligning er en ligning der den ukjente står inne i en logaritme. Vi løser slike ligninger ved å bruke definisjonen av logaritme.

Logaritmeligning

\log_a(f(x))

✏️Eksempel 3: Logaritmeligninger

Løs ligningene:

a) $\ln x = 3$
b) $\lg(2x + 1) = 2$
c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Løsning:

a) $\ln x = 3$

Ved definisjonen: $x = e^3 \approx 20{,}09$

b) $\lg(2x + 1) = 2$

Ved definisjonen: $2x + 1 = 10^2 = 100$
$2x = 99 \quad \Rightarrow \quad x = 49{,}5$

Sjekk: $2 \cdot 49{,}5 + 1 = 100 > 0$ ✓

c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Bruker produktregelen:
$\ln[(x-1)(x+1)] = \ln 8$
$(x-1)(x+1) = 8$
$x^2 - 1 = 8$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$

Sjekk: For $x = 3$ : $\ln 2 + \ln 4 = \ln 8$ ✓
For $x = -3$ : $\ln(-4)$ er udefinert ✗

Svar: $x = 3$

📝Oppgave 3

Løs logaritmeligningene. Husk å sjekke løsningen!

\ln x = 5

\lg x = -1

\ln(3x - 2) = 0

\lg(x^2) = 4

\ln x + \ln(x + 2) = \ln 3

✏️Eksempel 4: Ligninger med logaritmer på begge sider

Løs ligningen $\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + 1$ .

Løsning:

Vi skriver om høyre side:
$\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + \log_2 2$
$\log_2(x + 3) = \log_2[2(2x - 1)]$
$\log_2(x + 3) = \log_2(4x - 2)$

Siden logaritmene er like:
$x + 3 = 4x - 2$
$5 = 3x$
$x = \frac{5}{3}$

Sjekk:
- $\displaystyle x + 3 = \frac{5}{3} + 3 = \frac{14}{3} > 0$ ✓
- $\displaystyle 2x - 1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3} > 0$ ✓

Svar: $\displaystyle x = \frac{5}{3}$

Praktiske anvendelser

Eksponentialligninger dukker ofte opp i praktiske sammenhenger, spesielt i modeller for vekst og nedbryting.

Halveringstid og doblingstid

N(t) = N_0 \cdot a^t

✏️Eksempel 5: Radioaktiv nedbryting

Karbon-14 har en halveringstid på 5730 år. Et arkeologisk funn inneholder 35% av den opprinnelige mengden karbon-14. Hvor gammelt er funnet?

Løsning:

Med halveringstid $T_{1/2} = 5730$ år har vi vekstmodellen:
$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Vi skal finne $t$ når $N(t) = 0{,}35 N_0$ :
$0{,}35 N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$
$0{,}35 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Tar logaritmen på begge sider:
$\ln 0{,}35 = \frac{t}{5730} \cdot \ln\frac{1}{2}$
$t = \frac{5730 \cdot \ln 0{,}35}{\ln 0{,}5}$
$t = \frac{5730 \cdot (-1{,}050)}{-0{,}693} \approx 8680 \text{ år}$

Svar: Funnet er omtrent 8680 år gammelt.

✏️Eksempel 6: Bakterievekst

En bakteriekultur dobler seg hver 3. time.

a) Finn en modell for antall bakterier $N(t)$ etter $t$ timer, gitt at det er 1000 bakterier ved $t = 0$ .
b) Hvor lang tid tar det før det er 50 000 bakterier?

Løsning:

a) Doblingstid $T_2 = 3$ timer gir:
$N(t) = N_0 \cdot 2^{t/3} = 1000 \cdot 2^{t/3}$

b) Vi løser $1000 \cdot 2^{t/3} = 50000$ :
$2^{t/3} = 50$
$\frac{t}{3} = \log_2 50 = \frac{\ln 50}{\ln 2} \approx 5{,}64$
$t \approx 16{,}9 \text{ timer}$

Svar: Det tar omtrent 17 timer.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene.

En bakteriekultur vokser med 15% per time. Finn doblingstiden.

Et radioaktivt stoff har halveringstid 10 dager. Hvor stor andel er igjen etter 25 dager?

En investering vokser med 5% årlig rente. Hvor lang tid tar det å tredoble investeringen?

📝Oppgave 5

Løs de sammensatte oppgavene.

Løs $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$

Løs $2^x + 2^{-x} = 3$

Løs $\ln(\ln x) = 0$

📊Løsning av eksponentialligning grafisk

Finn skjæringspunktet mellom $y = 2^x$ og $y = 5$ .

Oppsummering

Eksponentialligninger:
- $a^{f(x)} = b$ løses ved $\displaystyle f(x) = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
- Ta logaritmen på begge sider når ukjent er i eksponenten

Logaritmeligninger:
- $\log_a f(x) = c$ løses ved $f(x) = a^c$
- Husk å sjekke at løsningen gir positivt argument

Praktiske anvendelser:
- Doblingstid: $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$
- Halveringstid: $\displaystyle T_{1/2} = -\frac{\ln 2}{\ln a}$

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Løse eksponentialligninger og logaritmeligninger.

55 min

16 oppgaver

EksponentialligningerLogaritmeligningerLøsningsstrategier

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Eksponentialligninger

En eksponentialligning er en ligning der den ukjente står i eksponenten. For å løse slike ligninger bruker vi logaritmer.

Eksponentialligning

a^{f(x)} = b

✏️Eksempel 1: Enkle eksponentialligninger

Løs ligningene:

a) $2^x = 16$
b) $3^x = 50$
c) $5^{2x} = 125$

Løsning:

a) $2^x = 16$

Vi ser at $16 = 2^4$ , så $2^x = 2^4$ , altså $x = 4$ .

Alternativt med logaritme: $\displaystyle x = \log_2 16 = \frac{\ln 16}{\ln 2} = 4$

b) $3^x = 50$

Her må vi bruke logaritme:
$x = \log_3 50 = \frac{\ln 50}{\ln 3} \approx \frac{3{,}912}{1{,}099} \approx 3{,}56$

c) $5^{2x} = 125$

Vi har $125 = 5^3$ , så $5^{2x} = 5^3$
$2x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2} = 1{,}5$

📝Oppgave 1

Løs eksponentialligningene.

2^x = 32

3^x = 81

5^x = 20

10^x = 500

4^{x-1} = 16

e^x = 10

✏️Eksempel 2: Ligninger med ukjent på begge sider

Løs ligningen $2^{x+1} = 5^{x-2}$ .

Løsning:

Vi tar den naturlige logaritmen på begge sider:
$\ln(2^{x+1}) = \ln(5^{x-2})$
$(x+1)\ln 2 = (x-2)\ln 5$

Vi utvider:
$x \ln 2 + \ln 2 = x \ln 5 - 2\ln 5$

Samler $x$ -leddene på én side:
$x \ln 2 - x \ln 5 = -2\ln 5 - \ln 2$
$x(\ln 2 - \ln 5) = -2\ln 5 - \ln 2$
$x = \frac{-2\ln 5 - \ln 2}{\ln 2 - \ln 5} = \frac{2\ln 5 + \ln 2}{\ln 5 - \ln 2}$

Med kalkulator:
$x = \frac{2 \cdot 1{,}609 + 0{,}693}{1{,}609 - 0{,}693} = \frac{3{,}911}{0{,}916} \approx 4{,}27$

📝Oppgave 2

Løs eksponentialligningene.

2 \cdot 3^x = 54

5 \cdot 2^{x+1} = 80

3^{2x} = 7^x

2^{x+3} = 3^{x-1}

Logaritmeligninger

En logaritmeligning er en ligning der den ukjente står inne i en logaritme. Vi løser slike ligninger ved å bruke definisjonen av logaritme.

Logaritmeligning

\log_a(f(x))

✏️Eksempel 3: Logaritmeligninger

Løs ligningene:

a) $\ln x = 3$
b) $\lg(2x + 1) = 2$
c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Løsning:

a) $\ln x = 3$

Ved definisjonen: $x = e^3 \approx 20{,}09$

b) $\lg(2x + 1) = 2$

Ved definisjonen: $2x + 1 = 10^2 = 100$
$2x = 99 \quad \Rightarrow \quad x = 49{,}5$

Sjekk: $2 \cdot 49{,}5 + 1 = 100 > 0$ ✓

c) $\ln(x - 1) + \ln(x + 1) = \ln 8$

Bruker produktregelen:
$\ln[(x-1)(x+1)] = \ln 8$
$(x-1)(x+1) = 8$
$x^2 - 1 = 8$
$x^2 = 9$
$x = \pm 3$

Sjekk: For $x = 3$ : $\ln 2 + \ln 4 = \ln 8$ ✓
For $x = -3$ : $\ln(-4)$ er udefinert ✗

Svar: $x = 3$

📝Oppgave 3

Løs logaritmeligningene. Husk å sjekke løsningen!

\ln x = 5

\lg x = -1

\ln(3x - 2) = 0

\lg(x^2) = 4

\ln x + \ln(x + 2) = \ln 3

✏️Eksempel 4: Ligninger med logaritmer på begge sider

Løs ligningen $\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + 1$ .

Løsning:

Vi skriver om høyre side:
$\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1) + \log_2 2$
$\log_2(x + 3) = \log_2[2(2x - 1)]$
$\log_2(x + 3) = \log_2(4x - 2)$

Siden logaritmene er like:
$x + 3 = 4x - 2$
$5 = 3x$
$x = \frac{5}{3}$

Sjekk:
- $\displaystyle x + 3 = \frac{5}{3} + 3 = \frac{14}{3} > 0$ ✓
- $\displaystyle 2x - 1 = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3} > 0$ ✓

Svar: $\displaystyle x = \frac{5}{3}$

Praktiske anvendelser

Eksponentialligninger dukker ofte opp i praktiske sammenhenger, spesielt i modeller for vekst og nedbryting.

Halveringstid og doblingstid

N(t) = N_0 \cdot a^t

✏️Eksempel 5: Radioaktiv nedbryting

Karbon-14 har en halveringstid på 5730 år. Et arkeologisk funn inneholder 35% av den opprinnelige mengden karbon-14. Hvor gammelt er funnet?

Løsning:

Med halveringstid $T_{1/2} = 5730$ år har vi vekstmodellen:
$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Vi skal finne $t$ når $N(t) = 0{,}35 N_0$ :
$0{,}35 N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$
$0{,}35 = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

Tar logaritmen på begge sider:
$\ln 0{,}35 = \frac{t}{5730} \cdot \ln\frac{1}{2}$
$t = \frac{5730 \cdot \ln 0{,}35}{\ln 0{,}5}$
$t = \frac{5730 \cdot (-1{,}050)}{-0{,}693} \approx 8680 \text{ år}$

Svar: Funnet er omtrent 8680 år gammelt.

✏️Eksempel 6: Bakterievekst

En bakteriekultur dobler seg hver 3. time.

a) Finn en modell for antall bakterier $N(t)$ etter $t$ timer, gitt at det er 1000 bakterier ved $t = 0$ .
b) Hvor lang tid tar det før det er 50 000 bakterier?

Løsning:

a) Doblingstid $T_2 = 3$ timer gir:
$N(t) = N_0 \cdot 2^{t/3} = 1000 \cdot 2^{t/3}$

b) Vi løser $1000 \cdot 2^{t/3} = 50000$ :
$2^{t/3} = 50$
$\frac{t}{3} = \log_2 50 = \frac{\ln 50}{\ln 2} \approx 5{,}64$
$t \approx 16{,}9 \text{ timer}$

Svar: Det tar omtrent 17 timer.

📝Oppgave 4

Løs oppgavene.

En bakteriekultur vokser med 15% per time. Finn doblingstiden.

Et radioaktivt stoff har halveringstid 10 dager. Hvor stor andel er igjen etter 25 dager?

En investering vokser med 5% årlig rente. Hvor lang tid tar det å tredoble investeringen?

📝Oppgave 5

Løs de sammensatte oppgavene.

Løs $e^{2x} - 5e^x + 6 = 0$

Løs $2^x + 2^{-x} = 3$

Løs $\ln(\ln x) = 0$

📊Løsning av eksponentialligning grafisk

Finn skjæringspunktet mellom $y = 2^x$ og $y = 5$ .

Oppsummering

Eksponentialligninger:
- $a^{f(x)} = b$ løses ved $\displaystyle f(x) = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$
- Ta logaritmen på begge sider når ukjent er i eksponenten

Logaritmeligninger:
- $\log_a f(x) = c$ løses ved $f(x) = a^c$
- Husk å sjekke at løsningen gir positivt argument

Praktiske anvendelser:
- Doblingstid: $\displaystyle T_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$
- Halveringstid: $\displaystyle T_{1/2} = -\frac{\ln 2}{\ln a}$

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver