1.2 Potenser og logaritmer | Matematikk R1

Regneregler for potenser og logaritmer.

55 min

16 oppgaver

PotensreglerLogaritmereglerNaturlig logaritmeBriggske logaritmer

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Potenser

Potenser er en forkortet skrivemåte for gjentatt multiplikasjon. I R1 utvider vi potensreglene til å gjelde for alle reelle eksponenter.

Potens med rasjonale og reelle eksponenter

a > 0

📜Potensregler

For

a, b > 0

og alle reelle tall

r

s

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$
$(ab)^r = a^r \cdot b^r$
$\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$

✏️Eksempel 1: Potensregning

Forenkle uttrykkene:

a) $2^3 \cdot 2^5$
b) $\displaystyle \frac{3^7}{3^4}$
c) $(2^3)^4$
d) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$
e) $\displaystyle 27^{-\frac{1}{3}}$

Løsning:

a) $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$

b) $\displaystyle \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27$

c) $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096$

d) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
Alternativt: $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$

e) $\displaystyle 27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Forenkle uttrykkene.

5^2 \cdot 5^3

\displaystyle \frac{2^{10}}{2^6}

(3^2)^3

\displaystyle 16^{\frac{3}{4}}

\displaystyle 81^{-\frac{1}{2}}

\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}

Logaritmer

Logaritmen er den omvendte operasjonen til eksponentiering. Hvis $a^x = b$ , så er $x = \log_a b$ (logaritmen av $b$ med grunntall $a$ ).

Logaritme

a > 0

Viktige verdier å huske:

- $\ln 1 = 0$ og $\lg 1 = 0$ (fordi $a^0 = 1$ )
- $\ln e = 1$ og $\lg 10 = 1$ (fordi $a^1 = a$ )
- $\ln e^x = x$ og $e^{\ln x} = x$ (invers-sammenheng)

📜Logaritmeregler

For

a > 0

a \neq 1

x, y > 0

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
$\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$

Skifte av grunntall:
$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\lg x}{\lg a}$

✏️Eksempel 2: Logaritmeregning

Forenkle uttrykkene:

a) $\ln(e^5)$
b) $\lg 100 + \lg 10$
c) $\ln 8 - \ln 2$
d) $2\ln 3 + \ln 4$
e) $\log_2 32$

Løsning:

a) $\ln(e^5) = 5$ (logaritme av eksponentialfunksjon med samme grunntall)

b) $\lg 100 + \lg 10 = \lg(100 \cdot 10) = \lg 1000 = 3$
Alternativt: $\lg 100 + \lg 10 = 2 + 1 = 3$

c) $\displaystyle \ln 8 - \ln 2 = \ln\frac{8}{2} = \ln 4$

d) $2\ln 3 + \ln 4 = \ln 3^2 + \ln 4 = \ln 9 + \ln 4 = \ln 36$

e) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$

📊Logaritmefunksjoner

Sammenligning av $\ln x$ , $\lg x$ og $\log_2 x$ .

📝Oppgave 2

Regn ut uten kalkulator.

\lg 1000

\ln e^4

\log_3 81

\displaystyle \log_5 \frac{1}{25}

\log_4 2

e^{\ln 7}

📝Oppgave 3

Skriv som én logaritme.

\ln 5 + \ln 3

\lg 50 - \lg 5

3\ln 2

2\ln 5 - \ln 25

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 16 + \ln 3

\ln a + 2\ln b - 3\ln c

Skifte av grunntall

Ofte trenger vi å skrive om en logaritme fra ett grunntall til et annet. Dette er spesielt nyttig når vi skal bruke kalkulator (som vanligvis bare har $\ln$ og $\lg$ ).

✏️Eksempel 3: Skifte av grunntall

a) Skriv om $\log_5 7$ med naturlig logaritme.
b) Regn ut $\log_3 20$ med kalkulator.

Løsning:

a) $\displaystyle \log_5 7 = \frac{\ln 7}{\ln 5}$

b) $\displaystyle \log_3 20 = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2{,}996}{1{,}099} \approx 2{,}73$

Kontroll: $3^{2{,}73} \approx 20$ ✓

📝Oppgave 4

Skriv om med naturlig logaritme og regn ut med kalkulator.

\log_2 10

\log_7 50

\log_{0{,}5} 8

\log_4 \sqrt{2}

Sammenheng mellom potenser og logaritmer

Potens- og logaritmefunksjoner er inverse av hverandre. Dette betyr at de "opphever" hverandre.

📜Invers-sammenhengen

For

a > 0

a \neq 1

$a^{\log_a x} = x \quad \text{for } x > 0$
$\log_a(a^x) = x \quad \text{for alle } x$

Spesielt:
- $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$
- $10^{\lg x} = x$ og $\lg(10^x) = x$

📝Oppgave 5

Forenkle uttrykkene.

e^{2\ln 3}

\ln(e^{x+1})

10^{2\lg 5}

e^{\ln x + \ln y}

\displaystyle \ln\left(\frac{e^a}{e^b}\right)

Oppsummering

Potensregler: For $a, b > 0$ :
- $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
- $\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
- $(a^r)^s = a^{rs}$

Logaritmeregler: For $x, y > 0$ :
- $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$

Skifte av grunntall:
$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Invers-sammenheng:
$a^{\log_a x} = x \quad \text{og} \quad \log_a(a^x) = x$

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Regneregler for potenser og logaritmer.

55 min

16 oppgaver

PotensreglerLogaritmereglerNaturlig logaritmeBriggske logaritmer

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Potenser

Potenser er en forkortet skrivemåte for gjentatt multiplikasjon. I R1 utvider vi potensreglene til å gjelde for alle reelle eksponenter.

Potens med rasjonale og reelle eksponenter

a > 0

📜Potensregler

For

a, b > 0

og alle reelle tall

r

s

$a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
$(a^r)^s = a^{r \cdot s}$
$(ab)^r = a^r \cdot b^r$
$\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}$

✏️Eksempel 1: Potensregning

Forenkle uttrykkene:

a) $2^3 \cdot 2^5$
b) $\displaystyle \frac{3^7}{3^4}$
c) $(2^3)^4$
d) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$
e) $\displaystyle 27^{-\frac{1}{3}}$

Løsning:

a) $2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$

b) $\displaystyle \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27$

c) $(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096$

d) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$
Alternativt: $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$

e) $\displaystyle 27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{27^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Forenkle uttrykkene.

5^2 \cdot 5^3

\displaystyle \frac{2^{10}}{2^6}

(3^2)^3

\displaystyle 16^{\frac{3}{4}}

\displaystyle 81^{-\frac{1}{2}}

\displaystyle \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}

Logaritmer

Logaritmen er den omvendte operasjonen til eksponentiering. Hvis $a^x = b$ , så er $x = \log_a b$ (logaritmen av $b$ med grunntall $a$ ).

Logaritme

a > 0

Viktige verdier å huske:

- $\ln 1 = 0$ og $\lg 1 = 0$ (fordi $a^0 = 1$ )
- $\ln e = 1$ og $\lg 10 = 1$ (fordi $a^1 = a$ )
- $\ln e^x = x$ og $e^{\ln x} = x$ (invers-sammenheng)

📜Logaritmeregler

For

a > 0

a \neq 1

x, y > 0

$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
$\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
$\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$

Skifte av grunntall:
$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\lg x}{\lg a}$

✏️Eksempel 2: Logaritmeregning

Forenkle uttrykkene:

a) $\ln(e^5)$
b) $\lg 100 + \lg 10$
c) $\ln 8 - \ln 2$
d) $2\ln 3 + \ln 4$
e) $\log_2 32$

Løsning:

a) $\ln(e^5) = 5$ (logaritme av eksponentialfunksjon med samme grunntall)

b) $\lg 100 + \lg 10 = \lg(100 \cdot 10) = \lg 1000 = 3$
Alternativt: $\lg 100 + \lg 10 = 2 + 1 = 3$

c) $\displaystyle \ln 8 - \ln 2 = \ln\frac{8}{2} = \ln 4$

d) $2\ln 3 + \ln 4 = \ln 3^2 + \ln 4 = \ln 9 + \ln 4 = \ln 36$

e) $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$

📊Logaritmefunksjoner

Sammenligning av $\ln x$ , $\lg x$ og $\log_2 x$ .

📝Oppgave 2

Regn ut uten kalkulator.

\lg 1000

\ln e^4

\log_3 81

\displaystyle \log_5 \frac{1}{25}

\log_4 2

e^{\ln 7}

📝Oppgave 3

Skriv som én logaritme.

\ln 5 + \ln 3

\lg 50 - \lg 5

3\ln 2

2\ln 5 - \ln 25

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 16 + \ln 3

\ln a + 2\ln b - 3\ln c

Skifte av grunntall

Ofte trenger vi å skrive om en logaritme fra ett grunntall til et annet. Dette er spesielt nyttig når vi skal bruke kalkulator (som vanligvis bare har $\ln$ og $\lg$ ).

✏️Eksempel 3: Skifte av grunntall

a) Skriv om $\log_5 7$ med naturlig logaritme.
b) Regn ut $\log_3 20$ med kalkulator.

Løsning:

a) $\displaystyle \log_5 7 = \frac{\ln 7}{\ln 5}$

b) $\displaystyle \log_3 20 = \frac{\ln 20}{\ln 3} \approx \frac{2{,}996}{1{,}099} \approx 2{,}73$

Kontroll: $3^{2{,}73} \approx 20$ ✓

📝Oppgave 4

Skriv om med naturlig logaritme og regn ut med kalkulator.

\log_2 10

\log_7 50

\log_{0{,}5} 8

\log_4 \sqrt{2}

Sammenheng mellom potenser og logaritmer

Potens- og logaritmefunksjoner er inverse av hverandre. Dette betyr at de "opphever" hverandre.

📜Invers-sammenhengen

For

a > 0

a \neq 1

$a^{\log_a x} = x \quad \text{for } x > 0$
$\log_a(a^x) = x \quad \text{for alle } x$

Spesielt:
- $e^{\ln x} = x$ og $\ln(e^x) = x$
- $10^{\lg x} = x$ og $\lg(10^x) = x$

📝Oppgave 5

Forenkle uttrykkene.

e^{2\ln 3}

\ln(e^{x+1})

10^{2\lg 5}

e^{\ln x + \ln y}

\displaystyle \ln\left(\frac{e^a}{e^b}\right)

Oppsummering

Potensregler: For $a, b > 0$ :
- $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
- $\displaystyle \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
- $(a^r)^s = a^{rs}$

Logaritmeregler: For $x, y > 0$ :
- $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a(x^r) = r \cdot \log_a x$

Skifte av grunntall:
$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Invers-sammenheng:
$a^{\log_a x} = x \quad \text{og} \quad \log_a(a^x) = x$

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver