1.1 Polynomer og polynomdivisjon | Matematikk R1

Polynomer, polynomdivisjon og faktorisering.

60 min

18 oppgaver

PolynomerPolynomdivisjonFaktorteoremetNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Hva er et polynom?

Et polynom er et uttrykk som består av ledd med variabler opphøyd i ikke-negative heltall, multiplisert med konstanter (koeffisienter). Polynomer er grunnleggende i matematikk og dukker opp i mange sammenhenger.

Polynom

x

✏️Eksempel 1: Polynomer

Identifiser graden, ledende koeffisient og konstantledd for følgende polynomer:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
b) $Q(x) = -2x^3 + x$
c) $R(x) = 7$

Løsning:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
- Grad: $4$ (høyeste potens av $x$ )
- Ledende koeffisient: $3$
- Konstantledd: $-1$

b) $Q(x) = -2x^3 + x$
- Grad: $3$
- Ledende koeffisient: $-2$
- Konstantledd: $0$ (ingen konstantledd)

c) $R(x) = 7$
- Grad: $0$ (konstant polynom)
- Ledende koeffisient: $7$
- Konstantledd: $7$

📝Oppgave 1

Finn graden, ledende koeffisient og konstantledd for hvert polynom.

P(x) = 2x^5 - 3x^3 + x - 4

Q(x) = -x^2 + 6x + 9

R(x) = 4x^3 - x^2

S(x) = -5

Regning med polynomer

Vi kan addere, subtrahere og multiplisere polynomer ved å bruke kjente regneregler.

Addisjon og subtraksjon: Kombiner like ledd (ledd med samme potens av $x$ ).

Multiplikasjon: Bruk distributiv lov – gang hvert ledd i det ene polynomet med hvert ledd i det andre.

✏️Eksempel 2: Polynomregning

La $P(x) = 2x^2 + 3x - 1$ og $Q(x) = x^2 - 2x + 4$ .

Regn ut:
a) $P(x) + Q(x)$
b) $P(x) - Q(x)$
c) $P(x) \cdot Q(x)$

Løsning:

a) $P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2 + x^2 + 3x - 2x - 1 + 4$
$= 3x^2 + x + 3$

b) $P(x) - Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2 - x^2 + 3x + 2x - 1 - 4$
$= x^2 + 5x - 5$

c) $P(x) \cdot Q(x) = (2x^2 + 3x - 1)(x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2(x^2 - 2x + 4) + 3x(x^2 - 2x + 4) - 1(x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^4 - 4x^3 + 8x^2 + 3x^3 - 6x^2 + 12x - x^2 + 2x - 4$
$= 2x^4 - x^3 + x^2 + 14x - 4$

📝Oppgave 2

La $P(x) = x^2 + 2x - 3$ og $Q(x) = 2x^2 - x + 1$ . Regn ut:

P(x) + Q(x)

P(x) - Q(x)

2P(x) + 3Q(x)

📝Oppgave 3

Multipliser polynomene og skriv svaret på standardform.

(x + 2)(x^2 - 3x + 1)

(x - 1)(x + 1)(x + 2)

(2x - 3)^2

(x + 1)^3

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon fungerer på samme måte som vanlig divisjon av tall. Vi deler et polynom (dividenden) på et annet polynom (divisoren) og får en kvotient og eventuelt en rest.

$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$

eller ekvivalent:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der graden til $R(x)$ er lavere enn graden til $D(x)$ .

📜Divisjonsalgoritmen for polynomer

For ethvert polynom

P(x)

og divisor

D(x)

med

D(x) \neq 0

, finnes det unike polynomer

Q(x)

(kvotienten) og

R(x)

(resten) slik at:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der $\text{grad}(R) < \text{grad}(D)$ eller $R(x) = 0$ .

✏️Eksempel 3: Polynomdivisjon

Utfør polynomdivisjonen:

$\frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x - 1}$

Løsning:

Vi setter opp polynomdivisjonen:

$\begin{array}{r|rrrr} & x^3 & -2x^2 & +5x & -3 \\ x-1 & & & & \\ \hline \end{array}$

Steg 1: $x^3 \div x = x^2$ . Gang $x^2$ med $(x-1)$ : $x^3 - x^2$

Steg 2: Trekk fra: $(x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = -x^2$

Steg 3: Ta ned neste ledd: $-x^2 + 5x$

Steg 4: $-x^2 \div x = -x$ . Gang $-x$ med $(x-1)$ : $-x^2 + x$

Steg 5: Trekk fra: $(-x^2 + 5x) - (-x^2 + x) = 4x$

Steg 6: Ta ned neste ledd: $4x - 3$

Steg 7: $4x \div x = 4$ . Gang $4$ med $(x-1)$ : $4x - 4$

Steg 8: Trekk fra: $(4x - 3) - (4x - 4) = 1$

Svar:
$\frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x - 1} = x^2 - x + 4 + \frac{1}{x-1}$

Kvotient: $Q(x) = x^2 - x + 4$ , Rest: $R = 1$

Tips for polynomdivisjon:
- Skriv alltid polynomene i synkende potensrekkefølge
- Husk å sette inn

0

som koeffisient for manglende potenser
- Kontroller svaret ved å gange kvotienten med divisoren og legge til resten

📝Oppgave 4

Utfør polynomdivisjonen. Oppgi kvotient og rest.

\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}

\displaystyle \frac{x^3 - 8}{x - 2}

\displaystyle \frac{2x^3 + 3x^2 - 5x + 1}{x + 2}

\displaystyle \frac{x^4 - 1}{x - 1}

Faktorteoremet

Faktorteoremet gir oss en sammenheng mellom nullpunkter og faktorer i et polynom. Dette er et av de viktigste verktøyene for å faktorisere polynomer.

📜Faktorteoremet

Et polynom $P(x)$ har $(x - a)$ som faktor hvis og bare hvis $P(a) = 0$ .

Med andre ord: $x = a$ er et nullpunkt for $P(x)$ $\Leftrightarrow$ $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ .

Praktisk bruk av faktorteoremet:

1. Gjett et nullpunkt $x = a$ (prøv ofte $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots$ )
2. Sjekk at $P(a) = 0$
3. Divider $P(x)$ på $(x - a)$ for å finne den andre faktoren
4. Gjenta prosessen med den reduserte faktoren

✏️Eksempel 4: Faktorisering med faktorteoremet

Faktoriser polynomet $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ fullstendig.

Løsning:

Steg 1: Vi prøver å finne et nullpunkt ved å teste enkle verdier.

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓

Siden $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor ifølge faktorteoremet.

Steg 2: Vi utfører polynomdivisjon:

$\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 1} = x^2 - 5x + 6$

Steg 3: Vi faktoriserer $x^2 - 5x + 6$ :

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar:
$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunktene er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

📊Polynom med nullpunkter

Grafen til $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ med nullpunktene markert.

📝Oppgave 5

Bruk faktorteoremet til å faktorisere polynomene fullstendig.

P(x) = x^3 - 7x + 6

Q(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6

R(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12

Metode for å finne rasjonale nullpunkter

Når vi leter etter nullpunkter, kan vi bruke en systematisk metode basert på koeffisientene i polynomet.

📜Teoremet om rasjonale røtter

Hvis et polynom $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ med heltallskoeffisienter har en rasjonalt nullpunkt $\displaystyle \frac{p}{q}$ (på forkortet form), så er:

- $p$ en divisor i konstantleddet $a_0$
- $q$ en divisor i den ledende koeffisienten $a_n$

✏️Eksempel 5: Finne rasjonale nullpunkter

Finn alle nullpunkter til $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ .

Løsning:

Mulige rasjonale nullpunkter er $\displaystyle \frac{p}{q}$ der:
- $p$ deler konstantleddet $2$ : $p \in \{\pm 1, \pm 2\}$
- $q$ deler ledende koeffisient $2$ : $q \in \{1, 2\}$

Mulige kandidater: $\displaystyle \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$

Test:
- $P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2 \neq 0$
- $P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0$ ✓
- $P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ ✓

Vi har funnet to nullpunkter: $x = -1$ og $x = 2$ .

Polynomdivisjon gir:
$\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{(x+1)(x-2)} = \frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} = 2x - 1$

Det siste nullpunktet: $\displaystyle 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Svar: Nullpunktene er $x = -1$ , $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 6

Finn alle nullpunkter til polynomene.

P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6

Q(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2

R(x) = x^4 - 5x^2 + 4

Oppsummering

Polynomer:
- Et polynom har formen $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0$
- Graden er den høyeste potensen av $x$

Polynomdivisjon:
- Brukes til å dele et polynom på et annet
- $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Faktorteoremet:
- $(x - a)$ er faktor i $P(x)$ $\Leftrightarrow$ $P(a) = 0$

Teoremet om rasjonale røtter:
- Mulige rasjonale nullpunkter er $\displaystyle \frac{p}{q}$ der $p$ deler konstantleddet og $q$ deler ledende koeffisient

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Polynomer, polynomdivisjon og faktorisering.

60 min

18 oppgaver

PolynomerPolynomdivisjonFaktorteoremetNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Hva er et polynom?

Polynom

x

✏️Eksempel 1: Polynomer

Identifiser graden, ledende koeffisient og konstantledd for følgende polynomer:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
b) $Q(x) = -2x^3 + x$
c) $R(x) = 7$

Løsning:

a) $P(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 1$
- Grad: $4$ (høyeste potens av $x$ )
- Ledende koeffisient: $3$
- Konstantledd: $-1$

b) $Q(x) = -2x^3 + x$
- Grad: $3$
- Ledende koeffisient: $-2$
- Konstantledd: $0$ (ingen konstantledd)

c) $R(x) = 7$
- Grad: $0$ (konstant polynom)
- Ledende koeffisient: $7$
- Konstantledd: $7$

📝Oppgave 1

Finn graden, ledende koeffisient og konstantledd for hvert polynom.

P(x) = 2x^5 - 3x^3 + x - 4

Q(x) = -x^2 + 6x + 9

R(x) = 4x^3 - x^2

S(x) = -5

Regning med polynomer

Vi kan addere, subtrahere og multiplisere polynomer ved å bruke kjente regneregler.

Addisjon og subtraksjon: Kombiner like ledd (ledd med samme potens av $x$ ).

Multiplikasjon: Bruk distributiv lov – gang hvert ledd i det ene polynomet med hvert ledd i det andre.

✏️Eksempel 2: Polynomregning

La $P(x) = 2x^2 + 3x - 1$ og $Q(x) = x^2 - 2x + 4$ .

Regn ut:
a) $P(x) + Q(x)$
b) $P(x) - Q(x)$
c) $P(x) \cdot Q(x)$

Løsning:

a) $P(x) + Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2 + x^2 + 3x - 2x - 1 + 4$
$= 3x^2 + x + 3$

b) $P(x) - Q(x) = (2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - 2x + 4)$
$= 2x^2 - x^2 + 3x + 2x - 1 - 4$
$= x^2 + 5x - 5$

📝Oppgave 2

La $P(x) = x^2 + 2x - 3$ og $Q(x) = 2x^2 - x + 1$ . Regn ut:

P(x) + Q(x)

P(x) - Q(x)

2P(x) + 3Q(x)

📝Oppgave 3

Multipliser polynomene og skriv svaret på standardform.

(x + 2)(x^2 - 3x + 1)

(x - 1)(x + 1)(x + 2)

(2x - 3)^2

(x + 1)^3

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon fungerer på samme måte som vanlig divisjon av tall. Vi deler et polynom (dividenden) på et annet polynom (divisoren) og får en kvotient og eventuelt en rest.

$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$

eller ekvivalent:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der graden til $R(x)$ er lavere enn graden til $D(x)$ .

📜Divisjonsalgoritmen for polynomer

For ethvert polynom

P(x)

og divisor

D(x)

med

D(x) \neq 0

, finnes det unike polynomer

Q(x)

(kvotienten) og

R(x)

(resten) slik at:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der $\text{grad}(R) < \text{grad}(D)$ eller $R(x) = 0$ .

✏️Eksempel 3: Polynomdivisjon

Utfør polynomdivisjonen:

$\frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x - 1}$

Løsning:

Vi setter opp polynomdivisjonen:

$\begin{array}{r|rrrr} & x^3 & -2x^2 & +5x & -3 \\ x-1 & & & & \\ \hline \end{array}$

Steg 1: $x^3 \div x = x^2$ . Gang $x^2$ med $(x-1)$ : $x^3 - x^2$

Steg 2: Trekk fra: $(x^3 - 2x^2) - (x^3 - x^2) = -x^2$

Steg 3: Ta ned neste ledd: $-x^2 + 5x$

Steg 4: $-x^2 \div x = -x$ . Gang $-x$ med $(x-1)$ : $-x^2 + x$

Steg 5: Trekk fra: $(-x^2 + 5x) - (-x^2 + x) = 4x$

Steg 6: Ta ned neste ledd: $4x - 3$

Steg 7: $4x \div x = 4$ . Gang $4$ med $(x-1)$ : $4x - 4$

Steg 8: Trekk fra: $(4x - 3) - (4x - 4) = 1$

Svar:
$\frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x - 1} = x^2 - x + 4 + \frac{1}{x-1}$

Kvotient: $Q(x) = x^2 - x + 4$ , Rest: $R = 1$

Tips for polynomdivisjon:
- Skriv alltid polynomene i synkende potensrekkefølge
- Husk å sette inn

0

som koeffisient for manglende potenser
- Kontroller svaret ved å gange kvotienten med divisoren og legge til resten

📝Oppgave 4

Utfør polynomdivisjonen. Oppgi kvotient og rest.

\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}

\displaystyle \frac{x^3 - 8}{x - 2}

\displaystyle \frac{2x^3 + 3x^2 - 5x + 1}{x + 2}

\displaystyle \frac{x^4 - 1}{x - 1}

Faktorteoremet

Faktorteoremet gir oss en sammenheng mellom nullpunkter og faktorer i et polynom. Dette er et av de viktigste verktøyene for å faktorisere polynomer.

📜Faktorteoremet

Et polynom $P(x)$ har $(x - a)$ som faktor hvis og bare hvis $P(a) = 0$ .

Med andre ord: $x = a$ er et nullpunkt for $P(x)$ $\Leftrightarrow$ $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ .

Praktisk bruk av faktorteoremet:

✏️Eksempel 4: Faktorisering med faktorteoremet

Faktoriser polynomet $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ fullstendig.

Løsning:

Steg 1: Vi prøver å finne et nullpunkt ved å teste enkle verdier.

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓

Siden $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor ifølge faktorteoremet.

Steg 2: Vi utfører polynomdivisjon:

$\frac{x^3 - 6x^2 + 11x - 6}{x - 1} = x^2 - 5x + 6$

Steg 3: Vi faktoriserer $x^2 - 5x + 6$ :

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

Svar:
$P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)$

Nullpunktene er $x = 1$ , $x = 2$ og $x = 3$ .

📊Polynom med nullpunkter

Grafen til $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ med nullpunktene markert.

📝Oppgave 5

Bruk faktorteoremet til å faktorisere polynomene fullstendig.

P(x) = x^3 - 7x + 6

Q(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6

R(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12

Metode for å finne rasjonale nullpunkter

Når vi leter etter nullpunkter, kan vi bruke en systematisk metode basert på koeffisientene i polynomet.

📜Teoremet om rasjonale røtter

Hvis et polynom $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$ med heltallskoeffisienter har en rasjonalt nullpunkt $\displaystyle \frac{p}{q}$ (på forkortet form), så er:

- $p$ en divisor i konstantleddet $a_0$
- $q$ en divisor i den ledende koeffisienten $a_n$

✏️Eksempel 5: Finne rasjonale nullpunkter

Finn alle nullpunkter til $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ .

Løsning:

Mulige rasjonale nullpunkter er $\displaystyle \frac{p}{q}$ der:
- $p$ deler konstantleddet $2$ : $p \in \{\pm 1, \pm 2\}$
- $q$ deler ledende koeffisient $2$ : $q \in \{1, 2\}$

Mulige kandidater: $\displaystyle \pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{2}$

Test:
- $P(1) = 2 - 3 - 3 + 2 = -2 \neq 0$
- $P(-1) = -2 - 3 + 3 + 2 = 0$ ✓
- $P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0$ ✓

Vi har funnet to nullpunkter: $x = -1$ og $x = 2$ .

Polynomdivisjon gir:
$\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{(x+1)(x-2)} = \frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^2 - x - 2} = 2x - 1$

Det siste nullpunktet: $\displaystyle 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$

Svar: Nullpunktene er $x = -1$ , $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 6

Finn alle nullpunkter til polynomene.

P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6

Q(x) = 2x^3 + x^2 - 5x + 2

R(x) = x^4 - 5x^2 + 4

Oppsummering

Polynomer:
- Et polynom har formen $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0$
- Graden er den høyeste potensen av $x$

Polynomdivisjon:
- Brukes til å dele et polynom på et annet
- $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

Faktorteoremet:
- $(x - a)$ er faktor i $P(x)$ $\Leftrightarrow$ $P(a) = 0$

Teoremet om rasjonale røtter:
- Mulige rasjonale nullpunkter er $\displaystyle \frac{p}{q}$ der $p$ deler konstantleddet og $q$ deler ledende koeffisient

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver