5.1 Magnetisk fluks

Magnetisk fluks gjennom flater, fluks og feltlinjer.

40 min

10 oppgaver

Magnetisk fluksFluks gjennom flateEnhetsnormalenFlukstetthet

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Fra fluks til strøm – en revolusjonerende oppdagelse

I 1831 gjorde Michael Faraday en av de viktigste oppdagelsene i fysikkens historie: endring i magnetisk fluks induserer elektrisk spenning. Dette fenomenet kalles elektromagnetisk induksjon.

Denne oppdagelsen la grunnlaget for:
- Elektriske generatorer – som produserer nesten all elektrisitet vi bruker
- Transformatorer – som gjør det mulig å overføre strøm over store avstander
- Induktorer – viktige komponenter i elektronikk
- Trådløs lading – som lader telefoner og elbiler
- Induksjonskomfyrer – som varmer gryter direkte

I dette kapitlet lærer du:
- Faradays eksperimenter og oppdagelse
- Faradays lov: $\displaystyle \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$
- Tre måter å endre magnetisk fluks
- Lenz' lov og minustegnets betydning
- EMF i bevegelige ledere
- Virvelstrømmer og deres effekter

Faradays eksperimenter

Michael Faraday (1791–1867) var en britisk eksperimentalfysiker med bemerkelsesverdig intuisjon. Han hadde lite formell utdanning, men hans eksperimenter revolusjonerte fysikken.

Eksperiment 1: Spole og magnet

Faraday koblet en spole til et galvanometer (følsomt strømmåler) og observerte:
- Når en magnet beveget seg mot spolen: Strøm i én retning
- Når magneten var i ro: Ingen strøm
- Når magneten beveget seg bort fra spolen: Strøm i motsatt retning

Eksperiment 2: To spoler

Han plasserte to spoler rundt samme jernkjerne:
- Primærspole: Koblet til batteri med bryter
- Sekundærspole: Koblet til galvanometer

Observasjoner:
- Når bryteren sluttes (strøm slås på): Kortvarig strøm i sekundærspolen
- Når strømmen er konstant: Ingen strøm i sekundærspolen
- Når bryteren brytes (strøm slås av): Kortvarig strøm i motsatt retning

Faradays konklusjon

Det er ikke magnetfeltet i seg selv som skaper strøm, men endringen i magnetfeltet. Mer presist: det er endringen i magnetisk fluks gjennom sløyfen som induserer spenning.

> "I have long held an opinion, almost amounting to conviction... that the various forms under which the forces of matter are made manifest have one common origin." – Michael Faraday

Indusert elektromotorisk kraft (EMF)

\varepsilon

📜Faradays induksjonslov

Den induserte EMF i en lukket sløyfe er lik den negative endringsraten til magnetisk fluks gjennom sløyfen:

$\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}$

For en spole med N vindinger:

$\varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d\Psi}{dt}$

der:
- $\varepsilon$ = indusert EMF [V]
- $\Phi$ = magnetisk fluks gjennom én vinding [Wb]
- $\Psi = N\Phi$ = flukskobling [Wb]
- $N$ = antall vindinger
- $\displaystyle \frac{d\Phi}{dt}$ = endringsrate for fluks [Wb/s]

Ved gjennomsnittlig endring:

$\varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Faradays lov

\varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt} = -N\frac{d(BA\cos\theta)}{dt}

Indusert EMF er proporsjonal med endringsraten til magnetisk fluks. Minustegnet indikerer at den induserte EMF-en motvirker endringen (Lenz' lov).

Tre måter å endre magnetisk fluks

Siden $\Phi = BA\cos\theta$ , kan fluksen endres på tre måter:

1. Endre magnetfeltstyrken B

Eksempel: En elektromagnet som slås av og på.

$\varepsilon = -NA\cos\theta \cdot \frac{dB}{dt}$

Anvendelser:
- Transformatorer
- Trådløs lading
- Induksjonssensorer

2. Endre arealet A

Eksempel: En sløyfe som trekkes ut av et magnetfelt, eller som ekspanderer/krymper.

$\varepsilon = -NB\cos\theta \cdot \frac{dA}{dt}$

Anvendelser:
- Mikrofoner (membran endrer areal i felt)
- Visse typer sensorer

3. Endre vinkelen θ

Eksempel: En spole som roterer i et magnetfelt.

$\varepsilon = NBA\sin\theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = NBA\omega\sin(\omega t)$

Anvendelser:
- Elektriske generatorer
- AC-motorer

Kombinasjoner

I mange praktiske situasjoner endres flere faktorer samtidig. Da må man ofte bruke produktregelen for derivasjon.

✏️Indusert EMF fra konstant fluksendring

En spole med 200 vindinger og areal 0,050 m² ligger vinkelrett på et magnetfelt som endres uniformt fra 0,80 T til 0,20 T i løpet av 0,40 s.

a) Beregn den induserte EMF-en.
b) Hvis spolen har motstand 5,0 Ω, hva blir den induserte strømmen?

a) Beregn EMF:

Gitt:
- $N = 200$ vindinger
- $A = 0,050$ m²
- $B_i = 0,80$ T, $B_f = 0,20$ T
- $\Delta t = 0,40$ s
- $\theta = 0°$ (vinkelrett, så $\cos\theta = 1$ )

Fluksendring:
$\Delta\Phi = A\Delta B = 0,050 \cdot (0,20 - 0,80) = 0,050 \cdot (-0,60) = -0,030 \text{ Wb}$

Indusert EMF (Faradays lov):
$\varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -200 \cdot \frac{-0,030}{0,40} = -200 \cdot (-0,075) = 15 \text{ V}$

Svar a): Den induserte EMF-en er 15 V.

---

b) Indusert strøm:

Ohms lov:
$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{15}{5,0} = 3,0 \text{ A}$

Svar b): Den induserte strømmen er 3,0 A.

Lenz' lov – minustegnets betydning

Minustegnet i Faradays lov har en dyp fysisk betydning, formulert av Heinrich Lenz i 1834.

Lenz' lov

> Den induserte strømmen går i en retning som motvirker endringen som skapte den.

Med andre ord: Naturen "motsetter seg" endringer i magnetisk fluks.

Fysisk forklaring

1. Økende fluks: Hvis fluksen gjennom en sløyfe øker, vil den induserte strømmen skape et magnetfelt som motvirker økningen.

2. Minkende fluks: Hvis fluksen minker, vil den induserte strømmen skape et felt som prøver å opprettholde fluksen.

Eksempel: Magnet og spole

Nordpol nærmer seg spolen:
- Fluksen øker (flere feltlinjer inn i spolen)
- Indusert strøm skaper et felt som peker MOT magneten (nordpol mot nordpol)
- Spolen "frastøter" magneten – motvirker bevegelsen

Nordpol fjerner seg fra spolen:
- Fluksen minker
- Indusert strøm skaper et felt som tiltrekker magneten
- Spolen "prøver å holde på" magneten

Energibevaring

Lenz' lov er egentlig en konsekvens av energibevaring:
- For å indusere strøm må vi utføre arbeid mot den magnetiske kraften
- Hvis strømmen gikk "med" i stedet for "mot", ville vi få gratis energi!

For å finne retningen på indusert strøm:

1. Bestem om fluksen øker eller minker
2. Den induserte strømmen lager et magnetfelt som:
- Motvirker økningen (peker motsatt av det eksterne feltet) hvis fluks øker
- Prøver å opprettholde fluksen (peker samme vei som det eksterne feltet) hvis fluks minker
3. Bruk høyrehåndsregelen for å finne strømretningen

Alternativ: Minustegnet i $\displaystyle \varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt}$ gir riktig fortegn automatisk hvis du definerer positive retninger konsistent.

✏️Anvendelse av Lenz' lov

En sirkulær sløyfe ligger i xy-planet. Et magnetfelt peker i positiv z-retning (oppover gjennom sløyfen) og øker i styrke.

a) Øker eller minker fluksen gjennom sløyfen?
b) I hvilken retning må det induserte magnetfeltet peke for å motvirke endringen?
c) Sett fra oversiden (positiv z), går den induserte strømmen med eller mot klokka?

a) Fluksendring:

Fluksen $\Phi = BA$ der $B$ peker oppover. Siden $B$ øker, øker fluksen.

---

b) Retning på indusert felt:

Lenz' lov: Den induserte strømmen skaper et felt som motvirker økningen.

Siden det eksterne feltet peker oppover (+z) og øker, må det induserte feltet peke nedover (-z) for å motvirke.

---

c) Strømretning:

For å skape et felt nedover (-z) gjennom sløyfen, må strømmen gå med klokka når sett ovenfra.

Sjekk med høyrehåndsregelen:
- Pek tommelen nedover (-z)
- Fingrene krøller seg med klokka

Svar:
a) Fluksen øker
b) Det induserte feltet peker nedover (-z)
c) Strømmen går med klokka (sett ovenfra)

EMF i en bevegelig leder

En viktig spesialtilfellet av Faradays lov er en leder som beveger seg gjennom et magnetfelt.

Fysisk forklaring

Når en ledende stav beveger seg gjennom et magnetfelt:
1. De frie elektronene i staven beveger seg med staven
2. Disse bevegelige ladningene opplever en magnetisk kraft (Lorentzkraften)
3. Kraften separerer positive og negative ladninger
4. Det bygger seg opp en potensialdifferanse (spenning) mellom endene

Formel for bevegelig stav

For en stav med lengde $L$ som beveger seg med hastighet $v$ vinkelrett på et magnetfelt $B$ :

$\varepsilon = BLv$

Utledning fra Faradays lov:
- Staven "sveiper" over et areal $\Delta A = L \cdot v\Delta t$ per tidsenhet
- Fluksendring: $\Delta\Phi = B\Delta A = BLv\Delta t$
- EMF: $\displaystyle \varepsilon = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = BLv$

Alternativ utledning (Lorentzkraft)

For et elektron i staven:
- Magnetisk kraft: $F = qvB$
- Arbeid utført over lengden $L$ : $W = FL = qvBL$
- EMF = arbeid per ladning: $\displaystyle \varepsilon = \frac{W}{q} = BLv$

EMF i bevegelig leder

\varepsilon = BLv

Der $B$ er magnetfeltstyrken [T], $L$ er lederens lengde [m], og $v$ er hastigheten vinkelrett på feltet [m/s]. EMF-en er i volt [V].

✏️Bevegelig stav i magnetfelt

En metallstav med lengde 0,50 m beveger seg med konstant hastighet 4,0 m/s vinkelrett på et uniformt magnetfelt på 0,30 T. Staven glir på to parallelle skinner som er koblet til en motstand på 2,0 Ω.

a) Beregn den induserte EMF-en.
b) Beregn strømmen i kretsen.
c) Beregn kraften som trengs for å holde staven i konstant bevegelse.
d) Beregn effekten som utvikles i motstanden og sammenlign med mekanisk effekt.

a) Indusert EMF:

$\varepsilon = BLv = 0,30 \cdot 0,50 \cdot 4,0 = 0,60 \text{ V}$

Svar a): EMF = 0,60 V

---

b) Strøm i kretsen:

$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{0,60}{2,0} = 0,30 \text{ A}$

Svar b): Strømmen er 0,30 A

---

c) Kraft for konstant bevegelse:

Staven bærer strøm $I$ i et magnetfelt $B$ , så den opplever en magnetisk kraft:
$F_{mag} = BIL = 0,30 \cdot 0,30 \cdot 0,50 = 0,045 \text{ N}$

Denne kraften (Lenz' lov!) motvirker bevegelsen. For å holde konstant hastighet må vi påføre en like stor kraft i bevegelsesretningen:

Svar c): $F =$ 0,045 N (45 mN)

---

d) Effektsammenligning:

Elektrisk effekt i motstanden:
$P_{el} = I^2R = (0,30)^2 \cdot 2,0 = 0,18 \text{ W}$

Mekanisk effekt (arbeid per tid):
$P_{mek} = Fv = 0,045 \cdot 4,0 = 0,18 \text{ W}$

De er like! Dette viser energibevaring: mekanisk arbeid konverteres til elektrisk energi.

Svar d): Begge effektene er 0,18 W – energien er bevart.

Virvelstrømmer (Eddy currents)

Når et ledende materiale utsettes for et skiftende magnetfelt, induseres strømmer ikke bare i spoler, men i hele materialet. Disse kalles virvelstrømmer.

Hvordan oppstår virvelstrømmer?

1. Et skiftende magnetfelt induserer EMF i materialet
2. Materialet er elektrisk ledende, så strømmer kan flyte
3. Strømmene danner lukkede sløyfer ("virvler") i materialet
4. Etter Lenz' lov motvirker disse strømmene endringen

Effekter av virvelstrømmer

Negative effekter:
- Energitap: $P = I^2R$ – varme utvikles i materialet
- Effektivitetstap i transformatorer og motorer

Positive anvendelser:
- Elektromagnetisk bremsing i tog og biler
- Induksjonsovner for smelting av metall
- Induksjonskomfyrer for matlaging
- Metalldetektorer
- Trådløs lading av telefoner

Redusere uønskede virvelstrømmer

I transformatorer og motorer lamineres jernkjernen:
- Kjernen bygges av tynne, isolerte jernplater
- Dette begrenser størrelsen på virvelstrømsløyfene
- Reduserer energitap betydelig

✏️Induksjonskomfyr

En induksjonskomfyr bruker en spole under glassplaten som lager et oscillerende magnetfelt med frekvens 25 kHz. Forklar hvordan induksjonskomfyren varmer opp en stålkjele, og hvorfor den ikke varmer opp glassplaten.

Virkemåte:

1. Spolen under glassplaten får vekselstrøm med høy frekvens (25 kHz)

2. Oscillerende magnetfelt: Strømmen skaper et magnetfelt som endrer retning 50 000 ganger per sekund

3. Faradays lov: Det raskt skiftende feltet induserer EMF i bunnen av kjelen

4. Virvelstrømmer: Siden kjelen er av stål (elektrisk ledende), flyter virvelstrømmer i bunn av kjelen

5. Joulevarme: Virvelstrømmene møter motstand: $P = I^2R$ . Varmen utvikles direkte i kjelen!

Hvorfor varmes ikke glassplaten?

Glass er en isolator – det leder ikke strøm. Selv om magnetfeltet induserer EMF i glasset, kan ingen strøm flyte. Derfor ingen $I^2R$ -varme.

Hvorfor fungerer ikke aluminium like godt?

Aluminium har svært lav motstand $R$ . Selv om store strømmer induseres, er $I^2R$ relativt liten. Stål har høyere motstand og gir mer effektiv oppvarming.

Fordeler med induksjon:
- Rask oppvarming
- Effektiv energioverføring (>80%)
- Sikker – overflaten forblir relativt kjølig
- Presis temperaturkontroll

Høy indusert spenning kan være farlig

Når strømmen i en spole med mange vindinger plutselig brytes, kan det induseres svært høy spenning (tusenvis av volt). Dette brukes i tennspolen i biler, men kan være farlig ved feilaktig håndtering av induktive kretser.

Lignende effekt oppstår når lysbryteren slås av for lysrør – derfor kan de "blitse" kort når de slås av.

Tidsvarierende magnetfelt

I mange praktiske situasjoner varierer magnetfeltet som en funksjon av tid. Da må vi bruke derivasjon for å finne den induserte EMF-en.

Lineær endring

Hvis $B(t) = B_0 + kt$ (lineær økning med rate $k$ ):

$\varepsilon = -NA\frac{dB}{dt} = -NAk$

EMF-en er konstant når endringen er lineær.

Sinusformet endring

Hvis $B(t) = B_0\sin(\omega t)$ :

$\varepsilon = -NA\frac{d}{dt}[B_0\sin(\omega t)] = -NAB_0\omega\cos(\omega t)$

$\varepsilon_{maks} = NAB_0\omega$

Dette er grunnlaget for vekselstrømsgeneratorer!

Eksponentiell endring

Hvis $B(t) = B_0 e^{-t/\tau}$ (eksponentiell demping):

$\varepsilon = -NA\frac{dB}{dt} = \frac{NAB_0}{\tau}e^{-t/\tau}$

EMF-en avtar eksponentielt med samme tidskonstant.

✏️Spole i sinusformet magnetfelt

En flat spole med 150 vindinger og areal 80 cm² er plassert i et magnetfelt som varierer som $B(t) = 0,020\sin(120\pi t)$ T, der $t$ er i sekunder. Spolen står vinkelrett på feltet.

a) Skriv et uttrykk for den induserte EMF-en som funksjon av tid.
b) Beregn maksimal indusert EMF.
c) Hva er frekvensen til den induserte spenningen?

Gitt:
-

N = 150

vindinger
-

A = 80

cm²

= 80 \times 10^{-4}

m²

= 0,0080

m²
-

B(t) = 0,020\sin(120\pi t)

T
-

\theta = 0°

(vinkelrett på feltet)

---

a) Uttrykk for EMF:

$\Phi = BA = 0,020\sin(120\pi t) \cdot 0,0080 = 1,6 \times 10^{-4}\sin(120\pi t) \text{ Wb}$

$\varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt} = -150 \cdot \frac{d}{dt}[1,6 \times 10^{-4}\sin(120\pi t)]$

$\varepsilon = -150 \cdot 1,6 \times 10^{-4} \cdot 120\pi \cdot \cos(120\pi t)$

$\varepsilon = -9,05\cos(120\pi t) \text{ V}$

Eller: $\displaystyle \varepsilon = 9,05\sin(120\pi t - \frac{\pi}{2})$ V

Svar a): $\varepsilon(t) = -9,0\cos(120\pi t)$ V

---

b) Maksimal EMF:

$\varepsilon_{maks} = NAB_0\omega = 150 \cdot 0,0080 \cdot 0,020 \cdot 120\pi$

$\varepsilon_{maks} = 9,05 \text{ V} \approx 9,0 \text{ V}$

Svar b): $\varepsilon_{maks} \approx$ 9,0 V

---

c) Frekvens:

Fra $\sin(120\pi t)$ : $\omega = 120\pi$ rad/s

$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{120\pi}{2\pi} = 60 \text{ Hz}$

Svar c): Frekvensen er 60 Hz (vanlig nettfrekvens i USA/Japan)

For å løse induksjonsproblemer trenger du ofte disse:

Funksjon	Derivert
$\sin(\omega t)$	$\omega\cos(\omega t)$
$\cos(\omega t)$	$-\omega\sin(\omega t)$
$e^{kt}$	$ke^{kt}$
$e^{-t/\tau}$	$\displaystyle -\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}$
$at + b$	$a$ (konstant)
$at^2$	$2at$

Husk: Når du deriverer med hensyn på tid, holder du andre variabler (som

N

A

) konstante.

Oppsummering

Faradays lov

\varepsilon = -N\frac{d\Phi}{dt}

Indusert EMF er proporsjonal med endringsraten til magnetisk fluks.

Tre måter å endre fluks ( $\Phi = BA\cos\theta$ )

1. Endre magnetfeltstyrken

B

2. Endre arealet

A

3. Endre vinkelen

\theta

Lenz' lov

Den induserte strømmen går i en retning som motvirker endringen som skapte den. Dette er betydningen av minustegnet.

EMF i bevegelig leder

\varepsilon = BLv

For en stav med lengde $L$ som beveger seg med hastighet $v$ vinkelrett på felt $B$ .

Virvelstrømmer

- Induserte strømmer i ledende materialer
- Forårsaker oppvarming (

P = I^2R

)
- Brukes i induksjonsovner, elektromagnetisk bremsing, metalldetektorer

Tidsvarierende felt

- Lineær endring

B = B_0 + kt

: Konstant EMF
- Sinusformet

B = B_0\sin(\omega t)

\varepsilon_{maks} = NAB_0\omega

Neste kapittel

Du skal lære om:
- Selvinduktans og induktorer
- Energi lagret i magnetfelt
- RL-kretser

Oppgaver

Lett3 oppgaver

5.1.1

5.1.2

5.1.3

Medium4 oppgaver

5.1.4

5.1.5

5.1.6

5.1.7

Vanskelig5 oppgaver

5.1.8

5.1.9

5.1.10

5.1.11

5.1.12

Lenz' lov – minustegnets betydning

Minustegnet i Faradays lov har en dyp fysisk betydning, formulert av Heinrich Lenz i 1834.

Lenz' lov

> Den induserte strømmen går i en retning som motvirker endringen som skapte den.

Med andre ord: Naturen "motsetter seg" endringer i magnetisk fluks.

Fysisk forklaring

1. Økende fluks: Hvis fluksen gjennom en sløyfe øker, vil den induserte strømmen skape et magnetfelt som motvirker økningen.

2. Minkende fluks: Hvis fluksen minker, vil den induserte strømmen skape et felt som prøver å opprettholde fluksen.

Eksempel: Magnet og spole

Nordpol fjerner seg fra spolen:
- Fluksen minker
- Indusert strøm skaper et felt som tiltrekker magneten
- Spolen "prøver å holde på" magneten

Energibevaring

Funksjon

Derivert

\sin(\omega t)

\omega\cos(\omega t)

\cos(\omega t)

-\omega\sin(\omega t)

e^{kt}

ke^{kt}

e^{-t/\tau}

\displaystyle -\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}

at + b

a

(konstant)

at^2

2at

Fra fluks til strøm – en revolusjonerende oppdagelse

Faradays eksperimenter

Eksperiment 1: Spole og magnet

Eksperiment 2: To spoler

Faradays konklusjon

Tre måter å endre magnetisk fluks

1. Endre magnetfeltstyrken B

2. Endre arealet A

3. Endre vinkelen θ

Kombinasjoner

Lenz' lov – minustegnets betydning

Lenz' lov

Fysisk forklaring

Eksempel: Magnet og spole

Energibevaring

EMF i en bevegelig leder

Fysisk forklaring

Formel for bevegelig stav

Alternativ utledning (Lorentzkraft)

Virvelstrømmer (Eddy currents)

Hvordan oppstår virvelstrømmer?

Effekter av virvelstrømmer

Redusere uønskede virvelstrømmer

Tidsvarierende magnetfelt

Lineær endring

Sinusformet endring

Eksponentiell endring

Oppsummering

Faradays lov

Tre måter å endre fluks (Φ=BAcos⁡θ\Phi = BA\cos\thetaΦ=BAcosθ)

Lenz' lov

EMF i bevegelig leder

Virvelstrømmer

Tidsvarierende felt

Neste kapittel

Oppgaver

5.1 Magnetisk fluks

Fra fluks til strøm – en revolusjonerende oppdagelse

Faradays eksperimenter

Eksperiment 1: Spole og magnet

Eksperiment 2: To spoler

Faradays konklusjon

Tre måter å endre magnetisk fluks

1. Endre magnetfeltstyrken B

2. Endre arealet A

3. Endre vinkelen θ

Kombinasjoner

Lenz' lov – minustegnets betydning

Lenz' lov

Fysisk forklaring

Eksempel: Magnet og spole

Energibevaring

EMF i en bevegelig leder

Fysisk forklaring

Formel for bevegelig stav

Alternativ utledning (Lorentzkraft)

Virvelstrømmer (Eddy currents)

Hvordan oppstår virvelstrømmer?

Effekter av virvelstrømmer

Redusere uønskede virvelstrømmer

Tidsvarierende magnetfelt

Lineær endring

Sinusformet endring

Eksponentiell endring

Oppsummering

Faradays lov

Tre måter å endre fluks (Φ=BAcos⁡θ\Phi = BA\cos\thetaΦ=BAcosθ)

Lenz' lov

EMF i bevegelig leder

Virvelstrømmer

Tidsvarierende felt

Neste kapittel

Oppgaver

Tre måter å endre fluks ( $\Phi = BA\cos\theta$ )

Tre måter å endre fluks ( $\Phi = BA\cos\theta$ )