4.5 Lorentzkraften | Fysikk 2

Den totale Lorentzkraften på ladede partikler i kombinerte elektriske og magnetiske felt.

50 min

14 oppgaver

Total LorentzkraftKombinerte feltHastighetsselektorHalleffektenPartikkelakseleratorer

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Fra magnetfelt til magnetisk fluks

I forrige kapittel lærte du hvordan strøm skaper magnetfelt. Nå skal vi introdusere et nytt og svært viktig begrep: magnetisk fluks.

Magnetisk fluks beskriver "hvor mye magnetfelt" som passerer gjennom en flate. Dette begrepet er helt avgjørende for å forstå elektromagnetisk induksjon – fenomenet der endring i magnetfelt skaper elektrisk strøm.

Hvorfor er fluks viktig?
- Faradays induksjonslov handler om endring i fluks
- Generatorer og transformatorer baserer seg på fluksendring
- Induktorer lagrer energi i form av magnetisk fluks
- Magnetisk fluks brukes til å forstå mange teknologiske anvendelser

I dette kapitlet lærer du:
- Hva magnetisk fluks er og hvordan den beregnes
- Hvordan vinkelen mellom felt og flate påvirker fluksen
- Gauss' lov for magnetisme
- Beregning av fluks gjennom spoler og sløyfer
- Forberedelse til Faradays induksjonslov

Magnetisk fluks

\Phi

Fluks gjennom en flate

For å forstå magnetisk fluks, tenk deg en flate plassert i et magnetfelt. Fluksen måler hvor mange feltlinjer som "trenger gjennom" flaten.

Normalvektoren

Hver flate har en normalvektor $\vec{n}$ som står vinkelrett på flaten. Vinkelen $\theta$ i fluksformelen er vinkelen mellom magnetfeltet $\vec{B}$ og denne normalvektoren.

Visualisering

Tenk på fluksen som "antall feltlinjer" gjennom flaten:
- Mange feltlinjer gjennom → stor fluks
- Få feltlinjer gjennom → liten fluks
- Ingen feltlinjer gjennom → null fluks

Vektorform

Den generelle formelen for fluks kan skrives som et skalarprodukt:

$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA\cos\theta$

der $\vec{A} = A\hat{n}$ er arealvektoren (areal ganger normalvektor).

Ikke-uniformt felt

Hvis magnetfeltet varierer over flaten, må vi integrere:

$\Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$

I Fysikk 2 fokuserer vi hovedsakelig på uniformt felt der $\Phi = BA\cos\theta$ gjelder.

Hvordan vinkelen påvirker fluksen

Vinkelen $\theta$ mellom magnetfeltet og flatens normalvektor er avgjørende:

Spesialtilfeller

Maksimal fluks ( $\theta = 0°$ ):
- Feltet står vinkelrett på flaten
- $\cos(0°) = 1$
- $\Phi = BA$ (maksimal verdi)
- Alle feltlinjer går rett gjennom

Null fluks ( $\theta = 90°$ ):
- Feltet er parallelt med flaten
- $\cos(90°) = 0$
- $\Phi = 0$ (ingen fluks)
- Feltlinjene "skraper" langs flaten uten å gå gjennom

Delvis fluks ( $0° < \theta < 90°$ ):
- Feltet treffer flaten skrått
- $\Phi = BA\cos\theta$
- Bare komponenten vinkelrett på flaten bidrar

Viktig å huske

Vinkel $\theta$	$\cos\theta$	Fluks $\Phi$
0°	1,00	$BA$ (maks)
30°	0,87	$0,87 \cdot BA$
45°	0,71	$0,71 \cdot BA$
60°	0,50	$0,50 \cdot BA$
90°	0,00	0 (null)

Negativ fluks: Hvis

\theta > 90°

, blir

\cos\theta < 0

og fluksen negativ. Dette betyr at feltet går "ut av" flaten i stedet for "inn i" den.

✏️Fluks gjennom rektangulær sløyfe

En rektangulær sløyfe med dimensjoner 20 cm × 30 cm er plassert i et uniformt magnetfelt $B = 0,50$ T. Feltet står vinkelrett på sløyfens plan. Beregn magnetisk fluks gjennom sløyfen.

Gitt:
- Dimensjoner: 20 cm × 30 cm
-

B = 0,50

T
-

\theta = 0°

(feltet vinkelrett på planet)

Areal:
$A = 0,20 \text{ m} \times 0,30 \text{ m} = 0,060 \text{ m}^2$

Fluks:
$\Phi = BA\cos\theta = 0,50 \times 0,060 \times \cos(0°)$
$\Phi = 0,50 \times 0,060 \times 1 = 0,030 \text{ Wb}$

Svar: $\Phi = 30$ mWb (milliWeber)

✏️Fluks når flaten er vippet

En sirkulær sløyfe med radius 15 cm er plassert i et magnetfelt $B = 0,80$ T. Sløyfens normalvektor danner en vinkel på 60° med magnetfeltet. Beregn magnetisk fluks gjennom sløyfen.

Gitt:
-

r = 15

= 0,15

m
-

B = 0,80

T
-

\theta = 60°

Areal av sirkel:
$A = \pi r^2 = \pi \times (0,15)^2 = 0,0707 \text{ m}^2$

Fluks:
$\Phi = BA\cos\theta = 0,80 \times 0,0707 \times \cos(60°)$
$\Phi = 0,80 \times 0,0707 \times 0,50$
$\Phi = 0,0283 \text{ Wb} \approx 28 \text{ mWb}$

Svar: $\Phi \approx 28$ mWb

Merk: Hvis sløyfen hadde stått vinkelrett på feltet ( $\theta = 0°$ ), ville fluksen vært:
$\Phi_{maks} = 0,80 \times 0,0707 = 56,6$ mWb

Så ved 60° vinkel er fluksen halvert.

Fluksendring – grunnlag for induksjon

Det mest spennende med magnetisk fluks er hva som skjer når den endrer seg. Faradays oppdagelse var at endring i magnetisk fluks induserer elektrisk spenning!

Hvordan kan fluksen endre seg?

Fra formelen $\Phi = BA\cos\theta$ ser vi at fluksen kan endres ved å endre:

1. Magnetfeltstyrken $B$ :
- Slå av/på en elektromagnet
- Flytte en magnet nærmere eller lenger unna
- Variere strømmen i en spole

2. Arealet $A$ :
- Endre størrelsen på sløyfen
- Trekke en sløyfe ut av feltet
- Skyve en leder gjennom feltet

3. Vinkelen $\theta$ :
- Rotere sløyfen i feltet
- Endre retningen på feltet

Matematisk uttrykk for endring

Endringen i fluks over tid skrives:

$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{\Phi_2 - \Phi_1}{t_2 - t_1}$

eller som en derivert for kontinuerlig endring:

$\frac{d\Phi}{dt}$

Viktig: I neste kapittel skal du lære at denne endringsraten er direkte knyttet til indusert spenning gjennom Faradays lov:

$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$

Minustegnet (Lenz' lov) forteller at den induserte spenningen motvirker endringen.

✏️Beregning av fluksendring

En kvadratisk sløyfe med sidelengde 10 cm er plassert i et magnetfelt som øker jevnt fra 0,20 T til 0,80 T i løpet av 0,50 sekunder. Feltet står vinkelrett på sløyfen.

a) Hva er fluksen før og etter endringen?
b) Hva er gjennomsnittlig endringsrate for fluksen?

Gitt:
- Sidelengde:

s = 10

= 0,10

m
-

B_1 = 0,20

B_2 = 0,80

T
-

\Delta t = 0,50

s
-

\theta = 0°

(vinkelrett)

Areal:
$A = s^2 = (0,10)^2 = 0,010 \text{ m}^2$

a) Fluks før og etter:

Før: $\Phi_1 = B_1 A = 0,20 \times 0,010 = 0,0020$ Wb $= 2,0$ mWb

Etter: $\Phi_2 = B_2 A = 0,80 \times 0,010 = 0,0080$ Wb $= 8,0$ mWb

b) Endringsrate:

$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{\Phi_2 - \Phi_1}{\Delta t} = \frac{0,0080 - 0,0020}{0,50}$

$\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{0,0060}{0,50} = 0,012 \text{ Wb/s}$

Svar:
a) $\Phi_1 = 2,0$ mWb, $\Phi_2 = 8,0$ mWb
b) Endringsrate $= 12$ mWb/s $= 0,012$ V (ifølge Faradays lov)

Gauss' lov for magnetisme

En av de fire Maxwell-ligningene er Gauss' lov for magnetisme:

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$

Dette integralet beregner den totale magnetiske fluksen gjennom en lukket flate (som overflaten av en kule eller boks).

Hva betyr dette?

Resultatet er alltid null! Dette betyr at den totale magnetiske fluksen ut av enhver lukket flate er null.

Fysisk tolkning: Ingen magnetiske monopoler

Grunnen til at totalfluksen er null, er at magnetiske feltlinjer alltid danner lukkede kurver. For hver feltlinje som går inn i en lukket flate, må det være en feltlinje som går ut.

Kontrast med elektriske felt:
- Elektriske feltlinjer starter på positive ladninger og slutter på negative
- En lukket flate rundt en positiv ladning har netto fluks utover
- Magnetiske feltlinjer har ingen start- eller sluttpunkt
- De danner alltid lukkede sløyfer

Konsekvens:
Det finnes ingen magnetiske monopoler – ingen isolerte nord- eller sydpoler. Hvis du bryter en magnet i to, får du to nye magneter, hver med sin egen nord- og sydpol.

Eksempel

Tenk på en sfærisk flate rundt en stavmagnet:
- Feltlinjene som går ut ved nordpolen, kommer tilbake inn ved sydpolen
- Like mange feltlinjer går ut som inn
- Total fluks gjennom sfæren $= 0$

Gauss' lov for magnetisme

\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0

Fluks gjennom spoler og sløyfer

Når en spole med flere vindinger er plassert i et magnetfelt, må vi ta hensyn til antall vindinger.

Fluks gjennom én vinding

For én enkelt sløyfe:
$\Phi = BA\cos\theta$

Flukskobling (Flux linkage)

For en spole med $N$ vindinger multipliserer vi med antall vindinger:

$\Psi = N\Phi = NBA\cos\theta$

Dette kalles flukskobling (flux linkage), målt i Weber-turns (Wb-t) eller bare Weber.

Hvorfor viktig?

I Faradays induksjonslov er det faktisk endring i flukskobling som gir indusert spenning:

$\mathcal{E} = -\frac{d(N\Phi)}{dt} = -N\frac{d\Phi}{dt}$

En spole med 100 vindinger gir altså 100 ganger så stor indusert spenning som én enkelt sløyfe!

Eksempel: Solenoid i eksternt felt

En solenoid med $N$ vindinger og tverrsnittsareal $A$ i et uniformt felt $B$ :

$\Psi = NBA\cos\theta$

Hvis feltet er langs solenoidens akse ( $\theta = 0°$ ):
$\Psi = NBA$

✏️Fluks gjennom en spole

En spole med 200 vindinger har tverrsnittsareal 25 cm². Den plasseres i et uniformt magnetfelt på 0,60 T slik at feltet er parallelt med spolens akse.

a) Beregn magnetisk fluks gjennom én vinding.
b) Beregn total flukskobling gjennom spolen.
c) Hvis feltet reduseres til null på 0,10 s, hva er gjennomsnittlig endringsrate for flukskoblingen?

Gitt:
-

N = 200

vindinger
-

A = 25

cm²

= 25 \times 10^{-4}

m²

= 0,0025

m²
-

B = 0,60

T
-

\theta = 0°

(felt parallelt med akse)
-

\Delta t = 0,10

s (for del c)

a) Fluks gjennom én vinding:
$\Phi = BA\cos\theta = 0,60 \times 0,0025 \times 1$
$\Phi = 0,0015 \text{ Wb} = 1,5 \text{ mWb}$

b) Total flukskobling:
$\Psi = N\Phi = 200 \times 0,0015$
$\Psi = 0,30 \text{ Wb} = 300 \text{ mWb}$

c) Endringsrate når feltet forsvinner:

Flukskobling før: $\Psi_1 = 0,30$ Wb
Flukskobling etter: $\Psi_2 = 0$ Wb

$\frac{\Delta\Psi}{\Delta t} = \frac{0 - 0,30}{0,10} = -3,0 \text{ Wb/s}$

Svar:
a) $\Phi = 1,5$ mWb per vinding
b) $\Psi = 300$ mWb total flukskobling
c) Endringsrate $= -3,0$ Wb/s (ifølge Faraday gir dette 3,0 V indusert spenning)

Anvendelser – forberedelse til Faradays lov

Forståelsen av magnetisk fluks er grunnleggende for mange teknologiske anvendelser. Her er en oversikt over hvordan fluks og fluksendring brukes:

1. Generatorer

I en generator roterer en spole i et magnetfelt:
- Vinkelen $\theta$ endrer seg kontinuerlig
- Fluksen $\Phi = BA\cos\theta$ varierer sinusformig
- Dette induserer vekselstrøm (AC)

2. Transformatorer

Transformatorer overfører energi mellom to spoler:
- Vekselstrøm i primærspolen skaper varierende magnetfelt
- Det varierende feltet gir fluksendring i sekundærspolen
- Fluksendringen induserer spenning i sekundærspolen

3. Induktorer

En induktor lagrer energi i magnetfeltet:
- Strømendring gir fluksendring
- Fluksendringen induserer spenning som motvirker endringen
- Dette gir "motstand" mot strømendringer

4. Induktive sensorer

Mange sensorer måler fluksendring:
- Turtellere: Roterende magnet gir varierende fluks
- Metalldetektorer: Metall endrer fluksmønsteret
- Posisjonsgivere: Fluks avhenger av posisjon

5. Trådløs lading

Trådløs lading (f.eks. for mobiltelefoner):
- Senderspole lager vekslende magnetfelt
- Mottakerspole opplever fluksendring
- Fluksendringen induserer strøm for lading

Neste kapittel

I neste kapittel lærer du Faradays induksjonslov:
$\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt}$

Da vil du kunne beregne eksakt hvor stor spenning som induseres ved ulike fluksendringer!

📝Oppgave 4.28

Hva er enheten for magnetisk fluks?

📝Oppgave 4.29

En flat sløyfe er plassert i et uniformt magnetfelt. Ved hvilken vinkel mellom feltet og flatens normalvektor er magnetisk fluks gjennom sløyfen størst?

📝Oppgave 4.30

Hva sier Gauss' lov for magnetisme om den totale magnetiske fluksen gjennom en lukket flate?

📝Oppgave 4.31

En rektangulær sløyfe med dimensjoner 15 cm × 25 cm er plassert i et uniformt magnetfelt på 0,45 T. Feltet står vinkelrett på sløyfens plan.

a) Beregn magnetisk fluks gjennom sløyfen.
b) Hva blir fluksen hvis sløyfen roteres slik at vinkelen mellom feltet og normalvektoren blir 30°?
c) Ved hvilken vinkel er fluksen halvparten av maksimalverdien?

📝Oppgave 4.32

En sirkulær sløyfe med radius 12 cm er plassert i jordens magnetfelt. Ved denne plasseringen er magnetfeltets horisontale komponent 20 µT og vertikale komponent 45 µT.

a) Beregn fluksen gjennom sløyfen når den ligger horisontalt (normalvektor peker oppover).
b) Beregn fluksen når sløyfen står vertikalt med normalvektor pekende mot nord (i retning av horisontalkomponenten).
c) I hvilken orientering er fluksen null?

📝Oppgave 4.33

En kvadratisk sløyfe med sidelengde 8,0 cm er plassert i et magnetfelt som peker vinkelrett inn i sløyfen. Magnetfeltet varierer med tiden slik:

- $t = 0$ : $B = 0,30$ T
- $t = 0,20$ s: $B = 0,80$ T
- $t = 0,50$ s: $B = 0,80$ T (konstant)
- $t = 0,70$ s: $B = 0$ T

a) Beregn fluks gjennom sløyfen ved $t = 0$ , $t = 0,20$ s og $t = 0,70$ s.
b) Beregn gjennomsnittlig endringsrate for fluksen i tidsintervallene [0, 0,20 s], [0,20 s, 0,50 s] og [0,50 s, 0,70 s].

📝Oppgave 4.34

En rektangulær sløyfe med areal 50 cm² roterer i et uniformt magnetfelt på 0,35 T. Sløyfen roterer med konstant vinkelhastighet slik at den fullfører én omdreining på 0,10 s.

a) Skriv et uttrykk for fluksen som funksjon av tiden, $\Phi(t)$ .
b) Beregn fluksen ved $t = 0$ , $t = 0,025$ s og $t = 0,050$ s.
c) Hva er maksimal og minimal fluks?

📝Oppgave 4.35

En flat spole med 150 vindinger og radius 5,0 cm er plassert i et magnetfelt. Aksen til spolen danner en vinkel på 25° med magnetfeltet. Magnetfeltet øker lineært fra 0 til 1,2 T i løpet av 0,30 s.

a) Beregn maksimal fluks gjennom én vinding.
b) Beregn faktisk fluks gjennom én vinding (med vinkelen).
c) Beregn total flukskobling gjennom spolen ved $t = 0,30$ s.
d) Beregn gjennomsnittlig endringsrate for flukskoblingen.

📝Oppgave 4.36

En rektangulær ledersløyfe med bredde 10 cm og lengde $L$ trekkes ut av et uniformt magnetfelt med konstant hastighet. Magnetfeltet er $B = 0,50$ T og peker vinkelrett inn i planet.

Sløyfen starter helt inne i feltet og trekkes ut på 0,40 s.

a) Hvor stor er fluksen før sløyfen begynner å trekkes ut?
b) Utled et uttrykk for fluksen som funksjon av tiden mens sløyfen trekkes ut.
c) Beregn endringsraten for fluksen.
d) Hvis lengden $L = 20$ cm, hvor raskt beveger sløyfen seg?

📝Oppgave 4.37

En liten spole med 50 vindinger og tverrsnittsareal 2,0 cm² plasseres inne i en lang solenoid. Solenoiden har 800 vindinger per meter og fører en strøm som varierer med tiden som $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ , der $I_0 = 3,0$ A og $\omega = 120\pi$ rad/s.

a) Finn uttrykket for magnetfeltet inne i solenoiden som funksjon av tiden.
b) Finn uttrykket for fluksen gjennom den lille spolen som funksjon av tiden.
c) Beregn maksimal fluks og maksimal endringsrate for fluksen.

📝Oppgave 4.38

En sirkulær spole med 80 vindinger og radius 6,0 cm roterer i et uniformt magnetfelt på 0,25 T. Spolen roterer med 50 omdreininger per sekund rundt en akse som er vinkelrett på magnetfeltet.

a) Beregn vinkelhastigheten i rad/s.
b) Skriv et uttrykk for flukskoblingen $\Psi(t)$ som funksjon av tiden.
c) Finn $\Psi$ ved $t = 0$ , $t = 5,0$ ms og $t = 10,0$ ms.
d) Beregn den deriverte $\displaystyle \frac{d\Psi}{dt}$ og finn dens maksimalverdi.

📝Oppgave 4.39

En fysikkstudent har tre måter å doble den induserte spenningen i en generator:

Alternativ A: Doble antall vindinger i spolen
Alternativ B: Doble rotasjonshastigheten
Alternativ C: Doble magnetfeltstyrken

a) Vis matematisk at alle tre alternativene gir dobbel indusert spenning.
b) Hvilke praktiske begrensninger har hvert alternativ?
c) Hvis den opprinnelige maksimale flukskoblingen er $\Psi_0 = 0,50$ Wb og vinkelhastigheten er $\omega_0 = 100$ rad/s, hva er maksimal indusert spenning før og etter hver endring?

Oppsummering

Magnetisk fluks:
$\Phi = BA\cos\theta$

- $\Phi$ = magnetisk fluks [Wb]
- $B$ = magnetfeltstyrke [T]
- $A$ = areal [m²]
- $\theta$ = vinkel mellom $\vec{B}$ og normalvektoren

Enhet Weber:
$1 \text{ Wb} = 1 \text{ T} \cdot \text{m}^2$

Fluks og vinkel:
- $\theta = 0°$ : Maksimal fluks ( $\Phi = BA$ )
- $\theta = 90°$ : Null fluks ( $\Phi = 0$ )
- Fluksen varierer som $\cos\theta$

Flukskobling (spole med N vindinger):
$\Psi = N\Phi = NBA\cos\theta$

Gauss' lov for magnetisme:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$

- Total fluks gjennom lukket flate er alltid null
- Ingen magnetiske monopoler eksisterer
- Feltlinjer danner alltid lukkede kurver

Fluksendring – grunnlag for induksjon:

Fluksen kan endres ved å endre:
- Magnetfeltstyrken $B$
- Arealet $A$
- Vinkelen $\theta$

Endringsraten:
$\frac{d\Phi}{dt} \text{ eller } \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Neste kapittel:
Du skal lære Faradays induksjonslov:
$\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt}$

Endring i fluks induserer elektrisk spenning – grunnlaget for generatorer, transformatorer og mye av moderne teknologi!

Vinkel

\theta

\cos\theta

Fluks

\Phi

0°

1,00

BA

(maks)

30°

0,87

0,87 \cdot BA

45°

0,71

0,71 \cdot BA

60°

0,50

0,50 \cdot BA

90°

0,00

0 (null)