4.3 Bevegelsesmengde og støt

Bevegelsesmengde, impuls, bevaring av bevegelsesmengde, elastiske og uelastiske støt.

75 min

12 oppgaver

BevegelsesmengdeImpulsImpuls-bevegelsesmengde-teoremetElastisk støtUelastisk støt

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Bevegelsesmengde og støt

Tenk deg en lastebil og en personbil som kjører med samme fart. Hvilken er vanskeligst å stoppe? Selv om begge har samme kinetisk energi per kilogram masse, krever lastebilen mye mer kraft for å stoppe.

Dette viser at det finnes en annen viktig størrelse ved bevegelse: bevegelsesmengde.

Nøkkelspørsmål:
- Hva er bevegelsesmengde?
- Hva skjer med bevegelsesmengde ved kollisjoner?
- Hvordan kan vi analysere støt mellom objekter?

Bevegelsesmengde er en av de viktigste bevaringsstørrelsene i fysikken, på linje med energi.

Bevegelsesmengde

Bevegelsesmengde (også kalt momentum eller fart-mengde) beskriver hvor mye "bevegelse" et objekt har.

Bevegelsesmengde

\vec{p}

Forståelse av bevegelsesmengde

Størrelse vs. retning

Størrelsen av bevegelsesmengden er:

$p = mv$

Retningen er samme som hastighetens retning.

Sammenligning med kinetisk energi

Både bevegelsesmengde og kinetisk energi beskriver bevegelse, men de er forskjellige:

Egenskap	Bevegelsesmengde $p = mv$	Kinetisk energi $\displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2$
Type	Vektor	Skalar
Avhengighet av $v$	Lineær	Kvadratisk
Retning	Ja	Nei
Bevaringslov	Alltid (lukket system)	Med konservative krefter

Eksempel:
To biler kjører mot hverandre med samme fart:
- Kinetisk energi: Begge har positiv

E_k

, totalt

E_{k,tot} = 2E_k

- Bevegelsesmengde: Motsatt retning, totalt

\vec{p}_{tot} = \vec{0}

(kansellerer!)

Hvorfor er bevegelsesmengde viktig?

1. Beskriver motstanden mot endring i bevegelse:

- Stort $p$ → vanskelig å stoppe
- Lite $p$ → lett å stoppe
2. Bevares alltid (i lukkede systemer):

- Gjør at vi kan analysere kollisjoner

- Gjelder alltid, selv med friksjon!
3. Relatert til kraft:
- Newtons andre lov: $\displaystyle \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$ (kraft = endring i bevegelsesmengde per tid)

✏️Eksempel: Beregning av bevegelsesmengde

Beregn bevegelsesmengden til:
a) En fotball med masse 0.43 kg som beveger seg med fart 20 m/s
b) En bil med masse 1200 kg som kjører i 25 m/s
c) Et stillestående tre (masse 500 kg)

a) Fotball:

$p = mv = 0.43 \cdot 20 = 8.6 \text{ kg·m/s}$

b) Bil:

$p = mv = 1200 \cdot 25 = 30\,000 \text{ kg·m/s}$

c) Stillestående tre:

$p = mv = 500 \cdot 0 = 0 \text{ kg·m/s}$

Sammenligning:

Selv om fotballen har mye høyere fart, har bilen ca. 3500 ganger så stor bevegelsesmengde! Dette viser at massen har stor betydning.

Impuls

Impuls er endring i bevegelsesmengde, og er relatert til kraft og tid.

Impuls

\vec{J}

Forståelse av impuls

Utledning

Fra Newtons andre lov:

$\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

Multipliser med $\Delta t$ :

$\vec{F} \cdot \Delta t = m\Delta \vec{v} = \Delta(m\vec{v}) = \Delta \vec{p}$

Altså: Impuls = endring i bevegelsesmengde

Kraft vs. tid

For samme endring i bevegelsesmengde kan vi ha:

Stor kraft, kort tid:
- Eksempel: Hamre en spiker
- $F$ stor, $\Delta t$ liten → $J = F \Delta t$ kan være moderat

Liten kraft, lang tid:
- Eksempel: Dytte en bil i gang
- $F$ liten, $\Delta t$ stor → $J = F \Delta t$ kan være samme

Praktisk betydning:

For å redusere kraften må vi øke tiden!

Eksempel: Sikkerhetsutstyr

Uten airbag:
- Kort stoppetid (0.01 s)
- Stor kraft på passasjer
- Stor risiko for skade

Med airbag:
- Lang stoppetid (0.2 s)
- Liten kraft på passasjer
- Redusert skaderisiko

Impulsen (endring i bevegelsesmengde) er den samme, men kraften er mye mindre!

Impuls og diagram

Hvis kraften varierer med tiden, er impulsen arealet under kraft-tid-grafen:

$J = \int F \, dt$

For konstant kraft: $J = F \cdot \Delta t$ (rektangel)

✏️Eksempel: Impuls og kraft

En fotball med masse 0.43 kg er i ro. En spiller sparker ballen med en kraft på 300 N i 0.020 s.
a) Hvor stor impuls får ballen?
b) Hva blir ballens fart etter sparket?

Gitt:
- Masse:

m = 0.43

kg
- Kraft:

F = 300

N
- Tid:

\Delta t = 0.020

s
- Startfart:

v_0 = 0

m/s

a) Impuls:

$J = F \cdot \Delta t = 300 \cdot 0.020 = 6.0 \text{ N·s}$

Svar a): 6.0 N·s

b) Fart etter spark:

Impuls = endring i bevegelsesmengde:

$J = \Delta p = p_{slutt} - p_{start} = mv - 0$

$6.0 = 0.43 \cdot v$

$v = \frac{6.0}{0.43} = 14.0 \text{ m/s}$

Svar b): 14 m/s

✏️Eksempel: Airbag-effekt

En passasjer med masse 70 kg i en bil som kjører i 20 m/s (72 km/h) kolliderer med en vegg. Sammenlign kraften på passasjeren:
a) Uten airbag (stoppetid 0.010 s)
b) Med airbag (stoppetid 0.15 s)

Gitt:
- Masse:

m = 70

kg
- Startfart:

v_0 = 20

m/s
- Sluttfart:

v = 0

m/s

Endring i bevegelsesmengde:

$\Delta p = p_{slutt} - p_{start} = 0 - mv_0 = -70 \cdot 20 = -1400 \text{ kg·m/s}$

(Negativ fordi bevegelsesmengden synker)

Impulsen (i størrelse): $J = 1400$ N·s

a) Uten airbag ( $\Delta t = 0.010$ s):

$F = \frac{J}{\Delta t} = \frac{1400}{0.010} = 140\,000 \text{ N} = 140 \text{ kN}$

b) Med airbag ( $\Delta t = 0.15$ s):

$F = \frac{J}{\Delta t} = \frac{1400}{0.15} = 9333 \text{ N} \approx 9.3 \text{ kN}$

Sammenligning:

Kraften med airbag er ca. 15 ganger mindre enn uten!

Tolkning:

- 140 kN tilsvarer en vekt på 14 000 kg (14 tonn) → Dødelig
- 9.3 kN tilsvarer en vekt på 930 kg (ca. 1 tonn) → Overlevbart

Dette viser hvorfor airbags redder liv!

Bevaring av bevegelsesmengde

Dette er et av de viktigste prinsippene i fysikken!

📜Bevaring av bevegelsesmengde

I et lukket system (ingen ytre krefter) er den totale bevegelsesmengden konstant:

$\vec{p}_{total} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \cdots = \text{konstant}$

For to objekter:

$\vec{p}_{1,før} + \vec{p}_{2,før} = \vec{p}_{1,etter} + \vec{p}_{2,etter}$

eller

$m_1\vec{v}_{1,før} + m_2\vec{v}_{2,før} = m_1\vec{v}_{1,etter} + m_2\vec{v}_{2,etter}$

Dette gjelder ALLTID i lukkede systemer, selv med friksjon, varme, deformasjon osv.

Forståelse av bevaring

Hvorfor bevares bevegelsesmengde?

Fra Newtons tredje lov: Aksjon = reaksjon

Når to objekter kolliderer:
- Objekt 1 utøver kraft $\vec{F}_{12}$ på objekt 2
- Objekt 2 utøver kraft $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$ på objekt 1

Kreftene er like store, men motsatt rettet.

Impuls på objekt 1:
$\vec{J}_1 = \vec{F}_{21} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}_1$

Impuls på objekt 2:
$\vec{J}_2 = \vec{F}_{12} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}_2$

Siden $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$ :

$\vec{J}_1 = -\vec{J}_2$

$\Delta \vec{p}_1 = -\Delta \vec{p}_2$

$\Delta \vec{p}_1 + \Delta \vec{p}_2 = 0$

Altså: Total bevegelsesmengde endres ikke!

Lukket vs. åpent system

Lukket system:
- Ingen ytre krefter (eller ytre krefter kansellerer)
- $\vec{p}_{total} = \text{konstant}$

Åpent system:
- Ytre krefter virker
- $\vec{p}_{total}$ kan endre seg
- Men: $\displaystyle \vec{F}_{ytre} = \frac{d\vec{p}_{total}}{dt}$

Når gjelder bevaring?

Bevaring av bevegelsesmengde gjelder alltid i lukkede systemer, uavhengig av:
- Om kollisjonen er elastisk eller uelastisk
- Om det er friksjon
- Om objektene deformeres
- Om energi omdannes til varme

Dette gjør bevaring av bevegelsesmengde ekstremt kraftig!

✏️Eksempel: Kollisjon på rett linje

En vogn med masse 2.0 kg beveger seg med fart 3.0 m/s og kolliderer med en stillestående vogn med masse 3.0 kg. Etter kollisjonen hekter vognene seg sammen. Finn farten til vognene etter kollisjonen.

Gitt:
- Vogn 1:

m_1 = 2.0

kg,

v_{1,før} = 3.0

m/s
- Vogn 2:

m_2 = 3.0

kg,

v_{2,før} = 0

m/s
- Etter kollisjon: Vognene henger sammen, felles fart

v_{etter}

Søkt: $v_{etter}$

Løsning:

Bevaring av bevegelsesmengde:

$p_{før} = p_{etter}$

$m_1 v_{1,før} + m_2 v_{2,før} = (m_1 + m_2) v_{etter}$

$2.0 \cdot 3.0 + 3.0 \cdot 0 = (2.0 + 3.0) \cdot v_{etter}$

$6.0 = 5.0 \cdot v_{etter}$

$v_{etter} = \frac{6.0}{5.0} = 1.2 \text{ m/s}$

Svar: Vognene beveger seg med 1.2 m/s etter kollisjonen.

Sjekk energi:

Kinetisk energi før:
$E_{k,før} = \frac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot 3.0^2 = 9.0 \text{ J}$

Kinetisk energi etter:
$E_{k,etter} = \frac{1}{2} \cdot 5.0 \cdot 1.2^2 = 3.6 \text{ J}$

Energi tapt: $9.0 - 3.6 = 5.4$ J (omdannet til varme og deformasjon)

Merk: Bevegelsesmengde bevares (6.0 = 6.0), men kinetisk energi bevares IKKE!

Typer kollisjoner

Vi skiller mellom to hovedtyper kollisjoner basert på hva som skjer med kinetisk energi.

Elastisk støt

E_{k,før} = E_{k,etter}

Uelastisk støt

E_{k,etter} < E_{k,før}

Sammenligning av støttyper

Egenskap	Elastisk	Uelastisk	Fullstendig uelastisk
Bevegelsesmengde	Bevares ✓	Bevares ✓	Bevares ✓
Kinetisk energi	Bevares ✓	Synker ✗	Synker mest ✗✗
Energi tapt	0 J	Noe	Mest mulig (gitt massene)
Objekter etter	Separate	Separate	Henger sammen
Eksempel	Billiardballer	Bildekk mot vegg	Bil-kollisjon

Viktig: I ALLE kollisjoner bevares bevegelsesmengde (i lukkede systemer)!

Hvor går energien?

I uelastiske støt omdannes kinetisk energi til:
- Varme (molekylene beveger seg raskere)
- Lyd (trykkbølger)
- Deformasjon (permanent endring i form)

- Vibrasjoner (indre bevegelser)

Den totale energien bevares alltid (energibevaringsloven), men mekanisk energi gjør det ikke!

✏️Eksempel: Elastisk støt

To identiske vogner (masse 1.0 kg hver) kolliderer elastisk på en friksjonsfri bane. Vogn 1 har fart 4.0 m/s, vogn 2 er i ro. Finn fartene etter kollisjonen.

Gitt:
- Begge vogner:

m = 1.0

kg
- Før:

v_1 = 4.0

m/s,

v_2 = 0

m/s
- Elastisk støt

Søkt: $v_1'$ og $v_2'$ (farter etter)

Løsning:

Bevaring av bevegelsesmengde:

$mv_1 + mv_2 = mv_1' + mv_2'$

$v_1 + v_2 = v_1' + v_2'$

$4.0 + 0 = v_1' + v_2'$

$v_1' + v_2' = 4.0 \quad \text{(1)}$

Bevaring av kinetisk energi:

$\frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2}m{v_1'}^2 + \frac{1}{2}m{v_2'}^2$

$v_1^2 + v_2^2 = {v_1'}^2 + {v_2'}^2$

$16 + 0 = {v_1'}^2 + {v_2'}^2$

${v_1'}^2 + {v_2'}^2 = 16 \quad \text{(2)}$

Fra (1): $v_1' = 4.0 - v_2'$

Sett inn i (2):

$(4.0 - v_2')^2 + {v_2'}^2 = 16$

$16 - 8.0v_2' + {v_2'}^2 + {v_2'}^2 = 16$

$2{v_2'}^2 - 8.0v_2' = 0$

$v_2'(2v_2' - 8.0) = 0$

$v_2' = 0 \quad \text{eller} \quad v_2' = 4.0$

$v_2' = 0$ er før-situasjonen (triviell).

$v_2' = 4.0 \text{ m/s}$

Fra (1):
$v_1' = 4.0 - 4.0 = 0 \text{ m/s}$

Svar:
- Vogn 1: 0 m/s (stopper)
- Vogn 2: 4.0 m/s (overtar all farten)

Tolkning: Dette er typisk for elastiske støt mellom like masser - de "bytter" farter!

✏️Eksempel: Eksplosjoner

En granat med masse 2.0 kg ligger i ro. Den eksploderer i to deler: del A (1.2 kg) flyr mot øst med fart 30 m/s. Finn farten til del B (0.8 kg).

Gitt:
- Total masse:

m = 2.0

kg
- Del A:

m_A = 1.2

kg,

v_A = 30

m/s (øst)
- Del B:

m_B = 0.8

kg
- Før eksplosjon:

v_0 = 0

m/s

Søkt: $v_B$

Løsning:

Bevaring av bevegelsesmengde (tar øst som positiv retning):

$p_{før} = p_{etter}$

$0 = m_A v_A + m_B v_B$

$0 = 1.2 \cdot 30 + 0.8 \cdot v_B$

$0 = 36 + 0.8 v_B$

$v_B = -\frac{36}{0.8} = -45 \text{ m/s}$

Svar: Del B flyr med fart 45 m/s mot vest (negativt fortegn).

Tolkning: Bevegelsesmengden før eksplosjonen var null, så den må også være null etter. De to delene har motsatt rettet bevegelsesmengde som kansellerer.

Todimensjonale kollisjoner

Bevaring av bevegelsesmengde gjelder også i to (og tre) dimensjoner. Vi må da bevare hver komponent separat.

Prinsipp:

$\vec{p}_{før} = \vec{p}_{etter}$

Komponentform:

$p_{x,før} = p_{x,etter}$
$p_{y,før} = p_{y,etter}$

Dette gir to ligninger som må løses samtidig.

✏️Eksempel: Todimensjonal kollisjon

En bil med masse 1000 kg kjører nordover med fart 20 m/s. Den kolliderer med en annen bil med masse 1500 kg som kjører østover med fart 15 m/s. Bilene hekter seg sammen. Finn farten og retningen til vrakket.

Gitt:
- Bil 1:

m_1 = 1000

kg,

v_1 = 20

m/s (nord)
- Bil 2:

m_2 = 1500

kg,

v_2 = 15

m/s (øst)

Koordinatsystem: x = øst, y = nord

Før kollisjon:

Bil 1: $p_{1x} = 0$ , $p_{1y} = 1000 \cdot 20 = 20\,000$ kg·m/s

Bil 2: $p_{2x} = 1500 \cdot 15 = 22\,500$ kg·m/s, $p_{2y} = 0$

Total bevegelsesmengde:

$p_{x,før} = 0 + 22\,500 = 22\,500 \text{ kg·m/s}$
$p_{y,før} = 20\,000 + 0 = 20\,000 \text{ kg·m/s}$

Etter kollisjon:

Total masse: $m_{tot} = 1000 + 1500 = 2500$ kg

Bevaring i x-retning:
$p_{x,etter} = p_{x,før}$
$m_{tot} v_x = 22\,500$
$v_x = \frac{22\,500}{2500} = 9.0 \text{ m/s}$

Bevaring i y-retning:
$p_{y,etter} = p_{y,før}$
$m_{tot} v_y = 20\,000$
$v_y = \frac{20\,000}{2500} = 8.0 \text{ m/s}$

Fart:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{9.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{81 + 64} = \sqrt{145} = 12.0 \text{ m/s}$

Retning:

$\theta = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right) = \arctan\left(\frac{8.0}{9.0}\right) = \arctan(0.889) = 41.6°$

Svar: Vrakket beveger seg med 12.0 m/s i retning 41.6° nord for øst.

Bevegelsesmengde:
-

\vec{p} = m\vec{v}

- Vektorstørrelse (retning viktig!)
- Måler "mengden bevegelse"

Impuls:
- $\vec{J} = \vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p}$
- Endring i bevegelsesmengde
- Stor kraft, kort tid = liten kraft, lang tid

Bevaring av bevegelsesmengde:
- $\vec{p}_{før} = \vec{p}_{etter}$ (lukket system)
- Gjelder ALLTID, selv med friksjon og energitap
- Gjelder i alle retninger (separat i x, y, z)

Elastisk støt:
- Bevegelsesmengde bevares ✓
- Kinetisk energi bevares ✓
- Sjelden i virkeligheten

Uelastisk støt:
- Bevegelsesmengde bevares ✓
- Kinetisk energi synker ✗
- Vanlig i virkeligheten

Fullstendig uelastisk:
- Objekter henger sammen etter
- Mest energitap mulig (gitt massene)

Praktiske anvendelser:
- Kollisjonsanalyse (bil, fly, skip)
- Sikkerhetsutstyr (airbag, hjelm)
- Raketter og eksplosjoner
- Partikkelfysikk

Oppgaver

Lett3 oppgaver

1Opplasting

2Opplasting

3Opplasting

Medium4 oppgaver

4Opplasting

5Opplasting

6Opplasting

7Opplasting

Vanskelig5 oppgaver

8Opplasting

9Opplasting

10Opplasting

11Opplasting

12Opplasting

Bevegelsesmengde og støt

Dette viser at det finnes en annen viktig størrelse ved bevegelse: bevegelsesmengde.

Nøkkelspørsmål:
- Hva er bevegelsesmengde?
- Hva skjer med bevegelsesmengde ved kollisjoner?
- Hvordan kan vi analysere støt mellom objekter?

Bevegelsesmengde er en av de viktigste bevaringsstørrelsene i fysikken, på linje med energi.

Egenskap

Bevegelsesmengde

p = mv

Kinetisk energi

\displaystyle E_k = \frac{1}{2}mv^2

Type

Vektor

Skalar

Avhengighet av

v

Lineær

Kvadratisk

Retning

Nei

Bevaringslov

Alltid (lukket system)

Med konservative krefter

Forståelse av impuls

Utledning

Fra Newtons andre lov:

$\vec{F} = m\vec{a} = m\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

Multipliser med $\Delta t$ :

$\vec{F} \cdot \Delta t = m\Delta \vec{v} = \Delta(m\vec{v}) = \Delta \vec{p}$

Altså: Impuls = endring i bevegelsesmengde

Kraft vs. tid

For samme endring i bevegelsesmengde kan vi ha:

Stor kraft, kort tid:
- Eksempel: Hamre en spiker
- $F$ stor, $\Delta t$ liten → $J = F \Delta t$ kan være moderat

Liten kraft, lang tid:
- Eksempel: Dytte en bil i gang
- $F$ liten, $\Delta t$ stor → $J = F \Delta t$ kan være samme

Praktisk betydning:

For å redusere kraften må vi øke tiden!

Eksempel: Sikkerhetsutstyr

Uten airbag:
- Kort stoppetid (0.01 s)
- Stor kraft på passasjer
- Stor risiko for skade

Med airbag:
- Lang stoppetid (0.2 s)
- Liten kraft på passasjer
- Redusert skaderisiko

Impulsen (endring i bevegelsesmengde) er den samme, men kraften er mye mindre!

Impuls og diagram

Hvis kraften varierer med tiden, er impulsen arealet under kraft-tid-grafen:

$J = \int F \, dt$

For konstant kraft: $J = F \cdot \Delta t$ (rektangel)

Egenskap

Elastisk

Uelastisk

Fullstendig uelastisk

Bevegelsesmengde

Bevares ✓

Kinetisk energi

Bevares ✓

Synker ✗

Synker mest ✗✗

Energi tapt

0 J

Noe

Mest mulig (gitt massene)

Objekter etter

Separate

Henger sammen

Eksempel

Billiardballer

Bildekk mot vegg

Bil-kollisjon

Todimensjonale kollisjoner

Bevaring av bevegelsesmengde gjelder også i to (og tre) dimensjoner. Vi må da bevare hver komponent separat.

Prinsipp:

\vec{p}_{før} = \vec{p}_{etter}

Komponentform:

p_{x,før} = p_{x,etter}

p_{y,før} = p_{y,etter}

Dette gir to ligninger som må løses samtidig.