4.2 Potensiell energi og energibevaring

Gravitasjonell og elastisk potensiell energi, mekanisk energibevaring.

75 min

12 oppgaver

Potensiell energiGravitasjonell energiElastisk energiEnergibevaringKonservative krefter

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Potensiell energi og energibevaring

Tenk deg en stein på toppen av et fjell. Selv om steinen ligger stille, har den potensiell til å utføre arbeid hvis den faller ned. Denne energien kaller vi potensiell energi.

Nøkkelspørsmål:
- Hva er potensiell energi?
- Hvordan endres energi mellom forskjellige former?
- Når bevares den totale mekaniske energien?

I dette kapittelet skal vi se på to typer potensiell energi:
1. Gravitasjonell potensiell energi (på grunn av høyde)
2. Elastisk potensiell energi (på grunn av sammentrykning/strekking)

Gravitasjonell potensiell energi

Når du løfter et objekt, utfører du arbeid mot tyngdekraften. Dette arbeidet lagres som gravitasjonell potensiell energi.

Gravitasjonell potensiell energi

E_p

Forståelse av formelen

Utledning

Når vi løfter et objekt med masse $m$ en høyde $h$ med konstant hastighet, må vi utøve en kraft lik tyngdekraften:

$F = mg$

Arbeidet vi utfører er:

$W = F \cdot h = mgh$

Dette arbeidet lagres som potensiell energi:

$E_p = mgh$

Referansenivå

Potensiell energi måles alltid i forhold til et valgt referansenivå. Du kan velge referansenivået fritt:

Eksempel: En bok på et bord 1 m over gulvet.

- Hvis gulvet er referansenivå: $E_p = mg \cdot 1$ m
- Hvis bordet er referansenivå: $E_p = 0$ J
- Hvis kjellergulvet (1 m under gulvet) er referansenivå: $E_p = mg \cdot 2$ m

Viktig: Det som betyr noe fysisk er endringer i potensiell energi, ikke den absolutte verdien.

Endring i potensiell energi

Når et objekt endrer høyde fra $h_1$ til $h_2$ :

$\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1} = mgh_2 - mgh_1 = mg(h_2 - h_1) = mg\Delta h$

Denne endringen er uavhengig av valg av referansenivå!

✏️Eksempel: Beregning av potensiell energi

En stein med masse 2.0 kg ligger på toppen av en klippe 50 m over havet. Beregn steinens potensielle energi hvis:
a) Havoverflaten er referansenivå
b) Bunnen av klippen er referansenivå
c) Steinens endring i potensiell energi hvis den faller 20 m

Gitt:
- Masse:

m = 2.0

kg
- Høyde over havet:

h = 50

m
-

g = 9.81

m/s²

a) Havoverflaten som referanse:

$E_p = mgh = 2.0 \cdot 9.81 \cdot 50 = 981 \text{ J}$

Svar a): 981 J

b) Bunnen av klippen som referanse:

$E_p = mgh = 2.0 \cdot 9.81 \cdot 0 = 0 \text{ J}$

Svar b): 0 J

c) Endring i potensiell energi ved fall 20 m:

Uavhengig av referansenivå:

$\Delta E_p = mg\Delta h = 2.0 \cdot 9.81 \cdot (-20) = -392.4 \text{ J}$

(Negativ fordi høyden synker)

Svar c): -392 J (eller: Energien synker med 392 J)

Tolkning: Den absolutte verdien av potensiell energi avhenger av referansenivået, men endringen er alltid den samme!

Elastisk potensiell energi

Når du strekker eller komprimerer en fjær, utfører du arbeid. Dette arbeidet lagres som elastisk potensiell energi i fjæren.

Hookes lov

For en ideal fjær er kraften proporsjonal med utstrekningen:

$F = kx$

der:
- $F$ er kraften som strekker/komprimerer fjæren (N)
- $k$ er fjærkonstanten (N/m) - et mål på hvor "stiv" fjæren er
- $x$ er utstrekningen fra likevektslengden (m)

Elastisk potensiell energi

E_p

Utledning av formelen

Når vi strekker en fjær fra $x = 0$ til $x = x_0$ , varierer kraften fra 0 til $kx_0$ .

Gjennomsnittskraft:

$F_{gjennomsnitt} = \frac{0 + kx_0}{2} = \frac{kx_0}{2}$

Arbeid utført:

$W = F_{gjennomsnitt} \cdot x_0 = \frac{kx_0}{2} \cdot x_0 = \frac{1}{2}kx_0^2$

Dette arbeidet lagres som elastisk potensiell energi.

Fjærkonstanten

Fjærkonstanten $k$ måler hvor stiv fjæren er:

- Stor $k$ : Stiv fjær (vanskelig å strekke)
- Liten $k$ : Myk fjær (lett å strekke)

Enhet: N/m (Newton per meter)

Eksempler:
- Bildempere: $k \approx 20\,000$ N/m
- Vanlig spiralfjær: $k \approx 100$ N/m
- Myk fjær: $k \approx 10$ N/m

✏️Eksempel: Elastisk potensiell energi

En fjær med fjærkonstant 200 N/m komprimeres 15 cm.
a) Hvor stor kraft må til for å holde fjæren komprimert?
b) Hvor stor er den elastiske potensielle energien?

Gitt:
- Fjærkonstant:

k = 200

N/m
- Kompresjon:

x = 15

cm = 0.15 m

a) Kraft for å holde fjæren komprimert:

Fra Hookes lov:

$F = kx = 200 \cdot 0.15 = 30 \text{ N}$

Svar a): 30 N

b) Elastisk potensiell energi:

$E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0.15)^2$

$E_p = 100 \cdot 0.0225 = 2.25 \text{ J}$

Svar b): 2.25 J

Tolkning: Hvis fjæren slippes, vil denne energien overføres til kinetisk energi.

Mekanisk energi og energibevaring

Mekanisk energi er summen av kinetisk og potensiell energi:

$E_{mek} = E_k + E_p$

Spørsmål: Hva skjer med den mekaniske energien når objekter beveger seg?

📜Prinsippet om mekanisk energibevaring

Hvis bare konservative krefter virker på et system, er den totale mekaniske energien konstant:

$E_{mek} = E_k + E_p = \text{konstant}$

eller

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,2} + E_{p,2}$

Dette betyr:
- Kinetisk energi kan omdannes til potensiell energi
- Potensiell energi kan omdannes til kinetisk energi
- Den totale mengden mekanisk energi forblir uendret

Forståelse av energibevaring

Konservative krefter

En kraft er konservativ hvis arbeidet den utfører kun avhenger av start- og sluttposisjon, ikke av veien mellom dem.

Eksempler på konservative krefter:
- Gravitasjonskraft (tyngdekraft)
- Fjærkraft
- Elektrisk kraft (kommer i Fysikk 2)

Egenskap: For konservative krefter kan vi definere en potensiell energi.

Ikke-konservative krefter

En kraft er ikke-konservativ hvis arbeidet avhenger av veien.

Eksempler på ikke-konservative krefter:
- Friksjon
- Luftmotstand
- Normal kraft (utfører vanligvis null arbeid)

Egenskap: Ikke-konservative krefter omdanner mekanisk energi til andre former (varme, lyd, deformasjon).

Energibevaring med friksjon

Hvis friksjon er til stede, synker den mekaniske energien:

$E_{mek,2} = E_{mek,1} - W_{friksjon}$

eller

$E_{k,2} + E_{p,2} = E_{k,1} + E_{p,1} - W_{friksjon}$

Energien forsvinner ikke - den omdannes til varme!

Total energibevaring

Den totale energien i universet er alltid bevart:

$E_{total} = E_{mek} + E_{varme} + E_{lyd} + \cdots = \text{konstant}$

Dette er termodynamikkens første lov (energibevaringsloven).

✏️Eksempel: Fallende stein (mekanisk energibevaring)

En stein med masse 0.50 kg slippes fra ro på en høyde av 20 m. Finn steinens fart rett før den treffer bakken. Ignorer luftmotstand.

Gitt:
- Masse:

m = 0.50

kg
- Starthøyde:

h_1 = 20

m
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
- Slutthøyde:

h_2 = 0

m
- Ingen friksjon
-

g = 9.81

m/s²

Søkt: Sluttfart $v_2$

Løsning:

Vi bruker mekanisk energibevaring:

$E_{mek,1} = E_{mek,2}$

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,2} + E_{p,2}$

Situasjon 1 (topp):
- $\displaystyle E_{k,1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = 0$ (i ro)
- $E_{p,1} = mgh_1 = 0.50 \cdot 9.81 \cdot 20 = 98.1$ J

Situasjon 2 (bunn):
- $\displaystyle E_{k,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$
- $E_{p,2} = mgh_2 = 0$ (referansenivå)

Energibevaring:

$0 + 98.1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + 0$

$98.1 = \frac{1}{2} \cdot 0.50 \cdot v_2^2$

$98.1 = 0.25 v_2^2$

$v_2^2 = \frac{98.1}{0.25} = 392.4$

$v_2 = \sqrt{392.4} = 19.8 \text{ m/s}$

Svar: Farten rett før bakken er 19.8 m/s (≈ 20 m/s).

Alternativ metode (kinematikk):

$v^2 = v_0^2 + 2gh = 0 + 2 \cdot 9.81 \cdot 20 = 392.4$
$v = 19.8$ m/s ✓

Tolkning: All potensiell energi (98.1 J) omdannes til kinetisk energi (98.1 J).

✏️Eksempel: Pendel (energiomdanning)

En pendel med masse 0.20 kg slippes fra ro i en høyde 0.50 m over det laveste punktet. Finn:
a) Pendulens fart i det laveste punktet
b) Høyden når farten er 2.0 m/s

Gitt:
- Masse:

m = 0.20

kg
- Starthøyde:

h_1 = 0.50

m (over laveste punkt)
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
-

g = 9.81

m/s²

a) Fart i laveste punkt:

Situasjon 1 (start, høyt):
- $E_{k,1} = 0$
- $E_{p,1} = mgh_1 = 0.20 \cdot 9.81 \cdot 0.50 = 0.981$ J

Situasjon 2 (laveste punkt):
- $\displaystyle E_{k,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$
- $E_{p,2} = 0$ (referansenivå)

Energibevaring:

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,2} + E_{p,2}$

$0 + 0.981 = \frac{1}{2} \cdot 0.20 \cdot v_2^2 + 0$

$0.981 = 0.10 v_2^2$

$v_2^2 = 9.81$

$v_2 = 3.13 \text{ m/s}$

Svar a): 3.1 m/s

b) Høyde når farten er 2.0 m/s:

Situasjon 3 (underveis):
- $\displaystyle E_{k,3} = \frac{1}{2}mv_3^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.20 \cdot 2.0^2 = 0.40$ J
- $E_{p,3} = mgh_3 = 0.20 \cdot 9.81 \cdot h_3$

Energibevaring:

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,3} + E_{p,3}$

$0 + 0.981 = 0.40 + 0.20 \cdot 9.81 \cdot h_3$

$0.981 = 0.40 + 1.962 h_3$

$0.581 = 1.962 h_3$

$h_3 = \frac{0.581}{1.962} = 0.296 \text{ m}$

Svar b): 0.30 m

Tolkning: I en pendel skjer kontinuerlig omdanning mellom kinetisk og potensiell energi. Den totale mekaniske energien (0.981 J) forblir konstant.

✏️Eksempel: Fjær og gravitasjon

En kloss med masse 2.0 kg plasseres på en vertikal fjær med fjærkonstant 500 N/m. Klossen slippes fra ro når fjæren er ukomprimert. Hvor langt komprimeres fjæren før klossen stopper?

Gitt:
- Masse:

m = 2.0

kg
- Fjærkonstant:

k = 500

N/m
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
- Sluttfart:

v_2 = 0

m/s
-

g = 9.81

m/s²

Søkt: Maksimal kompresjon $x$

Løsning:

La referansenivået for gravitasjonell potensiell energi være der fjæren er maksimalt komprimert.

Situasjon 1 (start, fjær ukomprimert):
- $E_{k,1} = 0$ (i ro)
- $E_{p,grav,1} = mgx$ (høyde $x$ over referanse)
- $E_{p,elastisk,1} = 0$ (fjær ukomprimert)

Situasjon 2 (bunn, fjær komprimert $x$ ):
- $E_{k,2} = 0$ (stopper)
- $E_{p,grav,2} = 0$ (referansenivå)
- $\displaystyle E_{p,elastisk,2} = \frac{1}{2}kx^2$

Energibevaring:

$E_{k,1} + E_{p,grav,1} + E_{p,elastisk,1} = E_{k,2} + E_{p,grav,2} + E_{p,elastisk,2}$

$0 + mgx + 0 = 0 + 0 + \frac{1}{2}kx^2$

$mgx = \frac{1}{2}kx^2$

Del med $x$ (siden $x \neq 0$ ):

$mg = \frac{1}{2}kx$

$x = \frac{2mg}{k} = \frac{2 \cdot 2.0 \cdot 9.81}{500} = \frac{39.24}{500} = 0.078 \text{ m} = 7.8 \text{ cm}$

Svar: Fjæren komprimeres 7.8 cm.

Tolkning: Gravitasjonell potensiell energi omdannes til elastisk potensiell energi.

Energibevaring med friksjon

Når friksjon er til stede, omdannes mekanisk energi til varme. Den mekaniske energien synker.

Modifisert energiligning:

$E_{mek,slutt} = E_{mek,start} - W_{friksjon}$

eller

$E_{k,slutt} + E_{p,slutt} = E_{k,start} + E_{p,start} - |W_{friksjon}|$

Viktig: $W_{friksjon}$ er alltid negativ (mot bevegelsen), så vi trekker fra beløpet.

✏️Eksempel: Sklie med friksjon

En kjelke med masse 10 kg sklir ned en bakke med høyde 5.0 m. Friksjonen utfører -200 J arbeid. Finn kjelkens fart ved bunnen av bakken hvis den starter fra ro.

Gitt:
- Masse:

m = 10

kg
- Høydeendring:

\Delta h = 5.0

m
- Arbeid fra friksjon:

W_f = -200

J
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
-

g = 9.81

m/s²

Søkt: Sluttfart $v_2$

Løsning:

Situasjon 1 (topp):
- $E_{k,1} = 0$
- $E_{p,1} = mgh = 10 \cdot 9.81 \cdot 5.0 = 490.5$ J

Situasjon 2 (bunn):
- $\displaystyle E_{k,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$
- $E_{p,2} = 0$

Energiligning med friksjon:

$E_{k,2} + E_{p,2} = E_{k,1} + E_{p,1} + W_f$

$\frac{1}{2}mv_2^2 + 0 = 0 + 490.5 - 200$

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot v_2^2 = 290.5$

$5v_2^2 = 290.5$

$v_2^2 = 58.1$

$v_2 = 7.62 \text{ m/s}$

Svar: Sluttfarten er 7.6 m/s.

Uten friksjon:

$\frac{1}{2}mv_2^2 = 490.5$
$v_2 = 9.91$ m/s

Tolkning: Friksjonen "spiser" 200 J av de 490.5 J potensielle energien. Kun 290.5 J omdannes til kinetisk energi.

Gravitasjonell potensiell energi:
-

E_p = mgh

- Avhenger av høyde over referansenivå
- Kun endringer har fysisk betydning

Elastisk potensiell energi:
- $\displaystyle E_p = \frac{1}{2}kx^2$
- Lagret i fjærer ved strekk/kompresjon
- Alltid positiv

Mekanisk energibevaring:
- $E_{mek} = E_k + E_p = \text{konstant}$ (uten friksjon)
- Gjelder kun med konservative krefter
- Kontinuerlig omdanning mellom $E_k$ og $E_p$

Med friksjon:
- $E_{mek,slutt} = E_{mek,start} - W_{friksjon}$
- Mekanisk energi omdannes til varme

Konservative krefter:
- Gravitasjonskraft, fjærkraft
- Arbeid uavhengig av vei
- Kan definere potensiell energi

Ikke-konservative krefter:
- Friksjon, luftmotstand
- Arbeid avhenger av vei
- Omdanner mekanisk energi til varme

Oppgaver

Lett3 oppgaver

1Opplasting

2Opplasting

3Opplasting

Medium4 oppgaver

4Opplasting

5Opplasting

6Opplasting

7Opplasting

Vanskelig5 oppgaver

8Opplasting

9Opplasting

10Opplasting

11Opplasting

12Opplasting

4.2 Potensiell energi og energibevaring

Gravitasjonell og elastisk potensiell energi, mekanisk energibevaring.

75 min

12 oppgaver

Potensiell energiGravitasjonell energiElastisk energiEnergibevaringKonservative krefter

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Potensiell energi og energibevaring

Tenk deg en stein på toppen av et fjell. Selv om steinen ligger stille, har den potensiell til å utføre arbeid hvis den faller ned. Denne energien kaller vi potensiell energi.

Nøkkelspørsmål:
- Hva er potensiell energi?
- Hvordan endres energi mellom forskjellige former?
- Når bevares den totale mekaniske energien?

I dette kapittelet skal vi se på to typer potensiell energi:
1. Gravitasjonell potensiell energi (på grunn av høyde)
2. Elastisk potensiell energi (på grunn av sammentrykning/strekking)

Gravitasjonell potensiell energi

Når du løfter et objekt, utfører du arbeid mot tyngdekraften. Dette arbeidet lagres som gravitasjonell potensiell energi.

Gravitasjonell potensiell energi

E_p

Forståelse av formelen

Utledning

Når vi løfter et objekt med masse $m$ en høyde $h$ med konstant hastighet, må vi utøve en kraft lik tyngdekraften:

$F = mg$

Arbeidet vi utfører er:

$W = F \cdot h = mgh$

Dette arbeidet lagres som potensiell energi:

$E_p = mgh$

Referansenivå

Potensiell energi måles alltid i forhold til et valgt referansenivå. Du kan velge referansenivået fritt:

Eksempel: En bok på et bord 1 m over gulvet.

- Hvis gulvet er referansenivå: $E_p = mg \cdot 1$ m
- Hvis bordet er referansenivå: $E_p = 0$ J
- Hvis kjellergulvet (1 m under gulvet) er referansenivå: $E_p = mg \cdot 2$ m

Viktig: Det som betyr noe fysisk er endringer i potensiell energi, ikke den absolutte verdien.

Endring i potensiell energi

Når et objekt endrer høyde fra $h_1$ til $h_2$ :

$\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1} = mgh_2 - mgh_1 = mg(h_2 - h_1) = mg\Delta h$

Denne endringen er uavhengig av valg av referansenivå!

✏️Eksempel: Beregning av potensiell energi

Gitt:
- Masse:

m = 2.0

kg
- Høyde over havet:

h = 50

m
-

g = 9.81

m/s²

a) Havoverflaten som referanse:

$E_p = mgh = 2.0 \cdot 9.81 \cdot 50 = 981 \text{ J}$

Svar a): 981 J

b) Bunnen av klippen som referanse:

$E_p = mgh = 2.0 \cdot 9.81 \cdot 0 = 0 \text{ J}$

Svar b): 0 J

c) Endring i potensiell energi ved fall 20 m:

Uavhengig av referansenivå:

$\Delta E_p = mg\Delta h = 2.0 \cdot 9.81 \cdot (-20) = -392.4 \text{ J}$

(Negativ fordi høyden synker)

Svar c): -392 J (eller: Energien synker med 392 J)

Tolkning: Den absolutte verdien av potensiell energi avhenger av referansenivået, men endringen er alltid den samme!

Elastisk potensiell energi

Når du strekker eller komprimerer en fjær, utfører du arbeid. Dette arbeidet lagres som elastisk potensiell energi i fjæren.

Hookes lov

For en ideal fjær er kraften proporsjonal med utstrekningen:

$F = kx$

der:
- $F$ er kraften som strekker/komprimerer fjæren (N)
- $k$ er fjærkonstanten (N/m) - et mål på hvor "stiv" fjæren er
- $x$ er utstrekningen fra likevektslengden (m)

Elastisk potensiell energi

E_p

Utledning av formelen

Når vi strekker en fjær fra $x = 0$ til $x = x_0$ , varierer kraften fra 0 til $kx_0$ .

Gjennomsnittskraft:

$F_{gjennomsnitt} = \frac{0 + kx_0}{2} = \frac{kx_0}{2}$

Arbeid utført:

$W = F_{gjennomsnitt} \cdot x_0 = \frac{kx_0}{2} \cdot x_0 = \frac{1}{2}kx_0^2$

Dette arbeidet lagres som elastisk potensiell energi.

Fjærkonstanten

Fjærkonstanten $k$ måler hvor stiv fjæren er:

- Stor $k$ : Stiv fjær (vanskelig å strekke)
- Liten $k$ : Myk fjær (lett å strekke)

Enhet: N/m (Newton per meter)

Eksempler:
- Bildempere: $k \approx 20\,000$ N/m
- Vanlig spiralfjær: $k \approx 100$ N/m
- Myk fjær: $k \approx 10$ N/m

✏️Eksempel: Elastisk potensiell energi

En fjær med fjærkonstant 200 N/m komprimeres 15 cm.
a) Hvor stor kraft må til for å holde fjæren komprimert?
b) Hvor stor er den elastiske potensielle energien?

Gitt:
- Fjærkonstant:

k = 200

N/m
- Kompresjon:

x = 15

cm = 0.15 m

a) Kraft for å holde fjæren komprimert:

Fra Hookes lov:

$F = kx = 200 \cdot 0.15 = 30 \text{ N}$

Svar a): 30 N

b) Elastisk potensiell energi:

$E_p = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot (0.15)^2$

$E_p = 100 \cdot 0.0225 = 2.25 \text{ J}$

Svar b): 2.25 J

Tolkning: Hvis fjæren slippes, vil denne energien overføres til kinetisk energi.

Mekanisk energi og energibevaring

Mekanisk energi er summen av kinetisk og potensiell energi:

$E_{mek} = E_k + E_p$

Spørsmål: Hva skjer med den mekaniske energien når objekter beveger seg?

📜Prinsippet om mekanisk energibevaring

Hvis bare konservative krefter virker på et system, er den totale mekaniske energien konstant:

$E_{mek} = E_k + E_p = \text{konstant}$

eller

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,2} + E_{p,2}$

Dette betyr:
- Kinetisk energi kan omdannes til potensiell energi
- Potensiell energi kan omdannes til kinetisk energi
- Den totale mengden mekanisk energi forblir uendret

Forståelse av energibevaring

Konservative krefter

En kraft er konservativ hvis arbeidet den utfører kun avhenger av start- og sluttposisjon, ikke av veien mellom dem.

Eksempler på konservative krefter:
- Gravitasjonskraft (tyngdekraft)
- Fjærkraft
- Elektrisk kraft (kommer i Fysikk 2)

Egenskap: For konservative krefter kan vi definere en potensiell energi.

Ikke-konservative krefter

En kraft er ikke-konservativ hvis arbeidet avhenger av veien.

Eksempler på ikke-konservative krefter:
- Friksjon
- Luftmotstand
- Normal kraft (utfører vanligvis null arbeid)

Egenskap: Ikke-konservative krefter omdanner mekanisk energi til andre former (varme, lyd, deformasjon).

Energibevaring med friksjon

Hvis friksjon er til stede, synker den mekaniske energien:

$E_{mek,2} = E_{mek,1} - W_{friksjon}$

eller

$E_{k,2} + E_{p,2} = E_{k,1} + E_{p,1} - W_{friksjon}$

Energien forsvinner ikke - den omdannes til varme!

Total energibevaring

Den totale energien i universet er alltid bevart:

$E_{total} = E_{mek} + E_{varme} + E_{lyd} + \cdots = \text{konstant}$

Dette er termodynamikkens første lov (energibevaringsloven).

✏️Eksempel: Fallende stein (mekanisk energibevaring)

En stein med masse 0.50 kg slippes fra ro på en høyde av 20 m. Finn steinens fart rett før den treffer bakken. Ignorer luftmotstand.

Gitt:
- Masse:

m = 0.50

kg
- Starthøyde:

h_1 = 20

m
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
- Slutthøyde:

h_2 = 0

m
- Ingen friksjon
-

g = 9.81

m/s²

Søkt: Sluttfart $v_2$

Løsning:

Vi bruker mekanisk energibevaring:

$E_{mek,1} = E_{mek,2}$

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,2} + E_{p,2}$

Situasjon 1 (topp):
- $\displaystyle E_{k,1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = 0$ (i ro)
- $E_{p,1} = mgh_1 = 0.50 \cdot 9.81 \cdot 20 = 98.1$ J

Situasjon 2 (bunn):
- $\displaystyle E_{k,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$
- $E_{p,2} = mgh_2 = 0$ (referansenivå)

Energibevaring:

$0 + 98.1 = \frac{1}{2}mv_2^2 + 0$

$98.1 = \frac{1}{2} \cdot 0.50 \cdot v_2^2$

$98.1 = 0.25 v_2^2$

$v_2^2 = \frac{98.1}{0.25} = 392.4$

$v_2 = \sqrt{392.4} = 19.8 \text{ m/s}$

Svar: Farten rett før bakken er 19.8 m/s (≈ 20 m/s).

Alternativ metode (kinematikk):

$v^2 = v_0^2 + 2gh = 0 + 2 \cdot 9.81 \cdot 20 = 392.4$
$v = 19.8$ m/s ✓

Tolkning: All potensiell energi (98.1 J) omdannes til kinetisk energi (98.1 J).

✏️Eksempel: Pendel (energiomdanning)

En pendel med masse 0.20 kg slippes fra ro i en høyde 0.50 m over det laveste punktet. Finn:
a) Pendulens fart i det laveste punktet
b) Høyden når farten er 2.0 m/s

Gitt:
- Masse:

m = 0.20

kg
- Starthøyde:

h_1 = 0.50

m (over laveste punkt)
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
-

g = 9.81

m/s²

a) Fart i laveste punkt:

Situasjon 1 (start, høyt):
- $E_{k,1} = 0$
- $E_{p,1} = mgh_1 = 0.20 \cdot 9.81 \cdot 0.50 = 0.981$ J

Situasjon 2 (laveste punkt):
- $\displaystyle E_{k,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$
- $E_{p,2} = 0$ (referansenivå)

Energibevaring:

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,2} + E_{p,2}$

$0 + 0.981 = \frac{1}{2} \cdot 0.20 \cdot v_2^2 + 0$

$0.981 = 0.10 v_2^2$

$v_2^2 = 9.81$

$v_2 = 3.13 \text{ m/s}$

Svar a): 3.1 m/s

b) Høyde når farten er 2.0 m/s:

Situasjon 3 (underveis):
- $\displaystyle E_{k,3} = \frac{1}{2}mv_3^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.20 \cdot 2.0^2 = 0.40$ J
- $E_{p,3} = mgh_3 = 0.20 \cdot 9.81 \cdot h_3$

Energibevaring:

$E_{k,1} + E_{p,1} = E_{k,3} + E_{p,3}$

$0 + 0.981 = 0.40 + 0.20 \cdot 9.81 \cdot h_3$

$0.981 = 0.40 + 1.962 h_3$

$0.581 = 1.962 h_3$

$h_3 = \frac{0.581}{1.962} = 0.296 \text{ m}$

Svar b): 0.30 m

Tolkning: I en pendel skjer kontinuerlig omdanning mellom kinetisk og potensiell energi. Den totale mekaniske energien (0.981 J) forblir konstant.

✏️Eksempel: Fjær og gravitasjon

En kloss med masse 2.0 kg plasseres på en vertikal fjær med fjærkonstant 500 N/m. Klossen slippes fra ro når fjæren er ukomprimert. Hvor langt komprimeres fjæren før klossen stopper?

Gitt:
- Masse:

m = 2.0

kg
- Fjærkonstant:

k = 500

N/m
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
- Sluttfart:

v_2 = 0

m/s
-

g = 9.81

m/s²

Søkt: Maksimal kompresjon $x$

Løsning:

La referansenivået for gravitasjonell potensiell energi være der fjæren er maksimalt komprimert.

Situasjon 1 (start, fjær ukomprimert):
- $E_{k,1} = 0$ (i ro)
- $E_{p,grav,1} = mgx$ (høyde $x$ over referanse)
- $E_{p,elastisk,1} = 0$ (fjær ukomprimert)

Situasjon 2 (bunn, fjær komprimert $x$ ):
- $E_{k,2} = 0$ (stopper)
- $E_{p,grav,2} = 0$ (referansenivå)
- $\displaystyle E_{p,elastisk,2} = \frac{1}{2}kx^2$

Energibevaring:

$E_{k,1} + E_{p,grav,1} + E_{p,elastisk,1} = E_{k,2} + E_{p,grav,2} + E_{p,elastisk,2}$

$0 + mgx + 0 = 0 + 0 + \frac{1}{2}kx^2$

$mgx = \frac{1}{2}kx^2$

Del med $x$ (siden $x \neq 0$ ):

$mg = \frac{1}{2}kx$

$x = \frac{2mg}{k} = \frac{2 \cdot 2.0 \cdot 9.81}{500} = \frac{39.24}{500} = 0.078 \text{ m} = 7.8 \text{ cm}$

Svar: Fjæren komprimeres 7.8 cm.

Tolkning: Gravitasjonell potensiell energi omdannes til elastisk potensiell energi.

Energibevaring med friksjon

Når friksjon er til stede, omdannes mekanisk energi til varme. Den mekaniske energien synker.

Modifisert energiligning:

$E_{mek,slutt} = E_{mek,start} - W_{friksjon}$

eller

$E_{k,slutt} + E_{p,slutt} = E_{k,start} + E_{p,start} - |W_{friksjon}|$

Viktig: $W_{friksjon}$ er alltid negativ (mot bevegelsen), så vi trekker fra beløpet.

✏️Eksempel: Sklie med friksjon

En kjelke med masse 10 kg sklir ned en bakke med høyde 5.0 m. Friksjonen utfører -200 J arbeid. Finn kjelkens fart ved bunnen av bakken hvis den starter fra ro.

Gitt:
- Masse:

m = 10

kg
- Høydeendring:

\Delta h = 5.0

m
- Arbeid fra friksjon:

W_f = -200

J
- Startfart:

v_1 = 0

m/s
-

g = 9.81

m/s²

Søkt: Sluttfart $v_2$

Løsning:

Situasjon 1 (topp):
- $E_{k,1} = 0$
- $E_{p,1} = mgh = 10 \cdot 9.81 \cdot 5.0 = 490.5$ J

Situasjon 2 (bunn):
- $\displaystyle E_{k,2} = \frac{1}{2}mv_2^2$
- $E_{p,2} = 0$

Energiligning med friksjon:

$E_{k,2} + E_{p,2} = E_{k,1} + E_{p,1} + W_f$

$\frac{1}{2}mv_2^2 + 0 = 0 + 490.5 - 200$

$\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot v_2^2 = 290.5$

$5v_2^2 = 290.5$

$v_2^2 = 58.1$

$v_2 = 7.62 \text{ m/s}$

Svar: Sluttfarten er 7.6 m/s.

Uten friksjon:

$\frac{1}{2}mv_2^2 = 490.5$
$v_2 = 9.91$ m/s

Tolkning: Friksjonen "spiser" 200 J av de 490.5 J potensielle energien. Kun 290.5 J omdannes til kinetisk energi.

Gravitasjonell potensiell energi:
-

E_p = mgh

- Avhenger av høyde over referansenivå
- Kun endringer har fysisk betydning

Elastisk potensiell energi:
- $\displaystyle E_p = \frac{1}{2}kx^2$
- Lagret i fjærer ved strekk/kompresjon
- Alltid positiv

Mekanisk energibevaring:
- $E_{mek} = E_k + E_p = \text{konstant}$ (uten friksjon)
- Gjelder kun med konservative krefter
- Kontinuerlig omdanning mellom $E_k$ og $E_p$

Med friksjon:
- $E_{mek,slutt} = E_{mek,start} - W_{friksjon}$
- Mekanisk energi omdannes til varme

Konservative krefter:
- Gravitasjonskraft, fjærkraft
- Arbeid uavhengig av vei
- Kan definere potensiell energi

Ikke-konservative krefter:
- Friksjon, luftmotstand
- Arbeid avhenger av vei
- Omdanner mekanisk energi til varme

Oppgaver

Lett3 oppgaver

1Opplasting

2Opplasting

3Opplasting

Medium4 oppgaver

4Opplasting

5Opplasting

6Opplasting

7Opplasting

Vanskelig5 oppgaver

8Opplasting

9Opplasting

10Opplasting

11Opplasting

12Opplasting