3.4 Sirkelbevegelse og sentripetalkraft

Sirkelbevegelse og sentripetalkraft

Sirkelbevegelse er bevegelse langs en sirkulær bane. Selv om farten kan være konstant, er hastigheten (vektor) ikke konstant fordi retningen endres kontinuerlig.

Viktige konsepter:
- Sentripetalakselerasjon: Akselerasjon mot sentrum
- Sentripetalkraft: Kraft mot sentrum som gir sirkelbevegelse
- Vinkelfrekvens og periode

Eksempler:
- Planet som kretser rundt sola
- Bil i rundkjøring
- Stein i slynge
- Satellitt i bane
- Berg-og-dal-bane

Kinematikk for uniform sirkelbevegelse

Uniform sirkelbevegelse: Bevegelse i sirkel med konstant fart.

Grunnleggende størrelser

Radius: $r$ [m]
- Avstand fra sentrum til objektet

Fart: $v$ [m/s]
- Farten langs banen (konstant ved uniform sirkelbevegelse)

Periode: $T$ [s]
- Tid for én full omdreining

Frekvens: $f$ [Hz = 1/s]
- Antall omdreininger per sekund

Vinkelfrekvens: $\omega$ [rad/s]
- Vinkel per tid

Sammenhenger

Fart og radius:

Omk rets: $C = 2\pi r$

Tid for én omdreining: $T$

$$v = \frac{C}{T} = \frac{2\pi r}{T}$$

Periode og frekvens:
$$f = \frac{1}{T}$$

Vinkelfrekvens:

En full omdreining = $2\pi$ radianer

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$

Fart og vinkelfrekvens:
$$v = \omega r$$

Oppsummering av formler:

$$v = \frac{2\pi r}{T} = 2\pi r f = \omega r$$

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f = \frac{v}{r}$$

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}$$

Hastighetsvektoren

Størrelse: $|\vec{v}| = v$ (konstant)

Retning: Tangent til sirkelen (vinkelrett på radius)

Endring: Retningen endres kontinuerlig, selv om størrelsen er konstant

Viktig: Selv om farten er konstant, er hastigheten (vektor) ikke konstant!

Sentripetalakselerasjon

Siden hastigheten (vektor) endres, må det være en akselerasjon.

Definisjon

Sentripetalakselerasjon ($a_s$ eller $a_c$): Akselerasjon mot sentrum av sirkelen.

Formel:
$$a_s = \frac{v^2}{r}$$

hvor:
- $a_s$ = sentripetalakselerasjon [m/s²]
- $v$ = fart [m/s]
- $r$ = radius [m]

Alternative formler:

Med $v = \omega r$:
$$a_s = \frac{(\omega r)^2}{r} = \omega^2 r$$

Med $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}$:
$$a_s = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

Retning

Alltid mot sentrum av sirkelen

Viktig: Ikke langs bevegelsen (tangentiell), men vinkelrett på bevegelsen, mot sentrum.

Hvorfor akselerasjon?

Feil tankegang: "Farten er konstant, så akselerasjon = 0"

Riktig forståelse: Akselerasjon er endring i hastighet (vektor), ikke bare endring i fart.

Endring i hastighet:
- Selv om farten $|\vec{v}|$ er konstant
- Retningen til $\vec{v}$ endres kontinuerlig
- $\displaystyle \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} \neq 0$

Herledning (geometrisk)

Betrakt to tett liggende punkter på sirkelen:

Hastighet ved punkt 1: $\vec{v}_1$ (tangent til sirkel)
Hastighet ved punkt 2: $\vec{v}_2$ (tangent til sirkel)

Begge har størrelse $v$, men ulike retninger.

Endring i hastighet: $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$

Geometrisk analyse viser:
- $\Delta \vec{v}$ peker mot sentrum
- $|\Delta \vec{v}| \approx v \Delta \theta$ (for liten $\Delta \theta$)

Tid: $\displaystyle \Delta t = \frac{r \Delta \theta}{v}$

Akselerasjon:
$$a = \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v \Delta \theta}{r \Delta \theta / v} = \frac{v^2}{r}$$

Sentripetal vs. tangentiell akselerasjon

Sentripetal akselerasjon ($a_s$):
- Mot sentrum
- Endrer retning (ikke fart)
- Eksisterer ved uniform sirkelbevegelse

Tangentiell akselerasjon ($a_t$):
- Langs banen (tangent til sirkel)
- Endrer fart (ikke retning)
- Null ved uniform sirkelbevegelse
- Ikke-null hvis farten øker/reduseres

Total akselerasjon (ikke-uniform sirkelbevegelse):
$$\vec{a} = \vec{a}_s + \vec{a}_t$$
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_s^2 + a_t^2}$$

I dette kapittelet fokuserer vi på uniform sirkelbevegelse: $a_t = 0$.

Sentripetalkraft

Fra Newtons 2. lov: Hvis det er akselerasjon, må det være en kraft.

Definisjon

Sentripetalkraft ($F_s$): Den resulterende kraften mot sentrum som gir sirkelbevegelse.

Newtons 2. lov:
$$F_s = ma_s = m\frac{v^2}{r}$$

hvor:
- $F_s$ = sentripetalkraft [N]
- $m$ = masse [kg]
- $v$ = fart [m/s]
- $r$ = radius [m]

Alternative formler:
$$F_s = m\omega^2 r = m\frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

Retning

Alltid mot sentrum av sirkelen

Viktig misforståelse

Feil: "Sentripetalkraft er en ny type kraft"

Riktig: Sentripetalkraft er den resulterende kraften mot sentrum. Den kommer fra fysiske krefter:

Eksempler:

1. Planet rundt Sola:
- Sentripetalkraft = Gravitasjonskraft
- $F_s = F_G$

2. Bil i rundkjøring:
- Sentripetalkraft = Friksjon fra vei
- $F_s = f$

3. Stein i slynge:
- Sentripetalkraft = Snorkraft
- $F_s = T$

4. Berg-og-dal-bane (nederst):
- Sentripetalkraft = Normalkraft - Tyngdekraft
- $F_s = N - G$

5. Satellitt i bane:
- Sentripetalkraft = Gravitasjonskraft
- $F_s = F_G$

Hva skjer hvis sentripetalkraft fjernes?

Feil: "Objektet flyr utover fra sentrum"

Riktig: Objektet fortsetter i rett linje tangent til sirkelen (Newtons 1. lov)

Eksempel: Stein i slynge
- Mens snor holder: Sirkelbevegelse
- Snor slippes: Stein flyr i rett linje tangent til sirkel (ikke radielt utover!)

Sentrifugalkraft (fiktiv kraft)

Sentrifugalkraft: "Kraft utover fra sentrum"

Status: Fiktiv kraft (ikke reell)

Når oppleves den?
- I roterende referansesystem
- Du føler deg dyttet utover i bil som svinger

Forklaring:
- Fra inertielt referansesystem: Ingen kraft utover
- Din kropp "ønsker" å fortsette rett frem (Newtons 1. lov)
- Bil svinger inn, du fortsetter rett (føles som dytt utover)
- Reell kraft: Friksjon fra sete (innover!)

I dette kurset: Vi bruker inertielle referansesystemer og ignorerer sentrifugalkraft.

Horisontal sirkelbevegelse

Eksempler:
- Bil i flat rundkjøring
- Skøyteløper i kurve
- Satellitt i bane

Eksempel 1: Bil i rundkjøring

Situasjon: Bil kjører i flat rundkjøring med radius $r$ og fart $v$.

Krefter:
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)
- Normalkraft: $N$ (oppover)
- Friksjon: $f$ (mot sentrum, horisontal)

Vertikal likevekt:
$$N = G = mg$$

Horisontal (mot sentrum):

Sentripetalkraft kommer fra friksjon:
$$f = F_s = m\frac{v^2}{r}$$

Maksimal fart før bilen sklir:

Maksimal friksjon: $f_{\text{maks}} = \mu_s N = \mu_s mg$

$$\mu_s mg = m\frac{v_{\text{maks}}^2}{r}$$

$$v_{\text{maks}} = \sqrt{\mu_s gr}$$

Viktig: Maksimal fart avhenger av:
- Friksjonskoeffisient ($\mu_s$): Høyere → høyere $v_{\text{maks}}$
- Radius ($r$): Større → høyere $v_{\text{maks}}$
- Ikke masse! (forsvinner)

Eksempel 2: Skrått kurve (banked curve)

Situasjon: Vei eller skøytebane som heller innover i kurven med vinkel $\theta$.

Fordel: Normalkraften får komponent mot sentrum → mindre friksjon nødvendig

Optimal vinkel (ingen friksjon nødvendig):
$$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$$

Forklaring:
- Normalkraft vinkelrett på skråning
- Komponent av N mot sentrum: $N \sin \theta$
- Denne gir sentripetalkraft
- Optimalt: $\displaystyle N \sin \theta = m\frac{v^2}{r}$ og $N \cos \theta = mg$
- Deling: $\displaystyle \tan \theta = \frac{v^2}{rg}$

Eksempel 3: Satellitt i bane

Situasjon: Satellitt kretser rundt Jorden med radius $r$ (fra Jordens sentrum).

Sentripetalkraft = Gravitasjonskraft:
$$F_G = F_s$$
$$\frac{GM_J m}{r^2} = m\frac{v^2}{r}$$
$$\frac{GM_J}{r} = v^2$$
$$v = \sqrt{\frac{GM_J}{r}}$$

Viktig: Farten avhenger kun av radius, ikke massen til satellitten!

Periode:
$$T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{GM_J}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_J}}$$

Dette er Keplers 3. lov: $T^2 \propto r^3$

Geostasjonær bane:
- $T = 24$ timer
- Satellitt står stille over ett punkt på Jorden
- $r \approx 42\,000$ km fra Jordens sentrum

Vertikal sirkelbevegelse

Eksempler:
- Berg-og-dal-bane (looping)
- Stein i vertikal slynge
- Pendel

Utfordring: Tyngdekraften er alltid nedover, men sentripetalkraft må være mot sentrum.

Analyse av vertikal sirkel

Viktige punkter:
- Nederst i sirkelen: Sentripetalkraft oppover
- Øverst i sirkelen: Sentripetalkraft nedover
- Sideveis: Sentripetalkraft horisontalt

Krefter:
1. Tyngdekraft: $G = mg$ (alltid nedover)
2. Kontaktkraft (normalkraft eller snorkraft): $N$ eller $T$ (mot sentrum hvis tau, bort fra sentrum hvis sportvang)

Nederst i sirkelen

Krefter (positiv: oppover):
- Normalkraft eller snorkraft: $N$ eller $T$ (oppover)
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)

Sentripetalkraft (oppover mot sentrum):
$$F_s = N - G = m\frac{v^2}{r}$$

$$N = G + m\frac{v^2}{r} = mg + m\frac{v^2}{r} = m\left(g + \frac{v^2}{r}\right)$$

Viktig: $N > G$ (normalkraft større enn tyngdekraft)

Følelse: Du føler deg tyngre (større normalkraft)

Øverst i sirkelen

To scenarioer:

Scenario A: Sportvang (berg-og-dal-bane)

Krefter (positiv: nedover mot sentrum):
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)
- Normalkraft: $N$ (nedover, fra sporet)

Sentripetalkraft (nedover mot sentrum):
$$F_s = G + N = m\frac{v^2}{r}$$

$$N = m\frac{v^2}{r} - mg = m\left(\frac{v^2}{r} - g\right)$$

Minimum fart for at $N \geq 0$:
$$\frac{v_{\text{min}}^2}{r} = g$$
$$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$$

Hvis $v < v_{\text{min}}$: Vognen faller ned fra sporet (N kan ikke være negativ).

Scenario B: Snor (stein i slynge)

Krefter (positiv: nedover mot sentrum):
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover)
- Snorkraft: $T$ (nedover, mot sentrum)

Sentripetalkraft:
$$F_s = G + T = m\frac{v^2}{r}$$

$$T = m\frac{v^2}{r} - mg = m\left(\frac{v^2}{r} - g\right)$$

Minimum fart for at $T \geq 0$:
$$v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$$

Hvis $v < v_{\text{min}}$: Snoren slakker (T kan ikke være negativ, kun trekk).

Sideveis (90° fra laveste punkt)

Krefter:
- Tyngdekraft: $G = mg$ (nedover, vinkelrett på radius)
- Normalkraft eller snorkraft: $N$ eller $T$ (horisontalt, mot sentrum)

Sentripetalkraft (mot sentrum):
$$F_s = N = m\frac{v^2}{r}$$

Tangentiell (langs bevegelse):
$$F_t = -mg$$ (nedover komponent gir retardasjon hvis går oppover)

Energi i vertikal sirkel

Mekanisk energi bevares (ingen friksjon):

Nederst:
$$E_{\text{ned}} = \frac{1}{2}mv_{\text{ned}}^2 + 0$$

Øverst (høyde = $2r$):
$$E_{\text{opp}} = \frac{1}{2}mv_{\text{opp}}^2 + mg(2r)$$

Bevaring:
$$\frac{1}{2}mv_{\text{ned}}^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{opp}}^2 + 2mgr$$

$$v_{\text{opp}}^2 = v_{\text{ned}}^2 - 4gr$$

Minimum fart nederst for å komme rundt:

Øverst: $v_{\text{opp,min}} = \sqrt{gr}$

Nederst:
$$v_{\text{ned,min}}^2 = v_{\text{opp,min}}^2 + 4gr = gr + 4gr = 5gr$$
$$v_{\text{ned,min}} = \sqrt{5gr}$$