2.3 Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon

Bevegelseslikningene, fritt fall, g = 9.81 m/s².

75 min

12 oppgaver

BevegelseslikningerFritt fallTyngdeakselerasjona-t diagram

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon

Når et objekt beveger seg langs en rett linje med konstant akselerasjon, endrer hastigheten seg med en konstant rate over tid.

Hva er konstant akselerasjon?

Konstant akselerasjon betyr at akselerasjonen ikke endrer seg over tid:
- Akselerasjonen $a$ er konstant
- Hastigheten endrer seg lineært med tiden
- Posisjonen endrer seg kvadratisk med tiden

Eksempler:
- Bil som akselererer jevnt fra stans
- Bil som bremser jevnt
- Objekt i fritt fall (tyngdeakselerasjon)
- Rakett med konstant thrust

Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon

Det finnes tre hovedlikninger for rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon:

1. Hastighetsligning

$v = v_0 + at$

der:
- $v$ = hastighet ved tid $t$ (m/s)
- $v_0$ = starthastighet (m/s)
- $a$ = akselerasjon (m/s²)
- $t$ = tid (s)

Forklaring: Hastigheten øker lineært med tiden når akselerasjonen er konstant.

2. Posisjonsligning

$s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

der:
- $s$ = posisjon ved tid $t$ (m)
- $s_0$ = startposisjon (m)
- $v_0$ = starthastighet (m/s)
- $a$ = akselerasjon (m/s²)
- $t$ = tid (s)

Forklaring: Posisjonen endrer seg kvadratisk med tiden når akselerasjonen er konstant.

3. Hastighetsligning uten tid

$v^2 = v_0^2 + 2a(s - s_0)$

eller

$v^2 = v_0^2 + 2as$

(når $s_0 = 0$ )

der:
- $v$ = sluttfart (m/s)
- $v_0$ = startfart (m/s)
- $a$ = akselerasjon (m/s²)
- $s$ = tilbakelagt strekning (m)

Forklaring: Denne likningen kobler fart, akselerasjon og strekning uten å involvere tid.

Når bruker vi hvilken likning?

Bruk likning 1 ( $v = v_0 + at$ ) når:
- Du har $v_0$ , $a$ , $t$ og skal finne $v$
- Du har $v$ , $v_0$ , $a$ og skal finne $t$

Bruk likning 2 ( $\displaystyle s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ ) når:
- Du har $s_0$ , $v_0$ , $a$ , $t$ og skal finne $s$
- Du har $s$ , $s_0$ , $v_0$ , $a$ og skal finne $t$

Bruk likning 3 ( $v^2 = v_0^2 + 2as$ ) når:
- Du ikke har eller trenger tid $t$
- Du har $v_0$ , $a$ , $s$ og skal finne $v$
- Du har $v$ , $v_0$ , $a$ og skal finne $s$

Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon

a

✏️Eksempel 1: Bil som akselererer

En bil akselererer fra stans med akselerasjon $a = 2$ m/s². Finn: a) hastigheten etter 10 sekunder, b) tilbakelagt strekning etter 10 sekunder.

Gitt:
- Starthastighet:

v_0 = 0

m/s (stans)
- Akselerasjon:

a = 2

m/s²
- Tid:

t = 10

a) Hastighet etter 10 sekunder:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$v = 0 + 2 \cdot 10 = 20 \text{ m/s}$

Svar a): 20 m/s

b) Tilbakelagt strekning:

Bruk $\displaystyle s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ (med $s_0 = 0$ ):

$s = 0 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^2 = 0 + 1 \cdot 100 = 100 \text{ m}$

Svar b): 100 m

✏️Eksempel 2: Bil som bremser

En bil kjører med hastighet 25 m/s og bremser med akselerasjon $a = -5$ m/s². Finn: a) tiden det tar til bilen stopper, b) bremselengden.

Gitt:
- Starthastighet:

v_0 = 25

m/s
- Sluttfart:

v = 0

m/s (stopper)
- Akselerasjon:

a = -5

m/s² (negativ = retardasjon)

a) Tid til stans:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$0 = 25 + (-5)t$
$5t = 25$
$t = 5 \text{ s}$

Svar a): 5 sekunder

b) Bremselengde:

Bruk $v^2 = v_0^2 + 2as$ :

$0^2 = 25^2 + 2 \cdot (-5) \cdot s$
$0 = 625 - 10s$
$10s = 625$
$s = 62.5 \text{ m}$

Svar b): 62.5 m

Fritt fall

Fritt fall er bevegelse under påvirkning av bare tyngdekraften, uten luftmotstand.

Tyngdeakselerasjon

Alle objekter i fritt fall nær jordoverflaten har samme akselerasjon:

$g = 9.81 \text{ m/s}^2$

Dette kalles tyngdeakselerasjonen eller gravitasjonsakselerasjonen.

Viktig:
- $g$ er alltid positiv (9.81 m/s²)
- Retningen velges ved å definere koordinatsystemet
- Hvis vi velger opp som positiv retning, er $a = -g = -9.81$ m/s²
- Hvis vi velger ned som positiv retning, er $a = +g = +9.81$ m/s²

Bevegelseslikninger for fritt fall

Med opp som positiv retning:

$v = v_0 - gt$
$y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$
$v^2 = v_0^2 - 2g(y - y_0)$

der $y$ er høyde.

Med ned som positiv retning:

$v = v_0 + gt$
$y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$
$v^2 = v_0^2 + 2g(y - y_0)$

Egenskaper ved fritt fall

1. Symmetri:
- Tiden opp = tiden ned
- Starthastighet = slutthastighet (motsatt retning)

2. Toppunkt:
- Hastigheten er null ved høyeste punkt
- Akselerasjonen er fortsatt $-g$ (ikke null!)

3. Uavhengig av masse:
- Alle objekter faller like raskt (uten luftmotstand)
- En fjær og en stein faller like raskt i vakuum

I oppgaver bruker vi ofte $g = 10$ m/s² for å forenkle regningen, men det nøyaktige verdien er $g = 9.81$ m/s² (eller 9.807 m/s² for enda mer presisjon).

✏️Eksempel 3: Fritt fall fra hvile

En stein slippes fra en klippe 45 m over bakken. Finn: a) tiden det tar til steinen treffer bakken, b) farten når den treffer bakken. Bruk $g = 10$ m/s².

Gitt:
- Starthøyde:

y_0 = 45

m
- Slutthøyde:

y = 0

m (bakken)
- Starthastighet:

v_0 = 0

m/s (slippes)
- Akselerasjon:

a = -g = -10

m/s² (opp er positiv retning)

a) Tid til bakken:

Bruk $\displaystyle y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ :

$0 = 45 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-10) \cdot t^2$
$0 = 45 - 5t^2$
$5t^2 = 45$
$t^2 = 9$
$t = 3 \text{ s}$

(Vi tar positiv rot siden tid må være positiv)

Svar a): 3 sekunder

b) Fart ved bakken:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$v = 0 + (-10) \cdot 3 = -30 \text{ m/s}$

Beløp: $|v| = 30$ m/s

Alternativt, bruk $v^2 = v_0^2 + 2a(y - y_0)$ :

$v^2 = 0^2 + 2 \cdot (-10) \cdot (0 - 45)$
$v^2 = -20 \cdot (-45) = 900$
$v = -30 \text{ m/s}$

(Negativ fordi steinen beveger seg nedover)

Svar b): 30 m/s nedover

✏️Eksempel 4: Kaste ball oppover

En ball kastes rett opp med starthastighet 20 m/s fra bakken. Finn: a) maksimal høyde, b) tiden til ballen når maksimal høyde, c) tiden til ballen er tilbake på bakken. Bruk $g = 10$ m/s².

Gitt:
- Starthøyde:

y_0 = 0

m (bakken)
- Starthastighet:

v_0 = 20

m/s (oppover)
- Akselerasjon:

a = -g = -10

m/s²

a) Maksimal høyde:

Ved maksimal høyde er $v = 0$ m/s. Bruk $v^2 = v_0^2 + 2a(y - y_0)$ :

$0^2 = 20^2 + 2 \cdot (-10) \cdot (y - 0)$
$0 = 400 - 20y$
$20y = 400$
$y = 20 \text{ m}$

Svar a): 20 m

b) Tid til maksimal høyde:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$0 = 20 + (-10)t$
$10t = 20$
$t = 2 \text{ s}$

Svar b): 2 sekunder

c) Tid tilbake til bakken:

Ved symmetri: Tid opp = tid ned

Total tid = $2 \times 2 = 4$ s

Alternativt, bruk $\displaystyle y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ :

$0 = 0 + 20t + \frac{1}{2} \cdot (-10) \cdot t^2$
$0 = 20t - 5t^2$
$5t^2 = 20t$
$t(5t - 20) = 0$
$t = 0 \text{ eller } t = 4 \text{ s}$

( $t = 0$ er starttidspunkt, $t = 4$ s er når ballen er tilbake)

Svar c): 4 sekunder

Oppgaver

Lett3 oppgaver

1Opplasting

2Opplasting

3Opplasting

Medium5 oppgaver

4Opplasting

5Opplasting

6Opplasting

7Opplasting

8Opplasting

Vanskelig4 oppgaver

9Opplasting

10Opplasting

11Opplasting

12Opplasting

2.3 Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon

Bevegelseslikningene, fritt fall, g = 9.81 m/s².

75 min

12 oppgaver

BevegelseslikningerFritt fallTyngdeakselerasjona-t diagram

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon

Når et objekt beveger seg langs en rett linje med konstant akselerasjon, endrer hastigheten seg med en konstant rate over tid.

Hva er konstant akselerasjon?

Konstant akselerasjon betyr at akselerasjonen ikke endrer seg over tid:
- Akselerasjonen $a$ er konstant
- Hastigheten endrer seg lineært med tiden
- Posisjonen endrer seg kvadratisk med tiden

Eksempler:
- Bil som akselererer jevnt fra stans
- Bil som bremser jevnt
- Objekt i fritt fall (tyngdeakselerasjon)
- Rakett med konstant thrust

Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon

Det finnes tre hovedlikninger for rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon:

1. Hastighetsligning

$v = v_0 + at$

der:
- $v$ = hastighet ved tid $t$ (m/s)
- $v_0$ = starthastighet (m/s)
- $a$ = akselerasjon (m/s²)
- $t$ = tid (s)

Forklaring: Hastigheten øker lineært med tiden når akselerasjonen er konstant.

2. Posisjonsligning

$s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$

der:
- $s$ = posisjon ved tid $t$ (m)
- $s_0$ = startposisjon (m)
- $v_0$ = starthastighet (m/s)
- $a$ = akselerasjon (m/s²)
- $t$ = tid (s)

Forklaring: Posisjonen endrer seg kvadratisk med tiden når akselerasjonen er konstant.

3. Hastighetsligning uten tid

$v^2 = v_0^2 + 2a(s - s_0)$

eller

$v^2 = v_0^2 + 2as$

(når $s_0 = 0$ )

der:
- $v$ = sluttfart (m/s)
- $v_0$ = startfart (m/s)
- $a$ = akselerasjon (m/s²)
- $s$ = tilbakelagt strekning (m)

Forklaring: Denne likningen kobler fart, akselerasjon og strekning uten å involvere tid.

Når bruker vi hvilken likning?

Bruk likning 1 ( $v = v_0 + at$ ) når:
- Du har $v_0$ , $a$ , $t$ og skal finne $v$
- Du har $v$ , $v_0$ , $a$ og skal finne $t$

Bruk likning 2 ( $\displaystyle s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ ) når:
- Du har $s_0$ , $v_0$ , $a$ , $t$ og skal finne $s$
- Du har $s$ , $s_0$ , $v_0$ , $a$ og skal finne $t$

Bruk likning 3 ( $v^2 = v_0^2 + 2as$ ) når:
- Du ikke har eller trenger tid $t$
- Du har $v_0$ , $a$ , $s$ og skal finne $v$
- Du har $v$ , $v_0$ , $a$ og skal finne $s$

Bevegelseslikningene for konstant akselerasjon

a

✏️Eksempel 1: Bil som akselererer

En bil akselererer fra stans med akselerasjon $a = 2$ m/s². Finn: a) hastigheten etter 10 sekunder, b) tilbakelagt strekning etter 10 sekunder.

Gitt:
- Starthastighet:

v_0 = 0

m/s (stans)
- Akselerasjon:

a = 2

m/s²
- Tid:

t = 10

a) Hastighet etter 10 sekunder:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$v = 0 + 2 \cdot 10 = 20 \text{ m/s}$

Svar a): 20 m/s

b) Tilbakelagt strekning:

Bruk $\displaystyle s = v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ (med $s_0 = 0$ ):

$s = 0 \cdot 10 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10^2 = 0 + 1 \cdot 100 = 100 \text{ m}$

Svar b): 100 m

✏️Eksempel 2: Bil som bremser

En bil kjører med hastighet 25 m/s og bremser med akselerasjon $a = -5$ m/s². Finn: a) tiden det tar til bilen stopper, b) bremselengden.

Gitt:
- Starthastighet:

v_0 = 25

m/s
- Sluttfart:

v = 0

m/s (stopper)
- Akselerasjon:

a = -5

m/s² (negativ = retardasjon)

a) Tid til stans:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$0 = 25 + (-5)t$
$5t = 25$
$t = 5 \text{ s}$

Svar a): 5 sekunder

b) Bremselengde:

Bruk $v^2 = v_0^2 + 2as$ :

$0^2 = 25^2 + 2 \cdot (-5) \cdot s$
$0 = 625 - 10s$
$10s = 625$
$s = 62.5 \text{ m}$

Svar b): 62.5 m

Fritt fall

Fritt fall er bevegelse under påvirkning av bare tyngdekraften, uten luftmotstand.

Tyngdeakselerasjon

Alle objekter i fritt fall nær jordoverflaten har samme akselerasjon:

$g = 9.81 \text{ m/s}^2$

Dette kalles tyngdeakselerasjonen eller gravitasjonsakselerasjonen.

Bevegelseslikninger for fritt fall

Med opp som positiv retning:

$v = v_0 - gt$
$y = y_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2$
$v^2 = v_0^2 - 2g(y - y_0)$

der $y$ er høyde.

Med ned som positiv retning:

$v = v_0 + gt$
$y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}gt^2$
$v^2 = v_0^2 + 2g(y - y_0)$

Egenskaper ved fritt fall

1. Symmetri:
- Tiden opp = tiden ned
- Starthastighet = slutthastighet (motsatt retning)

2. Toppunkt:
- Hastigheten er null ved høyeste punkt
- Akselerasjonen er fortsatt $-g$ (ikke null!)

3. Uavhengig av masse:
- Alle objekter faller like raskt (uten luftmotstand)
- En fjær og en stein faller like raskt i vakuum

I oppgaver bruker vi ofte $g = 10$ m/s² for å forenkle regningen, men det nøyaktige verdien er $g = 9.81$ m/s² (eller 9.807 m/s² for enda mer presisjon).

✏️Eksempel 3: Fritt fall fra hvile

En stein slippes fra en klippe 45 m over bakken. Finn: a) tiden det tar til steinen treffer bakken, b) farten når den treffer bakken. Bruk $g = 10$ m/s².

Gitt:
- Starthøyde:

y_0 = 45

m
- Slutthøyde:

y = 0

m (bakken)
- Starthastighet:

v_0 = 0

m/s (slippes)
- Akselerasjon:

a = -g = -10

m/s² (opp er positiv retning)

a) Tid til bakken:

Bruk $\displaystyle y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ :

$0 = 45 + 0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (-10) \cdot t^2$
$0 = 45 - 5t^2$
$5t^2 = 45$
$t^2 = 9$
$t = 3 \text{ s}$

(Vi tar positiv rot siden tid må være positiv)

Svar a): 3 sekunder

b) Fart ved bakken:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$v = 0 + (-10) \cdot 3 = -30 \text{ m/s}$

Beløp: $|v| = 30$ m/s

Alternativt, bruk $v^2 = v_0^2 + 2a(y - y_0)$ :

$v^2 = 0^2 + 2 \cdot (-10) \cdot (0 - 45)$
$v^2 = -20 \cdot (-45) = 900$
$v = -30 \text{ m/s}$

(Negativ fordi steinen beveger seg nedover)

Svar b): 30 m/s nedover

✏️Eksempel 4: Kaste ball oppover

En ball kastes rett opp med starthastighet 20 m/s fra bakken. Finn: a) maksimal høyde, b) tiden til ballen når maksimal høyde, c) tiden til ballen er tilbake på bakken. Bruk $g = 10$ m/s².

Gitt:
- Starthøyde:

y_0 = 0

m (bakken)
- Starthastighet:

v_0 = 20

m/s (oppover)
- Akselerasjon:

a = -g = -10

m/s²

a) Maksimal høyde:

Ved maksimal høyde er $v = 0$ m/s. Bruk $v^2 = v_0^2 + 2a(y - y_0)$ :

$0^2 = 20^2 + 2 \cdot (-10) \cdot (y - 0)$
$0 = 400 - 20y$
$20y = 400$
$y = 20 \text{ m}$

Svar a): 20 m

b) Tid til maksimal høyde:

Bruk $v = v_0 + at$ :

$0 = 20 + (-10)t$
$10t = 20$
$t = 2 \text{ s}$

Svar b): 2 sekunder

c) Tid tilbake til bakken:

Ved symmetri: Tid opp = tid ned

Total tid = $2 \times 2 = 4$ s

Alternativt, bruk $\displaystyle y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$ :

$0 = 0 + 20t + \frac{1}{2} \cdot (-10) \cdot t^2$
$0 = 20t - 5t^2$
$5t^2 = 20t$
$t(5t - 20) = 0$
$t = 0 \text{ eller } t = 4 \text{ s}$

( $t = 0$ er starttidspunkt, $t = 4$ s er når ballen er tilbake)

Svar c): 4 sekunder

Oppgaver

Lett3 oppgaver

1Opplasting

2Opplasting

3Opplasting

Medium5 oppgaver

4Opplasting

5Opplasting

6Opplasting

7Opplasting

8Opplasting

Vanskelig4 oppgaver

9Opplasting

10Opplasting

11Opplasting

12Opplasting