5.5 Optimering

Praktiske optimeringsproblemer, maksimum og minimum i økonomiske sammenhenger.

60 min

16 oppgaver

OptimeringMaksimeringMinimeringRandverdierPraktiske problemer

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Optimering handler om å finne beste mulige løsning - maksimal profitt, minimal kostnad, optimal produksjon. Vi bruker derivasjon som verktøy.

Fremgangsmåte for optimering

f'(x) = 0

✏️Profittmaksimering

Pris-etterspørsel: $p = 100 - 2x$ . Kostnad: $K(x) = 20x + 100$ . Finn produksjon som maksimerer profitt.

Inntekt:

I(x) = p \cdot x = (100 - 2x)x = 100x - 2x^2

Profitt: $\pi(x) = I(x) - K(x) = 100x - 2x^2 - 20x - 100 = -2x^2 + 80x - 100$

Deriverer: $\pi'(x) = -4x + 80$

Setter lik null: $-4x + 80 = 0 \Rightarrow x = 20$

Sjekker: $\pi''(x) = -4 < 0$ → maksimum

Svar: Produser 20 enheter. Maksimal profitt: $\pi(20) = -800 + 1600 - 100 = 700$

✏️Kostnadsminimering

Gjennomsnittskostnad: $\displaystyle \bar{K}(x) = x + \frac{100}{x} + 10$ . Finn produksjon som minimerer gjennomsnittskostnad.

Deriverer:

\displaystyle \bar{K}'(x) = 1 - \frac{100}{x^2}

Setter lik null: $\displaystyle 1 - \frac{100}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$

Sjekker: $\displaystyle \bar{K}''(x) = \frac{200}{x^3}$ , og $\bar{K}''(10) = 0{,}2 > 0$ → minimum

Svar: Produser 10 enheter. Laveste gjennomsnittskostnad: $\bar{K}(10) = 10 + 10 + 10 = 30$

I virkeligheten er det ofte begrensninger: $0 \leq x \leq x_{\max}$ . Da må vi også sjekke endepunktene og velge det beste av ekstremalpunkt og randverdier.

📝Oppgave 1

Etterspørsel: $x = 50 - p$ . Kostnad: $K = 10x + 50$ . Finn pris som maksimerer profitt.

📝Oppgave 2

En fabrikk kan produsere maks 100 enheter. Profitt: $\pi(x) = -0{,}1x^2 + 15x - 200$ for $0 \leq x \leq 100$ .

Finn $x$ som gir maksimal profitt.

Hva er maksimal profitt?

Ved hvilke produksjonsvolum går bedriften i null?

Løs oppgaven Tren

Matematikk for økonomerTilbake