5.4 Funksjonsdrøfting

Stigende og synkende funksjoner, ekstremalpunkter, vendepunkter og grafskisse.

55 min

18 oppgaver

EkstremalpunkterVendepunktFortegnsskjemaGrafskisseAndrederivert

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Ved å analysere den deriverte kan vi forstå en funksjons oppførsel: Når stiger den? Når synker den? Hvor har den maksimum og minimum?

Stigende og synkende

f

Ekstremalpunkter

f'(x) = 0

✏️Finn ekstremalpunkter

Finn ekstremalpunktene til $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ .

Steg 1: Finn

f'(x)

f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)

Steg 2: Løs $f'(x) = 0$ :
$x = 3$ eller $x = -1$

Steg 3: Fortegnsskjema for $f'(x)$ :

$x$	$-\infty$	$-1$	$3$	$\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$0$	$+$
↗	maks	min	↗

Steg 4: Beregn funksjonsverdier:

f(-1) = -1 - 3 + 9 + 5 = 10

(lokalt maks)

f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22

(lokalt min)

Vendepunkt

f''(x) = 0

- $f'' > 0$ : Funksjonen er konveks (smiler ∪), veksten øker
- $f'' < 0$ : Funksjonen er konkav (surt ∩), veksten avtar

I økonomi: Hvis $K''(x) > 0$ , øker grensekostnaden (stordriftsulemper).

✏️Fullstendig drøfting av overskuddsfunksjon

En bedrift har overskudd $O(x) = -x^3 + 12x^2 - 36x$ der $x$ er i tusen enheter. Drøft funksjonen.

Derivasjon:

O'(x) = -3x^2 + 24x - 36 = -3(x^2 - 8x + 12) = -3(x-2)(x-6)

O''(x) = -6x + 24

Stasjonære punkter: $x = 2$ og $x = 6$

Klassifisering:
$O''(2) = -12 + 24 = 12 > 0$ → min
$O''(6) = -36 + 24 = -12 < 0$ → maks

Vendepunkt: $O''(x) = 0 \Rightarrow x = 4$

Funksjonsverdier:
$O(2) = -8 + 48 - 72 = -32$
$O(6) = -216 + 432 - 216 = 0$

Konklusjon: Maksimalt overskudd er 0 ved 6000 enheter.

📝Oppgave 1

Finn ekstremalpunktene til $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$ .

📝Oppgave 2

En kostnadsfunksjon er $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 12x + 100$ .

Finn grensekostnaden $K'(x)$ .

Ved hvilken produksjon er grensekostnaden lavest?

Hva er den laveste grensekostnaden?

Løs oppgaven Tren

Matematikk for økonomerTilbake