5.3 Derivasjon av spesielle funksjoner

Derivasjon av eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og sammensatte funksjoner.

45 min

16 oppgaver

EksponentialfunksjonerLogaritmefunksjonere^xln xKjerneregelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Eksponentialfunksjoner og logaritmer er sentrale i økonomi for å modellere vekst, renter og avskrivning. Her lærer vi å derivere disse funksjonene.

Derivasjon av eksponentialfunksjoner

\frac{d}{dx}(e^x) = e^x

Tallet $e \approx 2{,}718$ er spesielt fordi $e^x$ er sin egen deriverte. Dette gjør det naturlig i modeller med kontinuerlig vekst.

✏️Kontinuerlig rente

En investering vokser etter $V(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t}$ . Finn $V'(t)$ og tolk resultatet.

Med kjerneregelen der $u = 0{,}05t$ :

$V'(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t} \cdot 0{,}05 = 500 \cdot e^{0{,}05t}$

Tolkning: Vekstfarten øker over tid. Ved $t=0$ : $V'(0) = 500$ kr/år.

Derivasjon av logaritmer

\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

✏️Derivasjon av ln

Deriver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

Kjernen er $u = x^2 + 1$ med $u' = 2x$ .

$\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

✏️Kombinert funksjon

Deriver $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$ .

Produktregelen med $g = x^2$ og $h = e^{-x}$ :

$g' = 2x$ og $h' = -e^{-x}$

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$

📝Oppgave 1

Deriver:

f(x) = 3e^x

g(x) = e^{2x}

h(x) = 5 \cdot 2^x

📝Oppgave 2

Deriver:

f(x) = \ln(3x)

g(x) = \ln(x^3)

h(x) = x \ln x

📝Oppgave 3

En befolkning vokser etter $P(t) = 5000 \cdot e^{0{,}03t}$ .

Finn $P'(t)$ .

Hvor stor er veksten etter 10 år?

Når er veksten 300 per år?

Løs oppgaven Tren

Matematikk for økonomerTilbake

5.3 Derivasjon av spesielle funksjoner

Derivasjon av eksponentialfunksjoner, logaritmefunksjoner og sammensatte funksjoner.

45 min

16 oppgaver

EksponentialfunksjonerLogaritmefunksjonere^xln xKjerneregelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Eksponentialfunksjoner og logaritmer er sentrale i økonomi for å modellere vekst, renter og avskrivning. Her lærer vi å derivere disse funksjonene.

Derivasjon av eksponentialfunksjoner

\frac{d}{dx}(e^x) = e^x

Tallet $e \approx 2{,}718$ er spesielt fordi $e^x$ er sin egen deriverte. Dette gjør det naturlig i modeller med kontinuerlig vekst.

✏️Kontinuerlig rente

En investering vokser etter $V(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t}$ . Finn $V'(t)$ og tolk resultatet.

Med kjerneregelen der $u = 0{,}05t$ :

$V'(t) = 10000 \cdot e^{0{,}05t} \cdot 0{,}05 = 500 \cdot e^{0{,}05t}$

Tolkning: Vekstfarten øker over tid. Ved $t=0$ : $V'(0) = 500$ kr/år.

Derivasjon av logaritmer

\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}

✏️Derivasjon av ln

Deriver $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

Kjernen er $u = x^2 + 1$ med $u' = 2x$ .

$\displaystyle f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

✏️Kombinert funksjon

Deriver $f(x) = x^2 \cdot e^{-x}$ .

Produktregelen med $g = x^2$ og $h = e^{-x}$ :

$g' = 2x$ og $h' = -e^{-x}$

$f'(x) = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = xe^{-x}(2 - x)$

📝Oppgave 1

Deriver:

f(x) = 3e^x

g(x) = e^{2x}

h(x) = 5 \cdot 2^x

📝Oppgave 2

Deriver:

f(x) = \ln(3x)

g(x) = \ln(x^3)

h(x) = x \ln x

📝Oppgave 3

En befolkning vokser etter $P(t) = 5000 \cdot e^{0{,}03t}$ .

Finn $P'(t)$ .

Hvor stor er veksten etter 10 år?

Når er veksten 300 per år?

Løs oppgaven Tren

5.3 Derivasjon av spesielle funksjoner | Matematikk for økonomer | Eksamenssett