5.2 Derivasjonsregler

Potensregelen, sumregelen, produktregelen, kvotientregelen og kjerneregelen.

60 min

22 oppgaver

PotensregelenSumregelenProduktregelenKvotientregelenKjerneregelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 22 oppgaver

I stedet for å bruke definisjonen hver gang, bruker vi derivasjonsregler som gjør arbeidet mye enklere. Disse reglene er utledet fra definisjonen.

Potensregelen

f(x) = x^n

Konstantregelen

f(x) = c

Sumregelen

f(x) = g(x) + h(x)

✏️Derivere polynomer

Deriver $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$ .

Vi bruker potensregelen, konstantregelen og sumregelen:

$f'(x) = 3 \cdot 4x^3 - 5 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0 = 12x^3 - 10x + 2$

Produktregelen

f(x) = g(x) \cdot h(x)

✏️Produktregelen

Deriver $f(x) = (2x+1)(x^2-3)$ .

La $g(x) = 2x+1$ og $h(x) = x^2-3$ .

$g'(x) = 2$ og $h'(x) = 2x$

$f'(x) = 2 \cdot (x^2-3) + (2x+1) \cdot 2x$
$= 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$

Kvotientregelen

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

✏️Gjennomsnittskostnad

Kostnadsfunksjonen er $K(x) = x^2 + 100x + 2000$ . Gjennomsnittskostnaden er $\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{K(x)}{x}$ . Finn $\bar{K}'(x)$ .

\displaystyle \bar{K}(x) = \frac{x^2 + 100x + 2000}{x}

Med kvotientregelen der $g(x) = x^2 + 100x + 2000$ og $h(x) = x$ :

$\displaystyle \bar{K}'(x) = \frac{(2x + 100) \cdot x - (x^2 + 100x + 2000) \cdot 1}{x^2}$

$\displaystyle = \frac{2x^2 + 100x - x^2 - 100x - 2000}{x^2} = \frac{x^2 - 2000}{x^2} = 1 - \frac{2000}{x^2}$

Kjerneregelen

f(x) = g(u(x))

✏️Kjerneregelen

Deriver $f(x) = (3x^2 + 1)^5$ .

Kjernen er $u = 3x^2 + 1$ og ytre funksjon er $g(u) = u^5$ .

$g'(u) = 5u^4$ og $u'(x) = 6x$

$f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1

\displaystyle g(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}

h(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Bruk produktregelen:

f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)

g(x) = x^3(2x + 5)

📝Oppgave 3

Bruk kvotientregelen:

\displaystyle f(x) = \frac{x^2}{x+1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x+3}{x-1}

📝Oppgave 4

Bruk kjerneregelen:

f(x) = (2x-1)^4

g(x) = \sqrt{x^2 + 4}

Matematikk for økonomerTilbake