5.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Gjennomsnittlig vekstfart, sekanter, tangenter og grenseverdibegrepet.

45 min

14 oppgaver

Gjennomsnittlig vekstfartMomentan vekstfartSekantTangentGrenseverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

I økonomiske sammenhenger er vi ofte interessert i hvor raskt noe endrer seg. Hvor fort stiger kostnadene når produksjonen øker? Hvor raskt vokser en investering? I dette kapittelet lærer vi om vekstfart - et begrep som leder oss til derivasjon.

Gjennomsnittlig vekstfart

f(x)

✏️Kostnadsvekst

En bedrift har kostnadsfunksjon $K(x) = 0{,}1x^2 + 10x + 500$ der $x$ er antall enheter. Finn gjennomsnittlig kostnadsvekst fra $x = 50$ til $x = 100$ .

Vi beregner

K(50)

K(100)

$K(50) = 0{,}1 \cdot 50^2 + 10 \cdot 50 + 500 = 250 + 500 + 500 = 1250$

$K(100) = 0{,}1 \cdot 100^2 + 10 \cdot 100 + 500 = 1000 + 1000 + 500 = 2500$

Gjennomsnittlig vekstfart:
$\frac{K(100) - K(50)}{100 - 50} = \frac{2500 - 1250}{50} = \frac{1250}{50} = 25$

Tolkning: Kostnadene øker i gjennomsnitt med 25 kr per enhet når produksjonen går fra 50 til 100 enheter.

Gjennomsnittlig vekstfart gir et overordnet bilde, men forteller ikke hva som skjer i et bestemt punkt. For å finne vekstfarten akkurat når $x = 50$ , trenger vi momentan vekstfart.

Momentan vekstfart (den deriverte)

f

- Sekanten er en rett linje gjennom to punkter på grafen
- Tangenten er en rett linje som berører grafen i ett punkt
- Når de to punktene på sekanten nærmer seg hverandre, nærmer sekanten seg tangenten

✏️Finne momentan vekstfart fra definisjonen

Finn $f'(2)$ for $f(x) = x^2$ ved å bruke definisjonen.

Vi setter inn i definisjonen:

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

Vi utvider $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ :

$= \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(4 + h)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$

Altså er $f'(2) = 4$ . Tangentens stigningstall i $x = 2$ er 4.

I økonomi har den deriverte viktige tolkninger:
- $K'(x)$ = grensekostnad (kostnad for én enhet til)
- $I'(x)$ = grenseinntekt (inntekt fra én enhet til)
- $O'(x)$ = grenseoverskudd (økning i overskudd per enhet)

📝Oppgave 1

En investering har verdi $V(t) = 10000 \cdot 1{,}05^t$ kr etter $t$ år.

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $t = 0$ til $t = 5$ .

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $t = 5$ til $t = 10$ .

Hvorfor er vekstfarten større i del b)?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En bedrift har kostnadsfunksjon $K(x) = 2x^2 + 50x + 1000$ .

Finn gjennomsnittlig kostnadsvekst fra $x = 10$ til $x = 20$ .

Bruk definisjonen til å finne $K'(10)$ .

Hva forteller $K'(10)$ oss økonomisk?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Bruk definisjonen til å derivere $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ .

Matematikk for økonomerTilbake

5.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Gjennomsnittlig vekstfart, sekanter, tangenter og grenseverdibegrepet.

45 min

14 oppgaver

Gjennomsnittlig vekstfartMomentan vekstfartSekantTangentGrenseverdi

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Gjennomsnittlig vekstfart

f(x)

✏️Kostnadsvekst

En bedrift har kostnadsfunksjon $K(x) = 0{,}1x^2 + 10x + 500$ der $x$ er antall enheter. Finn gjennomsnittlig kostnadsvekst fra $x = 50$ til $x = 100$ .

Vi beregner

K(50)

K(100)

$K(50) = 0{,}1 \cdot 50^2 + 10 \cdot 50 + 500 = 250 + 500 + 500 = 1250$

$K(100) = 0{,}1 \cdot 100^2 + 10 \cdot 100 + 500 = 1000 + 1000 + 500 = 2500$

Gjennomsnittlig vekstfart:
$\frac{K(100) - K(50)}{100 - 50} = \frac{2500 - 1250}{50} = \frac{1250}{50} = 25$

Tolkning: Kostnadene øker i gjennomsnitt med 25 kr per enhet når produksjonen går fra 50 til 100 enheter.

Gjennomsnittlig vekstfart gir et overordnet bilde, men forteller ikke hva som skjer i et bestemt punkt. For å finne vekstfarten akkurat når $x = 50$ , trenger vi momentan vekstfart.

Momentan vekstfart (den deriverte)

f

✏️Finne momentan vekstfart fra definisjonen

Finn $f'(2)$ for $f(x) = x^2$ ved å bruke definisjonen.

Vi setter inn i definisjonen:

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 4}{h}$

Vi utvider $(2+h)^2 = 4 + 4h + h^2$ :

$= \lim_{h \to 0} \frac{4 + 4h + h^2 - 4}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(4 + h)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} (4 + h) = 4$

Altså er $f'(2) = 4$ . Tangentens stigningstall i $x = 2$ er 4.

📝Oppgave 1

En investering har verdi $V(t) = 10000 \cdot 1{,}05^t$ kr etter $t$ år.

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $t = 0$ til $t = 5$ .

Finn gjennomsnittlig vekstfart fra $t = 5$ til $t = 10$ .

Hvorfor er vekstfarten større i del b)?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En bedrift har kostnadsfunksjon $K(x) = 2x^2 + 50x + 1000$ .

Finn gjennomsnittlig kostnadsvekst fra $x = 10$ til $x = 20$ .

Bruk definisjonen til å finne $K'(10)$ .

Hva forteller $K'(10)$ oss økonomisk?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Bruk definisjonen til å derivere $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ .

5.1 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart | Matematikk for økonomer | Eksamenssett