4.5 Investeringsanalyse | Matematikk for økonomer

Netto nåverdi (NPV), internrente (IRR), tilbakebetalingstid og lønnsomhetsvurdering.

50 min

14 oppgaver

Netto nåverdiNPVInternrenteIRRTilbakebetalingstidLønnsomhet

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Investeringsanalyse

Når en bedrift vurderer å investere i et prosjekt, må den analysere om investeringen er lønnsom. De viktigste metodene er:

- Netto nåverdi (NPV) – Net Present Value
- Internrente (IRR) – Internal Rate of Return
- Tilbakebetalingstid – Payback Period

Disse metodene hjelper med å sammenligne ulike investeringsalternativer og ta gode beslutninger.

Netto nåverdi (NPV)

NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1 + r)^t}

✏️Eksempel: NPV-analyse

En bedrift vurderer å kjøpe en maskin for 500 000 kr. Maskinen forventes å gi følgende årlige kontantstrømmer:
- År 1: 150 000 kr
- År 2: 200 000 kr
- År 3: 200 000 kr
- År 4: 150 000 kr

Avkastningskravet er 10%. Bør bedriften investere?

NPV-beregning:

NPV = -500\,000 + \frac{150\,000}{1{,}10} + \frac{200\,000}{1{,}21} + \frac{200\,000}{1{,}331} + \frac{150\,000}{1{,}4641}

$NPV = -500\,000 + 136\,364 + 165\,289 + 150\,263 + 102\,452$

$NPV = -500\,000 + 554\,368 = 54\,368 \text{ kr}$

Konklusjon: NPV er positiv (54 368 kr), så investeringen bør gjennomføres.

Investeringen skaper 54 368 kr i verdi utover avkastningskravet på 10%.

📝Oppgave 1

NPV-beregninger

Investering: 300 000 kr. Kontantstrøm: 100 000 kr/år i 4 år. Avkastningskrav: 8%. Beregn NPV.

Investering: 1 000 000 kr. Kontantstrøm: År 1: 400 000, År 2: 500 000, År 3: 300 000. Rente: 12%. NPV?

Internrente (IRR)

Internrenten er den diskonteringsrenten som gir NPV = 0. Den representerer prosjektets faktiske avkastning.

Internrente (IRR)

r

✏️Eksempel: IRR-beregning

En investering på 100 000 kr gir 60 000 kr etter 1 år og 60 000 kr etter 2 år. Finn internrenten.

Vi løser for $r$ der NPV = 0:

0 = -100\,000 + \frac{60\,000}{1+r} + \frac{60\,000}{(1+r)^2}

Prøving:
- $r = 10\%$ : NPV = $-100000 + 54545 + 49587 = 4\,132$ (for høy)
- $r = 15\%$ : NPV = $-100000 + 52174 + 45369 = -2\,457$ (for lav)
- $r = 13\%$ : NPV = $-100000 + 53097 + 46989 = 86$ (nesten!)

IRR ≈ 13,1%

Hvis avkastningskravet er 10%, bør investeringen aksepteres (IRR > 10%).

I Excel brukes funksjonen =IR(kontantstrømmer) for å beregne IRR.

Eksempel: Hvis kontantstrømmene er i cellene A1:A5 med initial investering som negativt tall:
=IR(A1:A5)

For NPV: =NNV(rente; kontantstrømmer) + initial_investering

📝Oppgave 2

IRR-beregninger

Investering: 200 000 kr. Kontantstrøm: 250 000 kr etter 2 år. Finn IRR.

Ved hvilken rente er NPV = 0 for: -100 000 kr nå, +40 000 kr/år i 3 år?

Tilbakebetalingstid

Tilbakebetalingstiden er tiden det tar før den kumulative kontantstrømmen blir positiv – altså før investeringen er "tjent inn".

Tilbakebetalingstid

\text{Tilbakebetalingstid} = \frac{I_0}{\text{Årlig kontantstrøm}}

✏️Eksempel: Tilbakebetalingstid

En investering på 400 000 kr gir 120 000 kr årlig. Hva er tilbakebetalingstiden?

Enkel tilbakebetalingstid:

\text{Tilbakebetalingstid} = \frac{400\,000}{120\,000} = 3{,}33 \text{ år}

Det tar ca. 3 år og 4 måneder å tjene inn investeringen.

Metode	Fordeler	Ulemper
NPV	Tar hensyn til tidsverdien av penger, gir verdiskapning i kroner	Krever valg av diskonteringsrente
IRR	Lett å forstå (prosent), ingen renteantagelse	Kan gi flere løsninger, problemer med gjensidig utelukkende prosjekter
Tilbakebetalingstid	Enkel, fokus på likviditet	Ignorerer kontantstrømmer etter tilbakebetaling, ignorerer tidsverdi

Anbefaling: Bruk NPV som hovedregel, men IRR og tilbakebetalingstid som supplerende informasjon.

📝Oppgave 3

Sammenligning av prosjekter

Prosjekt A: Invest 500 000, CF 150 000/år i 5 år. Prosjekt B: Invest 500 000, CF 100 000/år i 8 år. Avkastningskrav 10%. Hvilket er best basert på NPV?

Beregn tilbakebetalingstiden for begge prosjektene.

Sensitivitetsanalyse

I praksis er fremtidige kontantstrømmer usikre. Sensitivitetsanalyse undersøker hvordan NPV endres når forutsetningene endres:

- Hva skjer hvis kontantstrømmene blir 10% lavere?
- Hva skjer hvis renten øker med 2 prosentpoeng?
- Hva er break-even for salgsvolum?

Oppsummering

Netto nåverdi (NPV):
$NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t}$
- NPV > 0: Aksepter

Internrente (IRR):
- Renten der NPV = 0
- IRR > avkastningskrav: Aksepter

Tilbakebetalingstid:
- Enkel: $I_0 / \text{årlig CF}$
- Ignorerer tidsverdi

Husk: NPV er den teoretisk beste metoden!

📝Oppgave 4

Helhetlig investeringsanalyse

En ny produksjonslinje koster 2 000 000 kr og gir 500 000 kr/år i 6 år. Avkastningskrav: 8%. Beregn NPV, IRR og tilbakebetalingstid.

Hva må den årlige kontantstrømmen minst være for at prosjektet skal være lønnsomt?

Metode

Fordeler

Ulemper

NPV

Tar hensyn til tidsverdien av penger, gir verdiskapning i kroner

Krever valg av diskonteringsrente

IRR

Lett å forstå (prosent), ingen renteantagelse

Kan gi flere løsninger, problemer med gjensidig utelukkende prosjekter

Tilbakebetalingstid

Enkel, fokus på likviditet

Ignorerer kontantstrømmer etter tilbakebetaling, ignorerer tidsverdi