4.4 Lån og nedbetaling | Matematikk for økonomer

Annuitetslån, serielån, nedbetalingsplaner og sammenligning av lånetyper.

55 min

16 oppgaver

AnnuitetslånSerielånNedbetalingsplanTerminbeløpRestgjeld

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Lån og nedbetaling

De fleste store kjøp finansieres med lån – bolig, bil, utdanning. Det finnes ulike lånetyper med forskjellige nedbetalingsstrukturer:

- Annuitetslån: Like store terminbeløp
- Serielån: Like store avdrag
- Avdragsfrie lån: Kun rentebetaling i en periode

Viktige begreper

Terminbeløp = Avdrag + Renter - Avdrag : Den delen som reduserer gjelden - Renter : Kostnaden for å låne - Restgjeld : Gjenstående lånebeløp - Løpetid : Total nedbetalingstid - Termin : Betalingsperiode (måned, kvartal, år)

Annuitetslån

Ved annuitetslån er terminbeløpet konstant gjennom hele løpetiden. I starten går mesteparten til renter, men etter hvert går mer og mer til avdrag.

Annuitetslån

A = \frac{L \cdot r}{1 - (1 + r)^{-n}}

✏️Eksempel: Annuitetslån

Du tar opp et lån på 500 000 kr med 6% årlig rente og 5 års løpetid. Sett opp nedbetalingsplanen for de første 3 terminene (årlige terminer).

Beregn terminbeløpet:

A = \frac{500\,000 \cdot 0{,}06}{1 - (1{,}06)^{-5}} = \frac{30\,000}{0{,}2527} = 118\,698 \text{ kr}

Nedbetalingsplan:

Termin	Restgjeld start	Renter	Avdrag	Terminbeløp	Restgjeld slutt
1	500 000	30 000	88 698	118 698	411 302
2	411 302	24 678	94 020	118 698	317 282
3	317 282	19 037	99 661	118 698	217 621

Observasjon: Terminbeløpet er konstant, men avdragene øker og rentene synker.

📝Oppgave 1

Annuitetslån

Lån: 200 000 kr, 8% årlig rente, 4 år. Beregn årlig terminbeløp.

For lånet i a): Hvor mye betales i renter første år?

For lånet i a): Hva er restgjelden etter 1. termin?

Serielån

Ved serielån er avdraget konstant gjennom hele løpetiden. Terminbeløpet starter høyt og synker gradvis etter hvert som rentene avtar.

Serielån

\text{Avdrag} = \frac{L}{n}

✏️Eksempel: Serielån

Du tar opp et lån på 500 000 kr med 6% årlig rente og 5 års løpetid (serielån). Sett opp nedbetalingsplanen for de første 3 terminene.

Beregn avdraget:

\text{Avdrag} = \frac{500\,000}{5} = 100\,000 \text{ kr/år}

Nedbetalingsplan:

Termin	Restgjeld start	Renter	Avdrag	Terminbeløp	Restgjeld slutt
1	500 000	30 000	100 000	130 000	400 000
2	400 000	24 000	100 000	124 000	300 000
3	300 000	18 000	100 000	118 000	200 000

Observasjon: Avdragene er konstante, men terminbeløpet synker.

Sammenligning: Annuitetslån vs. Serielån

Egenskap	Annuitetslån	Serielån
Terminbeløp	Konstant	Synkende
Avdrag	Økende	Konstant
Total rentekostnad	Høyere	Lavere
Likviditet i starten	Bedre	Mer krevende
Vanligst brukt	Boliglån	Bedriftslån

Tommelfingerregel: Serielån gir lavere total rentekostnad, men krever høyere betalingsevne i starten.

📝Oppgave 2

Sammenligning av lånetyper

Lån: 1 000 000 kr, 5% rente, 10 år. Beregn første terminbeløp for annuitets- og serielån.

Samme lån: Beregn siste terminbeløp for begge låntyper.

Beregning av restgjeld

For å finne restgjelden på et annuitetslån etter $k$ terminer, kan vi bruke:

Restgjeld etter k terminer (annuitetslån)

R_k = L \cdot \frac{(1+r)^n - (1+r)^k}{(1+r)^n - 1}

✏️Eksempel: Restgjeld

Et lån på 2 000 000 kr med 4% rente og 20 års løpetid. Hva er restgjelden etter 10 år?

Beregn først terminbeløpet:

A = \frac{2\,000\,000 \cdot 0{,}04}{1 - (1{,}04)^{-20}} = \frac{80\,000}{0{,}5434} = 147\,214 \text{ kr}

Restgjeld etter 10 år (10 terminer gjenstår):
$R_{10} = 147\,214 \cdot \frac{1 - (1{,}04)^{-10}}{0{,}04}$
$R_{10} = 147\,214 \cdot 8{,}1109 = 1\,194\,050 \text{ kr}$

Etter 10 år har du fortsatt ca. 1,19 millioner i gjeld.

📝Oppgave 3

Restgjeld og innfrielse

Boliglån: 3 000 000 kr, 3,5% rente, 25 år. Hva er restgjelden etter 5 år?

Du ønsker å betale ekstra 100 000 kr etter 5 år. Hvor mye kortere blir løpetiden?

Effektiv rente på lån

Den effektive renten inkluderer alle kostnader knyttet til lånet – ikke bare renten, men også gebyrer og provisjoner. Banker er pålagt å oppgi effektiv rente.

Oppsummering

Annuitetslån:
- Konstant terminbeløp
- Avdrag øker, renter synker
- Mest vanlig for boliglån

Serielån:
- Konstant avdrag
- Terminbeløp synker
- Lavere total rentekostnad

Viktige formler:
- Terminbeløp: $\displaystyle A = \frac{L \cdot r}{1 - (1+r)^{-n}}$
- Restgjeld: $\displaystyle R_k = A \cdot \frac{1 - (1+r)^{-(n-k)}}{r}$

📝Oppgave 4

Praktiske lånescenarioer

Billån: 350 000 kr, 7% rente, 5 år med månedlige terminer. Finn månedlig terminbeløp og total rentekostnad.

Du refinansierer boliglånet ditt fra 4,5% til 3,5% rente. Lånet er 2 500 000 kr med 20 år igjen. Hvor mye sparer du per måned?

Termin

Restgjeld start

Renter

Avdrag

Terminbeløp

Restgjeld slutt

500 000

30 000

88 698

118 698

411 302

24 678

94 020

118 698

317 282

19 037

99 661

118 698

217 621

Termin

Restgjeld start

Renter

Avdrag

Terminbeløp

Restgjeld slutt

500 000

30 000

100 000

130 000

400 000

24 000

100 000

124 000

300 000

18 000

100 000

118 000

200 000

Egenskap

Annuitetslån

Serielån

Terminbeløp

Konstant

Synkende

Avdrag

Økende

Konstant

Total rentekostnad

Høyere

Lavere

Likviditet i starten

Bedre

Mer krevende

Vanligst brukt

Boliglån

Bedriftslån