4.3 Annuiteter | Matematikk for økonomer

Ordinære annuiteter, annuiteter forskudd, nåverdi og sluttverdi av annuiteter.

60 min

18 oppgaver

AnnuitetOrdinær annuitetAnnuitet forskuddAnnuitetsformelSpareavtaler

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Annuiteter

En annuitet er en serie like store betalinger som skjer med jevne mellomrom. Annuiteter er svært vanlige i finans:

- Månedlige lønnsutbetalinger
- Leieinntekter
- Pensjonssparing
- Avdrag på lån
- Forsikringspremier

Ordinær annuitet (etterskudd):
Betalinger skjer på slutten av hver periode.
Eksempel: Lønn utbetales på slutten av måneden.

Annuitet forskudd:
Betalinger skjer på begynnelsen av hver periode.
Eksempel: Husleie betales i begynnelsen av måneden.

Nåverdi av ordinær annuitet

A

Sluttverdi av ordinær annuitet

FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}

✏️Eksempel: Månedlig sparing

Du sparer 2 000 kr i måneden i 10 år. Renten er 6% årlig (0,5% per måned). Hvor mye har du til slutt?

Gitt:
-

A = 2\,000

kr/måned
-

r = 0{,}005

(0,5% per måned)
-

n = 120

måneder (10 år)

Løsning:
$FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r} = 2\,000 \cdot \frac{(1{,}005)^{120} - 1}{0{,}005}$

$FV = 2\,000 \cdot \frac{1{,}8194 - 1}{0{,}005} = 2\,000 \cdot \frac{0{,}8194}{0{,}005}$

$FV = 2\,000 \cdot 163{,}88 = 327\,760 \text{ kr}$

Du har spart inn totalt $2\,000 \cdot 120 = 240\,000$ kr, men har 327 760 kr takket være rentes rente!

📝Oppgave 1

Sluttverdi av annuitet

Du sparer 5 000 kr/år i 20 år til 4% rente. Hva er sluttverdien?

Du sparer 1 000 kr/måned i 5 år til 6% årlig rente (0,5%/mnd). Hva er sluttverdien?

✏️Eksempel: Pensjonssparing

Du ønsker å ha 3 000 000 kr når du går av med pensjon om 30 år. Renten er 5% årlig. Hvor mye må du spare per år?

Vi løser for $A$ :

FV = A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}

$A = \frac{FV \cdot r}{(1 + r)^n - 1}$

Beregning:
$A = \frac{3\,000\,000 \cdot 0{,}05}{(1{,}05)^{30} - 1} = \frac{150\,000}{4{,}3219 - 1}$

$A = \frac{150\,000}{3{,}3219} = 45\,153 \text{ kr/år}$

Du må spare ca. 45 000 kr per år, eller ca. 3 760 kr per måned.

Nåverdi av annuitet

Nåverdien er nyttig når vi skal vurdere verdien av fremtidige utbetalinger i dag.

✏️Eksempel: Nåverdi av leieinntekter

Du vurderer å kjøpe en utleiebolig som gir 10 000 kr i månedlig leieinntekt i 15 år. Avkastningskravet er 6% årlig (0,5% per måned). Hva er nåverdien av leieinntektene?

Gitt:
-

A = 10\,000

kr/måned
-

r = 0{,}005

(0,5% per måned)
-

n = 180

måneder (15 år)

Løsning:
$PV = A \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} = 10\,000 \cdot \frac{1 - (1{,}005)^{-180}}{0{,}005}$

$PV = 10\,000 \cdot \frac{1 - 0{,}4074}{0{,}005} = 10\,000 \cdot \frac{0{,}5926}{0{,}005}$

$PV = 10\,000 \cdot 118{,}52 = 1\,185\,200 \text{ kr}$

Nåverdien av leieinntektene er ca. 1,19 millioner kr.

📝Oppgave 2

Nåverdi av annuitet

Finn nåverdien av 50 000 kr/år i 10 år med 8% rente.

En pensjon utbetaler 25 000 kr/måned i 20 år. Renten er 4% årlig. Hva er nåverdien?

Annuitet forskudd

Ved annuitet forskudd skjer betalingene i begynnelsen av hver periode. Formlene justeres ved å multiplisere med $(1 + r)$ .

Annuitet forskudd

PV_{forskudd} = A \cdot \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \cdot (1 + r)

📝Oppgave 3

Annuitet forskudd vs. etterskudd

Sammenlign sluttverdien av 1 000 kr/måned i 5 år til 6% (0,5%/mnd) for både etterskudd og forskudd.

Husleie på 15 000 kr/måned betales forskuddsvis i 3 år. Hva er nåverdien med 5% årlig rente?

Beregning av terminbeløp

Ofte vet vi hvor mye vi ønsker å oppnå (sluttverdi) eller hvor mye vi kan låne (nåverdi), og må finne terminbeløpet.

Beregning av terminbeløp

A = \frac{FV \cdot r}{(1 + r)^n - 1}

✏️Eksempel: Månedlig terminbeløp på lån

Du tar opp et boliglån på 3 000 000 kr med 4% årlig rente og 25 års nedbetalingstid. Hva blir det månedlige terminbeløpet?

Gitt:
-

PV = 3\,000\,000

kr
- Årlig rente = 4%, månedlig rente

r = 0{,}04/12 = 0{,}00333

n = 25 \cdot 12 = 300

måneder

Løsning:
$A = \frac{PV \cdot r}{1 - (1 + r)^{-n}} = \frac{3\,000\,000 \cdot 0{,}00333}{1 - (1{,}00333)^{-300}}$

$A = \frac{10\,000}{1 - 0{,}3689} = \frac{10\,000}{0{,}6311} = 15\,847 \text{ kr/måned}$

Det månedlige terminbeløpet er ca. 15 850 kr.

📝Oppgave 4

Terminbeløp

Billån på 400 000 kr, 5% rente, 5 års nedbetaling. Finn månedlig terminbeløp.

Du vil spare opp 500 000 kr på 15 år med 5% rente. Hvor mye må du spare årlig?

Oppsummering

Annuitetsformler (ordinær annuitet):

Konsept	Formel
Nåverdi	$\displaystyle PV = A \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$
Sluttverdi	$\displaystyle FV = A \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}$
Terminbeløp fra PV	$\displaystyle A = \frac{PV \cdot r}{1 - (1+r)^{-n}}$
Terminbeløp fra FV	$\displaystyle A = \frac{FV \cdot r}{(1+r)^n - 1}$

For annuitet forskudd: Multipliser med

(1 + r)

📝Oppgave 5

Utfordringsoppgaver

Du starter å spare 3 000 kr/mnd fra du er 25 til du er 67 (42 år). Med 6% årlig rente, hvor mye har du ved pensjon?

Hvor mye kan du ta ut månedlig i 25 år med pensjonsbeholdningen fra a) og 4% rente?

Konsept

Formel

Nåverdi

\displaystyle PV = A \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}

Sluttverdi

\displaystyle FV = A \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r}

Terminbeløp fra PV

\displaystyle A = \frac{PV \cdot r}{1 - (1+r)^{-n}}

Terminbeløp fra FV

\displaystyle A = \frac{FV \cdot r}{(1+r)^n - 1}