4.2 Nåverdi og fremtidsverdi | Matematikk for økonomer

Diskontering, nåverdi av enkeltbeløp og kontantstrømmer, tidsverdien av penger.

55 min

16 oppgaver

NåverdiFremtidsverdiDiskonteringKontantstrømTidsverdien av penger

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Nåverdi og fremtidsverdi

Et av de viktigste konseptene i finans er at penger har en tidsverdi. 1000 kr i dag er mer verdt enn 1000 kr om ett år, fordi du kan investere pengene og tjene renter.

Dette kapittelet handler om å:
- Beregne hva fremtidige beløp er verdt i dag (nåverdi)
- Beregne hva et beløp i dag blir til i fremtiden (fremtidsverdi)
- Sammenligne kontantstrømmer på ulike tidspunkter

I finansmatematikk er det nyttig å tegne en tidslinje for å visualisere kontantstrømmer:

``Nåverdi Fremtidsverdi ↓ ↓ ─────┼───────────────────┼─────→ tid 0 n``

- Tidspunkt 0 = i dag (nåtid)
- Tidspunkt n = n perioder frem i tid

Fremtidsverdi (FV)

FV = PV \cdot (1 + r)^n

Nåverdi (PV)

PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}

✏️Eksempel: Nåverdi av enkeltbeløp

Du skal motta 100 000 kr om 5 år. Diskonteringsrenten er 6%. Hva er nåverdien av dette beløpet?

Gitt:
-

FV = 100\,000

kr
-

r = 0{,}06

(6%)
-

n = 5

år

Løsning:
$PV = \frac{FV}{(1 + r)^n} = \frac{100\,000}{(1{,}06)^5}$
$PV = \frac{100\,000}{1{,}3382} = 74\,726 \text{ kr}$

Tolkning: 100 000 kr om 5 år tilsvarer 74 726 kr i dag.

Med andre ord: Hvis du investerer 74 726 kr til 6% rente i dag, vil du ha 100 000 kr om 5 år.

📝Oppgave 1

Grunnleggende nåverdi

Finn nåverdien av 50 000 kr som mottas om 3 år. Renten er 5%.

Finn nåverdien av 200 000 kr som mottas om 10 år. Renten er 8%.

Hva er 1 000 000 kr verdt i dag hvis du mottar dem om 20 år med 4% rente?

Løs oppgaven Tren

Diskonteringsrenten

Diskonteringsrenten representerer alternativkostnaden ved å binde kapital. Den reflekterer:

- Risikofri rente (f.eks. statsobligasjoner)
- Risikopremie (kompensasjon for usikkerhet)
- Inflasjonsforventninger

Jo høyere diskonteringsrente, jo lavere nåverdi.

✏️Eksempel: Effekten av ulike diskonteringsrenter

Finn nåverdien av 100 000 kr om 10 år med henholdsvis 4%, 8% og 12% diskonteringsrente.

Med 4% rente:

PV = \frac{100\,000}{(1{,}04)^{10}} = \frac{100\,000}{1{,}4802} = 67\,556 \text{ kr}

Med 8% rente:
$PV = \frac{100\,000}{(1{,}08)^{10}} = \frac{100\,000}{2{,}1589} = 46\,319 \text{ kr}$

Med 12% rente:
$PV = \frac{100\,000}{(1{,}12)^{10}} = \frac{100\,000}{3{,}1058} = 32\,197 \text{ kr}$

Observasjon: Høyere rente gir betydelig lavere nåverdi!

Nåverdi av flere kontantstrømmer

Ofte har vi ikke bare ett enkelt beløp, men flere beløp på ulike tidspunkter. Da beregner vi nåverdien av hver kontantstrøm og summerer.

Nåverdi av kontantstrøm

C_1, C_2, ..., C_n

✏️Eksempel: Nåverdi av kontantstrøm

Et prosjekt gir følgende kontantstrøm:
- År 1: 30 000 kr
- År 2: 40 000 kr
- År 3: 50 000 kr

Finn nåverdien med 7% diskonteringsrente.

Beregning:

PV = \frac{30\,000}{(1{,}07)^1} + \frac{40\,000}{(1{,}07)^2} + \frac{50\,000}{(1{,}07)^3}

$PV = \frac{30\,000}{1{,}07} + \frac{40\,000}{1{,}1449} + \frac{50\,000}{1{,}2250}$

$PV = 28\,037 + 34\,938 + 40\,816 = 103\,791 \text{ kr}$

Tolkning: Den totale nåverdien av disse tre utbetalingene er 103 791 kr.

📝Oppgave 2

Nåverdi av kontantstrømmer

Finn nåverdien av 20 000 kr per år i 3 år med 5% rente.

Et prosjekt gir 10 000 kr i år 1, 15 000 kr i år 2, og 25 000 kr i år 3. Renten er 6%. Finn nåverdien.

Netto nåverdi (NPV)

I investeringsanalyse trekker vi ofte fra den initiale investeringen for å finne netto nåverdi (Net Present Value, NPV).

Netto nåverdi (NPV)

NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + r)^t}

✏️Eksempel: NPV-beregning

En maskin koster 100 000 kr og forventes å gi følgende kontantstrøm:
- År 1: 35 000 kr
- År 2: 40 000 kr
- År 3: 45 000 kr

Avkastningskravet er 10%. Bør du investere?

NPV-beregning:

NPV = -100\,000 + \frac{35\,000}{1{,}10} + \frac{40\,000}{1{,}21} + \frac{45\,000}{1{,}331}

$NPV = -100\,000 + 31\,818 + 33\,058 + 33\,808$

$NPV = -100\,000 + 98\,684 = -1\,316 \text{ kr}$

Konklusjon: NPV er negativ (-1 316 kr), så investeringen bør ikke gjennomføres med et avkastningskrav på 10%.

📝Oppgave 3

NPV-beregninger

Investeringskostnad: 50 000 kr. Kontantstrøm: 20 000 kr/år i 3 år. Rente: 8%. Beregn NPV.

Ved hvilken rente blir NPV i oppgave a) lik null?

Oppsummering

Viktige formler:

Konsept	Formel
Fremtidsverdi	$FV = PV \cdot (1 + r)^n$
Nåverdi	$\displaystyle PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}$
Nåverdi av kontantstrøm	$\displaystyle PV = \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^t}$
Netto nåverdi	$\displaystyle NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^t}$

Nøkkelpunkter:
- Penger har tidsverdi – 1 kr i dag er mer verdt enn 1 kr i fremtiden
- Høyere diskonteringsrente → lavere nåverdi
- NPV > 0 betyr lønnsom investering

📝Oppgave 4

Utfordringsoppgaver

Du kan velge mellom 80 000 kr nå eller 100 000 kr om 3 år. Hva er break-even renten?

Et prosjekt koster 200 000 kr og gir 60 000 kr/år i 5 år. Finn NPV med 12% rente.

Konsept

Formel

Fremtidsverdi

FV = PV \cdot (1 + r)^n

Nåverdi

\displaystyle PV = \frac{FV}{(1 + r)^n}

Nåverdi av kontantstrøm

\displaystyle PV = \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^t}

Netto nåverdi

\displaystyle NPV = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+r)^t}