3.4 Logaritmer | Matematikk for økonomer

Logaritmebegrepet, logaritmeregler og løsning av eksponentiallikninger.

55 min

16 oppgaver

LogaritmerBriggske logaritmerNaturlige logaritmerLogaritmeregler

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Logaritmer er det motsatte av potenser. I økonomi bruker vi logaritmer til å finne ut hvor lang tid det tar før en investering når en viss verdi, eller til å løse likninger der den ukjente står i eksponenten.

Logaritme

x

Briggske og naturlige logaritmer

\log x = \log_{10} x

✏️Eksempel 1

Regn ut uten kalkulator:

a) $\log_2 16$
b) $\log_3 27$
c) $\log 1000$
d) $\ln e^5$

Løsning:

a) $\log_2 16 = 4$ fordi $2^4 = 16$

b) $\log_3 27 = 3$ fordi $3^3 = 27$

c) $\log 1000 = 3$ fordi $10^3 = 1000$

d) $\ln e^5 = 5$ fordi $e^5 = e^5$

📝Oppgave 1

Regn ut uten kalkulator

\log_2 32

\log_4 64

\log 10\,000

\ln e^2

\log_5 125

\displaystyle \log_2 \frac{1}{8}

Løs oppgaven Tren

📜Logaritmeregler

For positive tall $x$ og $y$ , og vilkårlig grunntall $a > 0$ , $a \neq 1$ :

Regel	Formel
Produktregelen	$\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
Kvotientregelen	$\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
Potensregelen	$\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x$
Logaritme av 1	$\log_a 1 = 0$
Logaritme av grunntall	$\log_a a = 1$

✏️Eksempel 2

Skriv som én logaritme:

a) $\log 5 + \log 4$
b) $\ln 12 - \ln 3$
c) $3 \log 2$

Løsning:

a) $\log 5 + \log 4 = \log(5 \cdot 4) = \log 20$

b) $\displaystyle \ln 12 - \ln 3 = \ln\left(\frac{12}{3}\right) = \ln 4$

c) $3 \log 2 = \log 2^3 = \log 8$

📝Oppgave 2

Skriv som én logaritme

\log 8 + \log 5

\ln 20 - \ln 4

2 \log 5

\log 6 + \log 3 - \log 2

\displaystyle \frac{1}{2}\ln 16

Løs oppgaven Tren

Løse eksponentiallikninger

Når den ukjente står i eksponenten, tar vi logaritmen på begge sider:

$a^x = b \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\ln b}{\ln a}$

Dette følger fra potensregelen: $\ln(a^x) = x \cdot \ln a$ .

✏️Eksempel 3

Løs likningen $2^x = 10$

Løsning:

Vi tar den naturlige logaritmen på begge sider:
$\ln(2^x) = \ln 10$

Bruker potensregelen:
$x \cdot \ln 2 = \ln 10$

Løser for $x$ :
$x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \frac{2{,}303}{0{,}693} \approx 3{,}32$

📝Oppgave 3

Løs eksponentiallikningene (bruk kalkulator)

3^x = 20

5^x = 100

1{,}05^x = 2

e^x = 50

Løs oppgaven Tren

Anvendelse i økonomi

Eksempel: Doblingstid

Hvor lang tid tar det før en investering dobles med $r\%$ årlig rente?

Vi løser $K_0 \cdot (1+r)^t = 2K_0$ :
$(1+r)^t = 2$
$t = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}$

Tommelfingerregel: Doblingstid $\displaystyle \approx \frac{72}{r}$ (der $r$ er rentesatsen i prosent)

✏️Eksempel 4

Du investerer 50 000 kr med 6% årlig avkastning. Hvor lang tid tar det før investeringen er verdt 80 000 kr?

Løsning:

Vi løser: $50\,000 \cdot 1{,}06^t = 80\,000$

$1{,}06^t = \frac{80\,000}{50\,000} = 1{,}6$

$t = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}06} = \frac{0{,}470}{0{,}058} \approx 8{,}1 \text{ år}$

Det tar ca. 8 år og 1 måned.

📝Oppgave 4

Løs de økonomiske problemene

Hvor lang tid tar det å doble en investering med 5% årlig rente?

En investering på 100 000 kr skal vokse til 150 000 kr med 8% årlig avkastning. Hvor lang tid tar det?

En bil faller 12% i verdi per år. Hvor lang tid tar det før verdien er halvert?

Du vil ha 1 000 000 kr om 20 år. Med 7% årlig avkastning, hvor mye må du investere nå?

Løs oppgaven Tren

📜Skifte av grunntall

Vi kan skrive om logaritmer fra ett grunntall til et annet:

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} = \frac{\log x}{\log a}$

Dette er nyttig når kalkulatoren bare har $\ln$ og $\log$ .

📝Oppgave 5

Regn ut med kalkulator

\log_2 50

\log_3 100

\log_5 1000

Løs oppgaven Tren

📜Oppsummering: Logaritmer

Begrep/Regel	Formel
Definisjon	$\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x$
Briggsk logaritme	$\log x = \log_{10} x$
Naturlig logaritme	$\ln x = \log_e x$
Produktregel	$\log(xy) = \log x + \log y$
Kvotientregel	$\log(x/y) = \log x - \log y$
Potensregel	$\log(x^n) = n \cdot \log x$
Løse $a^x = b$	$\displaystyle x = \frac{\ln b}{\ln a}$
Skifte grunntall	$\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 2 oppgaver

Regel

Formel

Produktregelen

\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y

Kvotientregelen

\displaystyle \log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y

Potensregelen

\log_a(x^n) = n \cdot \log_a x

Logaritme av 1

\log_a 1 = 0

Logaritme av grunntall

\log_a a = 1

Begrep/Regel

Formel

Definisjon

\log_a x = y \Leftrightarrow a^y = x

Briggsk logaritme

\log x = \log_{10} x

Naturlig logaritme

\ln x = \log_e x

Produktregel

\log(xy) = \log x + \log y

Kvotientregel

\log(x/y) = \log x - \log y

Potensregel

\log(x^n) = n \cdot \log x

Løse

a^x = b

\displaystyle x = \frac{\ln b}{\ln a}

Skifte grunntall

\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}