3.5 Nullpunkter og fortegn | Matematikk for økonomer

Finn nullpunktene til andregradsfunksjoner og bestem fortegnet.

35 min

10 oppgaver

NullpunkterFortegnslinjeFaktorisert form

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Nullpunktene til en funksjon er

x

-verdiene der

f(x) = 0

. For andregradsfunksjoner finner vi nullpunktene ved å løse andregradslikningen

ax^2 + bx + c = 0

I dette kapitlet lærer du:
- Å finne nullpunkter ved faktorisering
- Å bruke abc-formelen
- Å analysere fortegnet til en andregradsfunksjon

Faktorisering

Hvis vi kan faktorisere uttrykket $ax^2 + bx + c$ , kan vi finne nullpunktene direkte.

Metode: Finn to tall som:
- Ganget gir $a \cdot c$
- Addert gir $b$

✏️Eksempel 1

Finn nullpunktene til $f(x) = x^2 - 5x + 6$ ved faktorisering.

Vi leter etter to tall som ganget gir 6 og addert gir

-5

$(-2) \cdot (-3) = 6$ og $(-2) + (-3) = -5$ ✓

$f(x) = (x - 2)(x - 3)$

Nullpunkter: $f(x) = 0$ når $(x-2)(x-3) = 0$

Nullpunkter: $x = 2$ og $x = 3$

📝Oppgave 1

Finn nullpunktene ved faktorisering:

f(x) = x^2 - 7x + 12

g(x) = x^2 + 2x - 15

h(x) = x^2 - 9

📜Abc-formelen

Løsningene til

ax^2 + bx + c = 0

er:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ bestemmer antall løsninger:
- $D > 0$ : To ulike nullpunkter
- $D = 0$ : Ett nullpunkt (dobbeltrot)
- $D < 0$ : Ingen nullpunkter

✏️Eksempel 2

Finn nullpunktene til $f(x) = 2x^2 + 4x - 6$ med abc-formelen.

a = 2

b = 4

c = -6

Diskriminanten:
$D = b^2 - 4ac = 16 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64$

Nullpunktene:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 8}{4}$

$\displaystyle x = \frac{-4 + 8}{4} = 1$ eller $\displaystyle x = \frac{-4 - 8}{4} = -3$

Nullpunkter: $x = 1$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn nullpunktene med abc-formelen:

f(x) = x^2 - 4x + 1

g(x) = 2x^2 - 6x + 3

Faktorisert form

x_1

✏️Eksempel 3

Skriv $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ på faktorisert form.

Steg 1: Finn nullpunktene med abc-formelen:

a = 2

b = -8

c = 6

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4}$

$x = 3$ eller $x = 1$

Steg 2: Skriv på faktorisert form:
$f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$

Kontroll: $2(x-1)(x-3) = 2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6$ ✓

📝Oppgave 3

Skriv funksjonene på faktorisert form:

f(x) = x^2 - 6x + 8

g(x) = -x^2 + 4x + 5

Fortegnsanalyse

Når vi kjenner nullpunktene, kan vi bestemme fortegnet til $f(x)$ i ulike intervaller.

Metode:
1. Finn nullpunktene
2. Del tallinja i intervaller ved nullpunktene
3. Test en $x$ -verdi i hvert intervall
4. Tegn fortegnslinje

✏️Eksempel 4

Lag fortegnslinje for $f(x) = x^2 - 4$ .

Nullpunkter:

x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Intervaller: $(-\infty, -2)$ , $(-2, 2)$ , $(2, \infty)$

Test:
- $x = -3$ : $f(-3) = 9 - 4 = 5 > 0$
- $x = 0$ : $f(0) = 0 - 4 = -4 < 0$
- $x = 3$ : $f(3) = 9 - 4 = 5 > 0$

Fortegnslinje:

$x < -2$	$x = -2$	$-2 < x < 2$	$x = 2$	$x > 2$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Siden

a = 1 > 0

, er

f(x) > 0

utenfor nullpunktene og

f(x) < 0

mellom dem.

📝Oppgave 4

Lag fortegnslinje for funksjonene:

f(x) = x^2 - 9

g(x) = -x^2 + 4x - 3

Huskeregel for fortegn

For $f(x) = ax^2 + bx + c$ med to nullpunkter $x_1 < x_2$ :

- Hvis $a > 0$ : $f(x) > 0$ når $x < x_1$ eller $x > x_2$
- Hvis $a < 0$ : $f(x) > 0$ når $x_1 < x < x_2$

Parabelen er over x-aksen der $f(x) > 0$

✏️Eksempel 5

Løs ulikheten $x^2 - 3x - 10 > 0$ .

Steg 1: Finn nullpunktene

(x - 5)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 5

eller

x = -2

Steg 2: Fortegnsanalyse
Siden $a = 1 > 0$ , er parabelen positiv utenfor nullpunktene.

Løsning: $x < -2$ eller $x > 5$

Intervallnotasjon: $x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)$

📝Oppgave 5

Løs ulikhetene:

x^2 - 4x - 5 > 0

x^2 - 6x + 8 \leq 0

-x^2 + 2x + 3 > 0

📝Oppgave 6

For hvilke verdier av $k$ har $f(x) = x^2 - 4x + k$ to ulike nullpunkter?

x < -2

x = -2

-2 < x < 2

x = 2

x > 2

f(x)

+

0

-

0

+