3.3 Eksponentialfunksjoner | Matematikk for økonomer

Eksponentiell vekst og nedgang, vekstfaktor og halveringstid.

55 min

18 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstidDoblingstid

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

En eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Disse funksjonene modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre områder.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å tegne eksponentialfunksjoner
- Praktiske anvendelser

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ bestemmer om funksjonen vokser eller avtar:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Hvis noe øker med $p\%$ per enhet:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Hvis noe avtar med $p\%$ per enhet:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

En bakteriekultur starter med 1000 bakterier og dobler seg hver time. Sett opp en funksjon for antall bakterier etter $t$ timer.

Startverdi:

a = 1000

Vekstfaktor:

b = 2

(dobling)

$N(t) = 1000 \cdot 2^t$

Sjekk:
- $N(0) = 1000 \cdot 2^0 = 1000$ ✓
- $N(1) = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ ✓
- $N(2) = 1000 \cdot 2^2 = 4000$ ✓

📝Oppgave 1

En populasjon på 500 individer vokser med 8% per år. Sett opp en funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

En bil mister 15% av verdien hvert år. Den koster 400 000 kr ny. Sett opp en funksjon for bilens verdi etter $t$ år.

Startverdi:

a = 400\,000

Nedgang:

15\%

Vekstfaktor:

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

$V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$

Verdi etter 5 år:
$V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,000 \text{ kr}$

📝Oppgave 2

En maskin koster 200 000 kr og mister 25% av verdien hvert år. Sett opp en funksjon og finn verdien etter 4 år.

Grafens egenskaper

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjæring)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkter
- Horisontal asymptote $y = 0$

Hvis $b > 1$ :
- Grafen stiger
- Bratt vekst for store $x$

Hvis $0 < b < 1$ :
- Grafen synker
- Nærmer seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Sammenlign grafene til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stiger fra venstre mot høyre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Synker fra venstre mot høyre
- $g(0) = 1$

De to grafene er speilinger av hverandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 3

Avgjør om funksjonene viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tiden det tar før verdien er doblet.
For $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ er doblingstiden $T$ .

Halveringstid: Tiden det tar før verdien er halvert.
For $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ er halveringstiden $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente. Hvor mye har du etter 20 år?

Startverdi:

a = 10\,000

Vekstfaktor:

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

$K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$

Etter 20 år:
$K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061 \text{ kr}$

Du har tjent ca. 8061 kr i renter.

📝Oppgave 4

Finn vekstfaktoren:

5% økning per år

20% nedgang per time

Tredobling per uke

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punktene $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du starter med 200 gram. Sett opp en funksjon og finn hvor mye som er igjen etter 15 år.

Eksponentiell vekst og nedgang, vekstfaktor og halveringstid.

55 min

18 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktorHalveringstidDoblingstid

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

En eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Disse funksjonene modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre områder.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å tegne eksponentialfunksjoner
- Praktiske anvendelser

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ bestemmer om funksjonen vokser eller avtar:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Hvis noe øker med $p\%$ per enhet:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Hvis noe avtar med $p\%$ per enhet:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

En bakteriekultur starter med 1000 bakterier og dobler seg hver time. Sett opp en funksjon for antall bakterier etter $t$ timer.

Startverdi:

a = 1000

Vekstfaktor:

b = 2

(dobling)

$N(t) = 1000 \cdot 2^t$

Sjekk:
- $N(0) = 1000 \cdot 2^0 = 1000$ ✓
- $N(1) = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ ✓
- $N(2) = 1000 \cdot 2^2 = 4000$ ✓

📝Oppgave 1

En populasjon på 500 individer vokser med 8% per år. Sett opp en funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

En bil mister 15% av verdien hvert år. Den koster 400 000 kr ny. Sett opp en funksjon for bilens verdi etter $t$ år.

Startverdi:

a = 400\,000

Nedgang:

15\%

Vekstfaktor:

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

$V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$

Verdi etter 5 år:
$V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,000 \text{ kr}$

📝Oppgave 2

En maskin koster 200 000 kr og mister 25% av verdien hvert år. Sett opp en funksjon og finn verdien etter 4 år.

Grafens egenskaper

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjæring)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkter
- Horisontal asymptote $y = 0$

Hvis $b > 1$ :
- Grafen stiger
- Bratt vekst for store $x$

Hvis $0 < b < 1$ :
- Grafen synker
- Nærmer seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Sammenlign grafene til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stiger fra venstre mot høyre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Synker fra venstre mot høyre
- $g(0) = 1$

De to grafene er speilinger av hverandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 3

Avgjør om funksjonene viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tiden det tar før verdien er doblet.
For $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ er doblingstiden $T$ .

Halveringstid: Tiden det tar før verdien er halvert.
For $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ er halveringstiden $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente. Hvor mye har du etter 20 år?

Startverdi:

a = 10\,000

Vekstfaktor:

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

$K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$

Etter 20 år:
$K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061 \text{ kr}$

Du har tjent ca. 8061 kr i renter.

📝Oppgave 4

Finn vekstfaktoren:

5% økning per år

20% nedgang per time

Tredobling per uke

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punktene $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du starter med 200 gram. Sett opp en funksjon og finn hvor mye som er igjen etter 15 år.