3.2 Andregradsfunksjoner | Matematikk for økonomer

Parabeler, toppunkt, bunnpunkt og nullpunkter.

50 min

16 oppgaver

AndregradsfunksjonerParabelToppunktBunnpunktNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

En andregradsfunksjon er en funksjon på formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ der $a \neq 0$ .

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

I dette kapitlet lærer du:
- Hvordan parabeler ser ut
- Å finne toppunkt eller bunnpunkt
- Å finne symmetrilinje
- Å tegne parabeler

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

Parabelens form

Fortegnet til $a$ bestemmer om parabelen er smilende eller sur:

- $a > 0$ : Parabelen åpner oppover (har bunnpunkt)
- $a < 0$ : Parabelen åpner nedover (har toppunkt)

Jo større $|a|$ er, desto smalere er parabelen.
Jo mindre $|a|$ er, desto bredere er parabelen.

✏️Eksempel 1

Beskriv grafen til $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ .

Vi har $a = 2$ , $b = -4$ og $c = 1$ .

Form: Siden $a = 2 > 0$ , åpner parabelen oppover (har bunnpunkt).

Skjæring med y-aksen: $f(0) = 1$ , så grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, 1)$ .

Parabelen er relativt smal fordi $|a| = 2 > 1$ .

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonene har toppunkt eller bunnpunkt, og om parabelen er smal eller bred:

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -3x^2 + 6x

\displaystyle h(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 4x + 5

📜Symmetrilinje og toppunkt/bunnpunkt

For andregradsfunksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ gjelder:

Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$

Toppunkt/bunnpunkt: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

Parabelen er symmetrisk om den vertikale linjen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ .

✏️Eksempel 2

Finn symmetrilinje og bunnpunkt for $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Vi har

a = 1

b = -6

c = 5

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Bunnpunktets x-koordinat: $x = 3$

Bunnpunktets y-koordinat:
$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$

Bunnpunkt: $(3, -4)$

Siden $a = 1 > 0$ , har funksjonen bunnpunkt (ikke toppunkt).

📝Oppgave 2

Finn symmetrilinje og bunnpunkt for funksjonene:

f(x) = x^2 - 8x + 12

g(x) = x^2 + 4x + 1

✏️Eksempel 3

Finn toppunkt for $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ .

Vi har

a = -2

b = 8

c = -3

Siden $a = -2 < 0$ , har funksjonen et toppunkt.

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

Toppunktets y-koordinat:
$f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$

Toppunkt: $(2, 5)$

📝Oppgave 3

Finn toppunkt eller bunnpunkt for funksjonene:

f(x) = -x^2 + 2x + 8

g(x) = 2x^2 - 8x + 5

h(x) = -3x^2 - 6x + 1

Fullstendig kvadrats metode

Vi kan skrive $f(x) = ax^2 + bx + c$ på toppunktform:

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

der $(h, k)$ er toppunktet/bunnpunktet.

For å finne denne formen bruker vi fullstendig kvadrats metode.

✏️Eksempel 4

Skriv $f(x) = x^2 - 4x + 7$ på toppunktform.

Steg 1: Grupper

x

-leddene:

f(x) = (x^2 - 4x) + 7

Steg 2: Fullfør kvadratet. Ta halvparten av koeffisienten foran $x$ og kvadrer:
$\displaystyle \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4$

Steg 3: Legg til og trekk fra dette tallet:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7$
$f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Toppunktform: $f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Bunnpunkt: $(2, 3)$

📝Oppgave 4

Skriv funksjonene på toppunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

f(x) = x^2 + 6x + 5

g(x) = x^2 - 2x - 8

Å tegne en parabel

1. Finn fortegnet til $a$ (åpner opp eller ned?)
2. Finn skjæring med $y$ -aksen: $(0, c)$
3. Finn symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$
4. Finn toppunkt/bunnpunkt
5. Finn eventuelle nullpunkter (skjæring med $x$ -aksen)
6. Tegn en jevn kurve gjennom punktene

✏️Eksempel 5

En ball kastes opp fra bakken. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter. Finn når ballen er på sitt høyeste og hvor høyt den når.

Vi har

a = -5

b = 20

c = 0

Siden $a < 0$ , har funksjonen et toppunkt (maksimum).

Tid for maksimal høyde:
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$

Maksimal høyde:
$h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20$

Svar: Ballen når sin maksimale høyde på 20 meter etter 2 sekunder.

📝Oppgave 5

En rakett skytes opp. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = -4t^2 + 32t + 5$ meter. Finn når raketten er på sitt høyeste og hvor høyt den når.

📝Oppgave 6

Finn den største verdien av $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ og ved hvilken $x$ -verdi den oppnås.

Parabeler, toppunkt, bunnpunkt og nullpunkter.

50 min

16 oppgaver

AndregradsfunksjonerParabelToppunktBunnpunktNullpunkter

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

En andregradsfunksjon er en funksjon på formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ der $a \neq 0$ .

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

I dette kapitlet lærer du:
- Hvordan parabeler ser ut
- Å finne toppunkt eller bunnpunkt
- Å finne symmetrilinje
- Å tegne parabeler

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

Parabelens form

Fortegnet til $a$ bestemmer om parabelen er smilende eller sur:

- $a > 0$ : Parabelen åpner oppover (har bunnpunkt)
- $a < 0$ : Parabelen åpner nedover (har toppunkt)

Jo større $|a|$ er, desto smalere er parabelen.
Jo mindre $|a|$ er, desto bredere er parabelen.

✏️Eksempel 1

Beskriv grafen til $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ .

Vi har $a = 2$ , $b = -4$ og $c = 1$ .

Form: Siden $a = 2 > 0$ , åpner parabelen oppover (har bunnpunkt).

Skjæring med y-aksen: $f(0) = 1$ , så grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, 1)$ .

Parabelen er relativt smal fordi $|a| = 2 > 1$ .

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonene har toppunkt eller bunnpunkt, og om parabelen er smal eller bred:

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -3x^2 + 6x

\displaystyle h(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 4x + 5

📜Symmetrilinje og toppunkt/bunnpunkt

For andregradsfunksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ gjelder:

Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$

Toppunkt/bunnpunkt: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

Parabelen er symmetrisk om den vertikale linjen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ .

✏️Eksempel 2

Finn symmetrilinje og bunnpunkt for $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Vi har

a = 1

b = -6

c = 5

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Bunnpunktets x-koordinat: $x = 3$

Bunnpunktets y-koordinat:
$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$

Bunnpunkt: $(3, -4)$

Siden $a = 1 > 0$ , har funksjonen bunnpunkt (ikke toppunkt).

📝Oppgave 2

Finn symmetrilinje og bunnpunkt for funksjonene:

f(x) = x^2 - 8x + 12

g(x) = x^2 + 4x + 1

✏️Eksempel 3

Finn toppunkt for $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ .

Vi har

a = -2

b = 8

c = -3

Siden $a = -2 < 0$ , har funksjonen et toppunkt.

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

Toppunktets y-koordinat:
$f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$

Toppunkt: $(2, 5)$

📝Oppgave 3

Finn toppunkt eller bunnpunkt for funksjonene:

f(x) = -x^2 + 2x + 8

g(x) = 2x^2 - 8x + 5

h(x) = -3x^2 - 6x + 1

Fullstendig kvadrats metode

Vi kan skrive $f(x) = ax^2 + bx + c$ på toppunktform:

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

der $(h, k)$ er toppunktet/bunnpunktet.

For å finne denne formen bruker vi fullstendig kvadrats metode.

✏️Eksempel 4

Skriv $f(x) = x^2 - 4x + 7$ på toppunktform.

Steg 1: Grupper

x

-leddene:

f(x) = (x^2 - 4x) + 7

Steg 2: Fullfør kvadratet. Ta halvparten av koeffisienten foran $x$ og kvadrer:
$\displaystyle \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = (-2)^2 = 4$

Steg 3: Legg til og trekk fra dette tallet:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7$
$f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Toppunktform: $f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Bunnpunkt: $(2, 3)$

📝Oppgave 4

Skriv funksjonene på toppunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

f(x) = x^2 + 6x + 5

g(x) = x^2 - 2x - 8

Å tegne en parabel

✏️Eksempel 5

En ball kastes opp fra bakken. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter. Finn når ballen er på sitt høyeste og hvor høyt den når.

Vi har

a = -5

b = 20

c = 0

Siden $a < 0$ , har funksjonen et toppunkt (maksimum).

Tid for maksimal høyde:
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$

Maksimal høyde:
$h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20$

Svar: Ballen når sin maksimale høyde på 20 meter etter 2 sekunder.

📝Oppgave 5

En rakett skytes opp. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = -4t^2 + 32t + 5$ meter. Finn når raketten er på sitt høyeste og hvor høyt den når.

📝Oppgave 6

Finn den største verdien av $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ og ved hvilken $x$ -verdi den oppnås.