3.1 Lineære funksjoner | Matematikk for økonomer

Rette linjer, stigningstall, konstantledd og ettpunktsformelen.

45 min

14 oppgaver

Lineære funksjonerStigningstallKonstantleddEttpunktsformelen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Enkel innsetting

Når vi har et matematisk uttrykk, for eksempel $2x + 1$ , så sier vi ofte at $x$ er en variabel. Det er fordi $x$ kan være mange forskjellige verdier (den varierer).

Du kan velge hvilket tall du vil erstatte $x$ med — dette kalles å sette inn en verdi for $x$ .

✏️Eksempel 1

Sett inn $x = 3$ i uttrykkene nedenfor og regn ut hvilken verdi du får.

a) $4x + 1$

b) $-2x + 4$

Løsning:

a) Uttrykket er $4 \cdot x + 1$ . Vi skal sette inn $x = 3$ , det vil si at vi erstatter $x$ med 3:
$4 \cdot 3 + 1 = 12 + 1 = 13$

b) Vi erstatter $x$ med 3 og regner ut:
$-2x + 4 = -2 \cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2$

📝Oppgave 1

Sett inn $x = 2$ i uttrykkene nedenfor og regn ut hvilken verdi du får.

x + 3

3x - 1

-4x + 10

Avhengig og uavhengig variabel

Noen ganger er verdien til en variabel (ofte $y$ ) avhengig av verdien til en annen variabel (ofte $x$ ).

- $x$ kalles den uavhengige variabelen — den kan vi velge fritt
- $y$ kalles den avhengige variabelen — verdien bestemmes av $x$

Eksempel: I uttrykket $y = 2x - 3$ ser vi at:
- Når $x = 4$ : $y = 2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1$

Verdien til $y$ er altså avhengig av hva verdien til $x$ er.

✏️Eksempel 2

Sett inn $x = -2$ i uttrykkene nedenfor og regn ut verdien til $y$ .

a) $y = 2x - 1$

b) $y = -x + 4$

Løsning:

a) Vi setter $-2$ inn for $x$ i uttrykket og regner ut:
$y = 2 \cdot x - 1 = 2 \cdot (-2) - 1 = -4 - 1 = -5$

b) Vi setter $-2$ inn for $x$ i uttrykket og regner ut:
$y = -x + 4 = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6$

📝Oppgave 2

Sett inn $x = -3$ i uttrykkene nedenfor og regn ut hvilken verdi $y$ får.

y = x + 5

y = 2x - 1

y = -4x + 1

Linjer og enkel innsetting

En linje i koordinatsystemet kan beskrives med en «regel» som $y = 2x$ .

Alle punkter på linjen følger denne regelen:
- Når $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 = 2$ → punktet $(1, 2)$
- Når $x = 3$ : $y = 2 \cdot 3 = 6$ → punktet $(3, 6)$
- Når $x = -2$ : $y = 2 \cdot (-2) = -4$ → punktet $(-2, -4)$

For å tegne en linje kan vi:
1. Velge noen $x$ -verdier (f.eks. 3 verdier spredt utover)
2. Beregne tilhørende $y$ -verdier
3. Markere punktene i koordinatsystemet
4. Tegne en rett linje gjennom punktene

📊Linjen $y = 2x$

Linjen $y = 2x$ med noen punkter markert.

✏️Eksempel 3

Tegn linjen som følger «regelen» $y = 2x - 2$ i et koordinatsystem fra $x = -4$ til $x = 5$ .

Løsning:

Vi begynner med å finne 3 punkter som følger regelen $y = 2x - 2$ .

Jeg velger $x = -3$ , $x = 0$ og $x = 4$ (spredt utover).

For $x = -3$ :
$y = 2 \cdot (-3) - 2 = -6 - 2 = -8$
Første punkt: $(-3, -8)$

For $x = 0$ :
$y = 2 \cdot 0 - 2 = 0 - 2 = -2$
Andre punkt: $(0, -2)$

For $x = 4$ :
$y = 2 \cdot 4 - 2 = 8 - 2 = 6$
Tredje punkt: $(4, 6)$

Vi markerer punktene i koordinatsystemet og tegner en rett linje gjennom dem.

📊Eksempel 3: $y = 2x - 2$

Linjen $y = 2x - 2$ med de beregnede punktene.

Tips: Valg av $x$ -verdier

Vi kan velge hvilke $x$ -verdier vi vil, men for å tegne en best mulig linje er det lurt å velge $x$ -verdier som er spredt utover koordinatsystemet.

God praksis:
- Velg én negativ verdi (f.eks. $x = -3$ )
- Velg $x = 0$ (gir skjæringspunktet med $y$ -aksen)
- Velg én positiv verdi (f.eks. $x = 4$ )

📝Oppgave 3

Tegn et koordinatsystem og bruk metoden i eksempelet ovenfor til å tegne grafene til:

y = 2x + 1

y = x - 2

y = -2x + 3

Stigningstall og konstantledd

Linjer i koordinatsystemet beskrives ofte på formen:

$y = ax + b$

Her kaller vi:
- $a$ for stigningstallet
- $b$ for konstantleddet

Eksempel: I linjen $y = 2x + 1$ er stigningstallet $a = 2$ og konstantleddet $b = 1$ .

Konstantleddet

b

Stigningstallet

a

📊Stigningstall og konstantledd

Linjen $y = 2x + 1$ med stigningstall $a = 2$ og konstantledd $b = 1$ .

Hvordan lese av stigningstallet fra grafen

For linjen $y = 2x + 1$ :
- Start i et punkt på linjen, f.eks. $(0, 1)$
- Gå 1 enhet til høyre (langs $x$ -aksen)
- Se hvor mye du må gå opp/ned for å treffe linjen igjen

I dette tilfellet må vi gå 2 opp → stigningstallet er $a = 2$ .

Bruker vi uttrykket $y = 2x + 1$ ser vi at dersom $x$ øker med 1, så øker $y$ med 2:
- $x = 0$ : $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$
- $x = 1$ : $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ (økning på 2)

✏️Eksempel 4

Tegn grafen til linjen $y = -3x + 4$

Her er stigningstallet $a = -3$ og konstantleddet $b = 4$ .

Løsning:

Skritt 1: Tegn koordinatsystemet og marker et punkt med konstantleddet på $y$ -aksen.

I dette tilfellet er konstantleddet $b = 4$ , så vi markerer punktet $(0, 4)$ .

Skritt 2: Beveg deg 1 til høyre og opp/ned stigningstallet.

Stigningstallet er $a = -3$ , så vi beveger oss 1 til høyre og 3 ned. Vi får punktet $(1, 1)$ .

Skritt 3: Ta frem en linjal og tegn linjen som går gjennom de 2 punktene.

Du har nå tegnet linjen $y = -3x + 4$ .

📊Eksempel 4: $y = -3x + 4$

Linjen $y = -3x + 4$ tegnet ved hjelp av konstantledd og stigningstall.

📝Oppgave 4

Tegn et koordinatsystem og bruk metoden i eksempelet ovenfor til å tegne grafene til:

y = 3x + 1

y = x - 2

y = -x + 1

📝Oppgave 5

Se på grafene og bestem konstantleddet $b$ og stigningstallet $a$ . Skriv deretter funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

📝Oppgave 6

Bestem stigningstall $a$ og konstantledd $b$ for hver av grafene under. Skriv funksjonsuttrykket $y = ax + b$ .

Oppsummering

For en lineær funksjon $y = ax + b$ :

Begrep	Betydning	Hvordan finne fra graf
Konstantledd $b$	Skjæring med $y$ -aksen	Les av $y$ -verdien der linjen krysser $y$ -aksen
Stigningstall $a$	Hvor mye $y$ endres når $x$ øker med 1	Gå 1 til høyre, tell opp/ned til linjen

Huskeregel:
-

a > 0

: Linjen stiger (oppover mot høyre)
-

a < 0

: Linjen synker (nedover mot høyre)

- $a = 0$ : Horisontal linje

📝Oppgave 7

Blandede oppgaver om lineære funksjoner.

Hva er stigningstallet og konstantleddet til $y = 5x - 2$ ?

Hva er stigningstallet og konstantleddet til $y = -x + 7$ ?

En linje har stigningstall 3 og konstantledd $-4$ . Skriv funksjonsuttrykket.

En linje går gjennom $(0, 5)$ og $(1, 2)$ . Finn stigningstallet og skriv funksjonsuttrykket.

📝Oppgave 8

Utfordringsoppgaver.

En linje går gjennom punktene $(2, 7)$ og $(4, 13)$ . Finn stigningstallet.

Bruk svaret fra a) til å finne konstantleddet. (Hint: Sett inn et av punktene)

Skriv funksjonsuttrykket for linjen.

Begrep

Betydning

Hvordan finne fra graf

Konstantledd

b

Skjæring med

y

-aksen

Les av

y

-verdien der linjen krysser

y

-aksen

Stigningstall

a

Hvor mye

y

endres når

x

øker med 1

Gå 1 til høyre, tell opp/ned til linjen