2.7 Praktisk bruk av andregradslikninger | Matematikk for økonomer

Bruk andregradslikninger til å løse praktiske problemer med areal, bevegelse og økonomi.

55 min

14 oppgaver

ArealproblemerKastebevegelseOptimeringØkonomiske modeller

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Praktisk bruk av andregradslikninger

Andregradslikninger dukker opp i mange praktiske sammenhenger:
- Arealproblemer (rektangler, trekanter)
- Kastebevegelse (ball, prosjektil)
- Økonomi (profitt, kostnader)
- Geometri (Pytagoras)

I dette kapitlet lærer du å sette opp og løse slike problemer.

Arealproblemer

Når vi jobber med areal av rektangler eller andre figurer, får vi ofte andregradslikninger fordi areal = lengde × bredde.

✏️Eksempel 1

Et rektangel har omkrets 28 cm og areal 48 cm². Finn lengden og bredden.

Løsning:

La lengden være $x$ og bredden være $y$ .

Fra omkretsen: $2x + 2y = 28 \Rightarrow x + y = 14 \Rightarrow y = 14 - x$

Fra arealet: $x \cdot y = 48$

Setter inn for $y$ :
$x(14 - x) = 48$
$14x - x^2 = 48$
$x^2 - 14x + 48 = 0$

Faktoriserer: $(x - 6)(x - 8) = 0$

$x = 6$ eller $x = 8$

Hvis $x = 8$ , så er $y = 14 - 8 = 6$ .

Svar: Lengde 8 cm og bredde 6 cm.

📝Oppgave 1

Løs arealproblemet

Et rektangel har omkrets 20 cm og areal 24 cm². Finn sidene.

Et rektangel har omkrets 34 cm og areal 60 cm². Finn sidene.

✏️Eksempel 2

En hage er 5 meter lengre enn den er bred. Arealet er 150 m². Finn dimensjonene.

Løsning:

La bredden være $x$ meter. Da er lengden $(x + 5)$ meter.

Areal:
$x(x + 5) = 150$
$x^2 + 5x - 150 = 0$

ABC-formelen:
$\displaystyle x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}$

$x = 10$ eller $x = -15$ (forkastes)

Svar: Bredde 10 m, lengde 15 m.

📝Oppgave 2

Løs problemene

En tomt er 3 m bredere enn den er lang. Arealet er 180 m². Finn dimensjonene.

Lengden av et rektangel er dobbelt så stor som bredden. Arealet er 72 cm². Finn sidene.

Kastebevegelse

Høyden til en gjenstand som kastes opp kan ofte beskrives med en andregradsfunksjon:

$h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$

der:
- $g \approx 10$ m/s² (tyngdeakselerasjonen)
- $v_0$ er starthastigheten
- $h_0$ er starthøyden

✏️Eksempel 3

En ball kastes rett opp fra bakken med fart 20 m/s. Høyden er gitt ved $h(t) = -5t^2 + 20t$ . Når er ballen 15 meter over bakken?

Løsning:

Vi setter $h(t) = 15$ :
$-5t^2 + 20t = 15$
$-5t^2 + 20t - 15 = 0$

Deler på $-5$ :
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
$t = 1$ eller $t = 3$

Tolkning: Ballen er 15 m over bakken to ganger:
- På vei opp etter 1 sekund
- På vei ned etter 3 sekunder

Svar: Etter 1 s og etter 3 s.

📝Oppgave 3

En ball kastes opp med $h(t) = -5t^2 + 30t$ meter.

Når er ballen 40 m over bakken?

Når treffer ballen bakken igjen?

Hva er maksimal høyde? (Hint: Finn toppunktet)

Pytagoras

I rettvinklede trekanter gir Pytagoras' setning ofte andregradslikninger:

$a^2 + b^2 = c^2$

✏️Eksempel 4

I en rettvinklet trekant er den ene kateten 2 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 10 cm. Finn katetene.

Løsning:

La den korteste kateten være $x$ . Den andre er $(x + 2)$ .

Pytagoras:
$x^2 + (x + 2)^2 = 10^2$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$
$2x^2 + 4x - 96 = 0$
$x^2 + 2x - 48 = 0$
$(x + 8)(x - 6) = 0$
$x = 6$ (forkaster $x = -8$ )

Svar: Katetene er 6 cm og 8 cm.

📝Oppgave 4

Løs trekantproblemene

I en rettvinklet trekant er den ene kateten 7 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 13 cm. Finn katetene.

En stige på 5 m står mot en vegg. Bunnen av stigen er 1 m lengre fra veggen enn toppen er opp på veggen. Hvor høyt opp på veggen når stigen?

Tallproblemer

Andregradslikninger kan også brukes til å løse tallgåter.

✏️Eksempel 5

Produktet av to påfølgende positive hele tall er 132. Finn tallene.

Løsning:

La det første tallet være $n$ . Det neste er $(n + 1)$ .

$n(n + 1) = 132$
$n^2 + n - 132 = 0$
$(n + 12)(n - 11) = 0$
$n = 11$ (forkaster $n = -12$ )

Svar: Tallene er 11 og 12.

📝Oppgave 5

Løs tallproblemene

Produktet av to påfølgende positive hele tall er 240. Finn tallene.

Summen av et tall og kvadratet av tallet er 72. Finn tallet (positivt).

Produktet av to påfølgende partall er 168. Finn tallene.

Oppsummering

h = -5t^2 + v_0 t + h_0

Bruk andregradslikninger til å løse praktiske problemer med areal, bevegelse og økonomi.

55 min

14 oppgaver

ArealproblemerKastebevegelseOptimeringØkonomiske modeller

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Praktisk bruk av andregradslikninger

I dette kapitlet lærer du å sette opp og løse slike problemer.

Arealproblemer

Når vi jobber med areal av rektangler eller andre figurer, får vi ofte andregradslikninger fordi areal = lengde × bredde.

✏️Eksempel 1

Et rektangel har omkrets 28 cm og areal 48 cm². Finn lengden og bredden.

Løsning:

La lengden være $x$ og bredden være $y$ .

Fra omkretsen: $2x + 2y = 28 \Rightarrow x + y = 14 \Rightarrow y = 14 - x$

Fra arealet: $x \cdot y = 48$

Setter inn for $y$ :
$x(14 - x) = 48$
$14x - x^2 = 48$
$x^2 - 14x + 48 = 0$

Faktoriserer: $(x - 6)(x - 8) = 0$

$x = 6$ eller $x = 8$

Hvis $x = 8$ , så er $y = 14 - 8 = 6$ .

Svar: Lengde 8 cm og bredde 6 cm.

📝Oppgave 1

Løs arealproblemet

Et rektangel har omkrets 20 cm og areal 24 cm². Finn sidene.

Et rektangel har omkrets 34 cm og areal 60 cm². Finn sidene.

✏️Eksempel 2

En hage er 5 meter lengre enn den er bred. Arealet er 150 m². Finn dimensjonene.

Løsning:

La bredden være $x$ meter. Da er lengden $(x + 5)$ meter.

Areal:
$x(x + 5) = 150$
$x^2 + 5x - 150 = 0$

ABC-formelen:
$\displaystyle x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 600}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}$

$x = 10$ eller $x = -15$ (forkastes)

Svar: Bredde 10 m, lengde 15 m.

📝Oppgave 2

Løs problemene

En tomt er 3 m bredere enn den er lang. Arealet er 180 m². Finn dimensjonene.

Lengden av et rektangel er dobbelt så stor som bredden. Arealet er 72 cm². Finn sidene.

Kastebevegelse

Høyden til en gjenstand som kastes opp kan ofte beskrives med en andregradsfunksjon:

$h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$

der:
- $g \approx 10$ m/s² (tyngdeakselerasjonen)
- $v_0$ er starthastigheten
- $h_0$ er starthøyden

✏️Eksempel 3

En ball kastes rett opp fra bakken med fart 20 m/s. Høyden er gitt ved $h(t) = -5t^2 + 20t$ . Når er ballen 15 meter over bakken?

Løsning:

Vi setter $h(t) = 15$ :
$-5t^2 + 20t = 15$
$-5t^2 + 20t - 15 = 0$

Deler på $-5$ :
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$(t - 1)(t - 3) = 0$
$t = 1$ eller $t = 3$

Tolkning: Ballen er 15 m over bakken to ganger:
- På vei opp etter 1 sekund
- På vei ned etter 3 sekunder

Svar: Etter 1 s og etter 3 s.

📝Oppgave 3

En ball kastes opp med $h(t) = -5t^2 + 30t$ meter.

Når er ballen 40 m over bakken?

Når treffer ballen bakken igjen?

Hva er maksimal høyde? (Hint: Finn toppunktet)

Pytagoras

I rettvinklede trekanter gir Pytagoras' setning ofte andregradslikninger:

$a^2 + b^2 = c^2$

✏️Eksempel 4

I en rettvinklet trekant er den ene kateten 2 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 10 cm. Finn katetene.

Løsning:

La den korteste kateten være $x$ . Den andre er $(x + 2)$ .

Pytagoras:
$x^2 + (x + 2)^2 = 10^2$
$x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100$
$2x^2 + 4x - 96 = 0$
$x^2 + 2x - 48 = 0$
$(x + 8)(x - 6) = 0$
$x = 6$ (forkaster $x = -8$ )

Svar: Katetene er 6 cm og 8 cm.

📝Oppgave 4

Løs trekantproblemene

I en rettvinklet trekant er den ene kateten 7 cm lengre enn den andre. Hypotenusen er 13 cm. Finn katetene.

En stige på 5 m står mot en vegg. Bunnen av stigen er 1 m lengre fra veggen enn toppen er opp på veggen. Hvor høyt opp på veggen når stigen?

Tallproblemer

Andregradslikninger kan også brukes til å løse tallgåter.

✏️Eksempel 5

Produktet av to påfølgende positive hele tall er 132. Finn tallene.

Løsning:

La det første tallet være $n$ . Det neste er $(n + 1)$ .

$n(n + 1) = 132$
$n^2 + n - 132 = 0$
$(n + 12)(n - 11) = 0$
$n = 11$ (forkaster $n = -12$ )

Svar: Tallene er 11 og 12.

📝Oppgave 5

Løs tallproblemene

Produktet av to påfølgende positive hele tall er 240. Finn tallene.

Summen av et tall og kvadratet av tallet er 72. Finn tallet (positivt).

Produktet av to påfølgende partall er 168. Finn tallene.

Oppsummering

h = -5t^2 + v_0 t + h_0