2.1 Lineære likninger | Matematikk for økonomer

Løsning av førstegradslikninger med ulike metoder.

45 min

16 oppgaver

Lineære likningerLikningsløsningParenteslikningerBrøklikninger

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Likninger med addisjon og subtraksjon

Før du begynner på dette kapitlet er det viktig at du har pluss og minus (med parenteser) ordentlig på plass.

Hovedprinsippet for å løse likninger er at vi alltid gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Når vi skriver $| - 5$ betyr det at vi trekker fra 5 på begge sider av likheten.

✏️Eksempel 1

Løs likningene:

a) $x + 5 = 4$

b) $x - 1 = 4$

Løsning:

a) $x + 5 = 4 \quad | - 5$
$x + 5 - 5 = 4 - 5$
$x = -1$

b) $x - 1 = 4 \quad | + 1$
$x - 1 + 1 = 4 + 1$
$x = 5$

📝Oppgave 1

Løs likningene

x + 3 = 5

x - 9 = 3

x - 20 = 0

x + 200 = -100

x + 22 = 10

x + 10 = -2

Løs oppgaven Tren

Likninger med variabler på begge sider

For å forstå denne delen er det viktig å forstå veldig enkel algebra.

Eksempler på det du må kunne er at:
- $2x + 3x = 5x$
- $7x - 6x = x$

Vi får heller ikke lov til å blande konstanter og variabler. $3x + 3 + 2x = 5x + 3$ - vi kan ikke legge sammen $5x$ og $3$ uten å vite hva $x$ er.

✏️Eksempel 2

Løs likningene:

a) $4 = x - 2$

b) $2x + 4 = x$

Løsning:

a) $4 = x - 2 \quad | + 2$
$6 = x$
$x = 6$ (Når $6 = x$ så er også $x = 6$ )

b) $2x + 4 = x \quad | - 4$
$2x = x - 4 \quad | - x$
$2x - x = x - 4 - x$
$x = -4$

📝Oppgave 2

Løs likningene

3 = x - 5

4 = x + 3

2x - 2 = x

3x + 31 = 2x

x + 22 = 2x

4x + 10 = 3x - 2

Løs oppgaven Tren

Likninger med multiplikasjon og divisjon

Når vi har likninger der $x$ er ganget med et tall, må vi dele begge sider på dette tallet for å finne $x$ .

✏️Eksempel 3

Løs likningene:

a) $3x = 12$

b) $4x - 3 = 17$

Løsning:

a) $3x = 12 \quad | \div 3$
$\displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$
$x = 4$

b) $4x - 3 = 17 \quad | + 3$
$4x = 20 \quad | \div 4$
$x = 5$

📝Oppgave 3

Løs likningene

5x = 20

4x = -12

5x + 10 = 15

30x - 100 = 200

9x - 22 = -40

4x + 18 = 10

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Løs likningene:

a) $8x + 15 = 3x$

b) $4x - 5 = 2x + 11$

c) $-4x = 20$

Løsning:

a) $8x + 15 = 3x \quad | - 3x$
$5x + 15 = 0 \quad | - 15$
$5x = -15 \quad | \div 5$
$x = -3$

b) $4x - 5 = 2x + 11 \quad | - 2x$
$2x - 5 = 11 \quad | + 5$
$2x = 16 \quad | \div 2$
$x = 8$

c) $-4x = 20 \quad | \div (-4)$
$\displaystyle \frac{-4x}{-4} = \frac{20}{-4}$
$x = -5$

📝Oppgave 4

Løs likningene

10x - 9 = 7x

4x + 10 = -x

5x + 10 = 4x + 5

-3x = 30

-7x = -10 + 3x

-4x + 8 = 2x + 44

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$\displaystyle \frac{x}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$
$x = 10$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6 \quad | - 2$
$\displaystyle \frac{x}{-3} = 4 \quad | \cdot (-3)$
$x = -12$

📝Oppgave 5

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{-5} = -2

\displaystyle \frac{x}{2} + 10 = 12

\displaystyle \frac{x}{4} - 3 = -5

\displaystyle 110 = \frac{x}{8} + 10

\displaystyle 10 = 8 + \frac{x}{-3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6 \quad | \cdot 3$
$2x = 18 \quad | \div 2$
$x = 9$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9 \quad | + 4$
$\displaystyle \frac{5x}{2} = -5 \quad | \cdot 2$
$5x = -10 \quad | \div 5$
$x = -2$

📝Oppgave 6

Løs likningene

\displaystyle \frac{3x}{5} = 6

\displaystyle \frac{2x}{3} = -8

\displaystyle \frac{3x}{2} - 2 = 7

\displaystyle -15 + \frac{5x}{4} = -5

\displaystyle 3 = \frac{3x}{8} + 6

\displaystyle \frac{10x}{-30} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Grunnleggende likninger del 2

Likninger med brøker og parenteser

Før du begynner på del to av grunnleggende likninger er det viktig at du har brøkregning ordentlig på plass.

✏️Eksempel 7

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5 \quad | \cdot 2x$
$30 = 10x$
$10x = 30 \quad | \div 10$
$x = 3$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2 \quad | \cdot (x + 2)$
$\displaystyle \frac{3(x + 2)}{x + 2} = 2(x + 2)$
$3 = 2(x + 2)$
$3 = 2x + 4$
$2x + 4 = 3 \quad | - 4$
$2x = -1 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

📝Oppgave 7

Løs likningene

\displaystyle \frac{6}{x} = 2

\displaystyle \frac{2}{3x} = 2

\displaystyle \frac{2}{x} - 2 = 7

\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 1

\displaystyle 3 = \frac{-2}{x - 3} + 6

\displaystyle \frac{2}{2x - 5} = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1 \quad | \cdot 2$
$x - 3 = 2(x + 1)$
$x - 3 = 2x + 2 \quad | + 3$
$x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$-x = 5 \quad | \cdot (-1)$
$x = -5$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2 \quad | \cdot (x + 3)$
$3x + 1 = 2(x + 3)$
$3x + 1 = 2x + 6 \quad | - 1$
$3x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$x = 5$

📝Oppgave 8

Løs likningene

\displaystyle \frac{4x - 6}{3} = x + 3

\displaystyle \frac{3x}{x + 1} = 2

\displaystyle \frac{13x + 2}{2x} = 7

\displaystyle \frac{x + 1}{4} - 15 = -5

\displaystyle 3 = \frac{x - 1}{8} + 6

\displaystyle \frac{3 - x}{x} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1 \quad | - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 2$
$\displaystyle x = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1 \quad | + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{7}{5} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle 2x = \frac{21}{5} \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{21}{10}$

📝Oppgave 9

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{10} + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{5} - 2

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{x}{2} - 3

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$

Løsning alternativ 1 (finn fellesnevner):

\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{3x + 2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{5x}{6} = 1 \quad | \cdot 6

5x = 6 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{6}{5}

Løsning alternativ 2 (gang med fellesnevner):
$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1 \quad | \cdot 6$
$\displaystyle \frac{6 \cdot x}{2} + \frac{6 \cdot x}{3} = 1 \cdot 6$
$3x + 2x = 6$
$5x = 6 \quad | \div 5$
$\displaystyle x = \frac{6}{5}$

📝Oppgave 10

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{x}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{5} = -\frac{x}{2} + 10

\displaystyle 4 = \frac{3x}{7} + x

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = \frac{x}{4} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 11

Løs likningene:

a) $3(x - 2) = 4$

b) $4 - 2(x + 1) = 22$

Løsning:

a) $3(x - 2) = 4$
$3x - 6 = 4 \quad | + 6$
$3x = 10 \quad | \div 3$
$\displaystyle x = \frac{10}{3}$

b) $4 - 2(x + 1) = 22 \quad | - 4$
$-2(x + 1) = 18$
$-2x - 2 = 18 \quad | + 2$
$-2x = 20 \quad | \div (-2)$
$x = -10$

📝Oppgave 11

Løs likningene

2(x - 1) = 4

5(x - 2) = 3

2 + 3(x - 1) = 5

5(x + 1) = 2(x - 1)

6 - 3(x + 2) = x

-2(3x - 15) = 8x - (-x)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 12

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$1 - (2x - 4) = 10$
$1 - 2x + 4 = 10 \quad | - 1 - 4$
$-2x = 5 \quad | \div (-2)$
$\displaystyle x = -\frac{5}{2}$

b) Vi ser at fellesnevner blir $2(x + 1)$ . Gang med dette på begge sider:
$\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$
$\displaystyle \frac{2 \cdot 2x}{2(x + 1)} - \frac{3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3x - 3}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 2} = 2 \quad | \cdot (2x + 2)$
$x - 3 = 4x + 4 \quad | - 4x + 3$
$-3x = 7 \quad | \div (-3)$
$\displaystyle x = -\frac{7}{3}$

📝Oppgave 12

Løs likningene

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{2} = 4

\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{x - 2}{2} = 2

\displaystyle \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2} = 1

\displaystyle \frac{2x - 1}{x + 5} = -\frac{3}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{2x + 1} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{-x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{5}{3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 13

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5$

Løsning:

\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5

\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \cdot x + 2x = 5

\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3x}{4} + 2x = 5 \quad | \cdot 4

1 - 3x + 8x = 20 \quad | - 1

5x = 19 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{19}{5}

📝Oppgave 13

Løs likningene

\displaystyle \frac{1}{2}(1 - x) = 5

\displaystyle \frac{1}{4}\left(\frac{x}{3} - 1\right) = 1

\displaystyle \frac{3}{5}\left(5 - \frac{x}{3}\right) + 2x = 2

\displaystyle \frac{3}{7}\left(x - \frac{1}{2}\right) = 5 - x

\displaystyle \frac{5x}{4}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{x}{2} - 1

\displaystyle \frac{x}{4} - 1 = x\left(\frac{1}{3} - 2\right)

Løs oppgaven Tren