2.2 Andregradslikninger | Matematikk for økonomer

ABC-formelen, faktorisering og løsning av andregradslikninger.

50 min

14 oppgaver

AndregradslikningerABC-formelenFaktoriseringDiskriminanten

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

abc-formelen

For å finne nullpunktene til en andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c = 0$ bruker vi formelen under.

📜abc-formelen

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

✏️Eksempel 1

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen:

a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
b) $2x^2 - 12x = -16$

Løsning:

a) $1x^2 - 5x + 6 = 0$ (Vi skriver vanligvis ikke 1-tallet)

Her ser vi at $a = 1$ , $b = -5$ og $c = 6$

Vi setter inn i abc-formelen og løser for $x_1$ og $x_2$ :

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$\displaystyle x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ og $\displaystyle x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

b) $2x^2 - 12x = -16$

Vi skriver først om til formen $ax^2 + bx + c = 0$ :
$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Vi ser at $a = 2$ , $b = -12$ og $c = 16$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{4}$

$\displaystyle x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{12 \pm 4}{4}$

$\displaystyle x_1 = \frac{12 + 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$ og $\displaystyle x_2 = \frac{12 - 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$

📝Oppgave 1

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen

x^2 + 5x + 6 = 0

2x^2 - 6x + 4 = 0

-x^2 - 3x + 10 = 0

x^2 = 4x + 12

x^2 + 10 = -7x

-3x^2 = 15 - 18x

Spesialtilfeller

En løsning:
Dersom det som står under rottegnet blir null så vil vi få $\pm 0$ i abc-formelen vår. Vi vil i dette tilfellet kun stå igjen med ett svar siden det å legge til 0 ikke er forskjellig fra å trekke fra 0.

Ingen løsninger:
Vi ender noen ganger opp med negative tall under rottegnet vårt. Ettersom kvadratrøtter av negative tall ikke er definert så vil vi ikke ende opp med noen svar i disse tilfellene. $L = \emptyset$ .

✏️Eksempel 2

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen:

a) $x^2 + 10x + 25 = 0$
b) $x^2 - 5x + 8 = 0$

Løsning:

a) $x^2 + 10x + 25 = 0$

Her ser vi at $a = 1$ , $b = 10$ og $c = 25$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

$\displaystyle = \frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2} = -\frac{10}{2} = -5$

Vi har altså her kun én løsning $x = -5$

b) $x^2 - 5x + 8 = 0$

Her ser vi at $a = 1$ , $b = -5$ og $c = 8$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{2}$

Ettersom $\sqrt{-7}$ ikke er definert så vil det heller ikke finnes noen løsninger på likningen.

Svar: $L = \emptyset$

📝Oppgave 2

Løs om mulig likningene ved hjelp av abc-formelen

x^2 - 10x + 25 = 0

x^2 - 7x + 15 = 0

x^2 - 20x + 100 = 0

2x^2 - 10x + 16 = 0

x^2 - 15x + 50 = 0

-x^2 - 2x - 1 = 0

Nullpunktsfaktorisering (ved bruk av abc-formelen)

Vi kan bruke nullpunktene vi finner når vi løser likningen:

$ax^2 + bx + c = 0$

Svarene på denne likningen blir $x_1$ og $x_2$ . Disse kan vi sette inn i formelen under for å faktorisere andregraduttrykk.

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

NB: Om vi kun får én løsning på abc-formelen så setter vi inn denne løsningen for både $x_1$ og $x_2$ .

✏️Eksempel 3

Faktoriser uttrykkene ved å bruke nullpunktsfaktorisering:

a) $x^2 - 5x + 6$
b) $2x^2 - 12x + 16$
c) $3x^2 + 18x + 27$

Løsning:

a) Vi begynner med å løse $x^2 - 5x + 6 = 0$ med abc-formelen vil vi få $x_1 = 2$ og $x_2 = 3$ . Disse løsningene kan vi nå bruke til å faktorisere uttrykket.

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$1x^2 - 5x + 6 = 1(x - 2)(x - 3)$

$x^2 - 5x + 6$ kan altså faktoriseres til $(x - 2)(x - 3)$

b) Når vi løser $2x^2 - 12x + 16 = 0$ med abc-formelen får vi $x_1 = 2$ og $x_2 = 4$ .

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$2x^2 - 12x + 16 = 2(x - 2)(x - 4)$

c) Når vi løser $3x^2 + 18x + 27 = 0$ bør vi først faktorisere ut 3:

$3(x^2 + 6x + 9) = 0$

Dette gir $x = -3$ (én løsning).

$3x^2 + 18x + 27 = 3(x + 3)^2$

📝Oppgave 3

Faktoriser uttrykkene ved å bruke nullpunktsfaktorisering (NB: Husk at du må begynne med å finne $x_1$ og $x_2$ ved å bruke abc-formelen)

x^2 + 5x + 6

x^2 + 3x - 10

2x^2 + 8x + 6

2x^2 - 10x + 12

3x^2 - 3x - 6

-x^2 - 2x - 1

📝Oppgave 4

Faktoriser og forkort ved hjelp av kvadratsetningene og nullpunktsfaktorisering dersom det er mulig.

\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 3}

\displaystyle \frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - 16}

\displaystyle \frac{2x^2 - 16x + 30}{4x^2 - 100}

\displaystyle \frac{-3x - 12}{3x^2 + 48}

\displaystyle \frac{-2x^2 + 32}{3x^2 - 3x - 60}

\displaystyle \frac{-x^2 - 18x - 81}{-x - 9}

Produktregelen

Dersom $a \cdot b = 0$ så vil enten $a = 0$ eller $b = 0$ (eller både $a = 0$ og $b = 0$ ).

Av dette følger det at om vi ønsker å finne svaret på en likning med flere faktorer $(x + x_1)(x - x_2) = 0$ så vil enten $x + x_1 = 0$ altså $x = -x_1$ eller $x - x_2 = 0$ altså $x = x_2$ .

✏️Eksempel 4

Løs likningene ved hjelp av produktregelen:

a) $2(x + 3) = 0$
b) $(x - 4)(x + 2) = 0$
c) $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0.3)(x - \sqrt{5}) = 0$

Løsning:

a) $2(x + 3) = 0$

Her ser vi enkelt at dersom $x = -3$ så vil venstresiden bli lik høyresiden.
Svaret på likningen er altså $x = -3$ .

b) $(x - 4)(x + 2) = 0$

Her sier produktregelen at venstresiden vil bli 0 dersom minst en av faktorene er 0. Det vil si at enten $x - 4 = 0$ eller $x + 2 = 0$ .
Vi ser at $x = 4$ og $x = -2$ da er løsningene på denne likningen.

c) $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0.3)(x - \sqrt{5}) = 0$

Nok engang holder det at en av faktorene er lik 0 for at vi skal ha en løsning. Her blir løsningene $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ , $x = 0.3$ og $x = \sqrt{5}$

📝Oppgave 5

Løs likningene ved hjelp av produktregelen

2(x + 9) = 0

-3(x + 1) = 0

(x + 2)(x - 3) = 0

(x - k)(x + \sqrt{2}) = 0

2x + 6 = 0

-5x + 20 = 10

Tilleggsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

ABC-formelen, faktorisering og løsning av andregradslikninger.

50 min

14 oppgaver

AndregradslikningerABC-formelenFaktoriseringDiskriminanten

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

abc-formelen

For å finne nullpunktene til en andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c = 0$ bruker vi formelen under.

📜abc-formelen

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

✏️Eksempel 1

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen:

a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
b) $2x^2 - 12x = -16$

Løsning:

a) $1x^2 - 5x + 6 = 0$ (Vi skriver vanligvis ikke 1-tallet)

Her ser vi at $a = 1$ , $b = -5$ og $c = 6$

Vi setter inn i abc-formelen og løser for $x_1$ og $x_2$ :

$\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

$\displaystyle = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$\displaystyle x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ og $\displaystyle x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

b) $2x^2 - 12x = -16$

Vi skriver først om til formen $ax^2 + bx + c = 0$ :
$2x^2 - 12x + 16 = 0$

Vi ser at $a = 2$ , $b = -12$ og $c = 16$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 16}}{2 \cdot 2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{4}$

$\displaystyle x = \frac{12 \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{12 \pm 4}{4}$

$\displaystyle x_1 = \frac{12 + 4}{4} = \frac{16}{4} = 4$ og $\displaystyle x_2 = \frac{12 - 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$

📝Oppgave 1

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen

x^2 + 5x + 6 = 0

2x^2 - 6x + 4 = 0

-x^2 - 3x + 10 = 0

x^2 = 4x + 12

x^2 + 10 = -7x

-3x^2 = 15 - 18x

Spesialtilfeller

✏️Eksempel 2

Løs likningene ved hjelp av abc-formelen:

a) $x^2 + 10x + 25 = 0$
b) $x^2 - 5x + 8 = 0$

Løsning:

a) $x^2 + 10x + 25 = 0$

Her ser vi at $a = 1$ , $b = 10$ og $c = 25$

Vi setter inn i abc-formelen:

$\displaystyle x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

$\displaystyle = \frac{-10 \pm \sqrt{0}}{2} = -\frac{10}{2} = -5$

Vi har altså her kun én løsning $x = -5$

b) $x^2 - 5x + 8 = 0$

Her ser vi at $a = 1$ , $b = -5$ og $c = 8$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{2}$

Ettersom $\sqrt{-7}$ ikke er definert så vil det heller ikke finnes noen løsninger på likningen.

Svar: $L = \emptyset$

📝Oppgave 2

Løs om mulig likningene ved hjelp av abc-formelen

x^2 - 10x + 25 = 0

x^2 - 7x + 15 = 0

x^2 - 20x + 100 = 0

2x^2 - 10x + 16 = 0

x^2 - 15x + 50 = 0

-x^2 - 2x - 1 = 0

Nullpunktsfaktorisering (ved bruk av abc-formelen)

Vi kan bruke nullpunktene vi finner når vi løser likningen:

$ax^2 + bx + c = 0$

Svarene på denne likningen blir $x_1$ og $x_2$ . Disse kan vi sette inn i formelen under for å faktorisere andregraduttrykk.

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

NB: Om vi kun får én løsning på abc-formelen så setter vi inn denne løsningen for både $x_1$ og $x_2$ .

✏️Eksempel 3

Faktoriser uttrykkene ved å bruke nullpunktsfaktorisering:

a) $x^2 - 5x + 6$
b) $2x^2 - 12x + 16$
c) $3x^2 + 18x + 27$

Løsning:

a) Vi begynner med å løse $x^2 - 5x + 6 = 0$ med abc-formelen vil vi få $x_1 = 2$ og $x_2 = 3$ . Disse løsningene kan vi nå bruke til å faktorisere uttrykket.

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

$1x^2 - 5x + 6 = 1(x - 2)(x - 3)$

$x^2 - 5x + 6$ kan altså faktoriseres til $(x - 2)(x - 3)$

b) Når vi løser $2x^2 - 12x + 16 = 0$ med abc-formelen får vi $x_1 = 2$ og $x_2 = 4$ .

Vi bruker formelen for nullpunktsfaktorisering:

$2x^2 - 12x + 16 = 2(x - 2)(x - 4)$

c) Når vi løser $3x^2 + 18x + 27 = 0$ bør vi først faktorisere ut 3:

$3(x^2 + 6x + 9) = 0$

Dette gir $x = -3$ (én løsning).

$3x^2 + 18x + 27 = 3(x + 3)^2$

📝Oppgave 3

Faktoriser uttrykkene ved å bruke nullpunktsfaktorisering (NB: Husk at du må begynne med å finne $x_1$ og $x_2$ ved å bruke abc-formelen)

x^2 + 5x + 6

x^2 + 3x - 10

2x^2 + 8x + 6

2x^2 - 10x + 12

3x^2 - 3x - 6

-x^2 - 2x - 1

📝Oppgave 4

Faktoriser og forkort ved hjelp av kvadratsetningene og nullpunktsfaktorisering dersom det er mulig.

\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x + 3}

\displaystyle \frac{x^2 - 10x + 24}{x^2 - 16}

\displaystyle \frac{2x^2 - 16x + 30}{4x^2 - 100}

\displaystyle \frac{-3x - 12}{3x^2 + 48}

\displaystyle \frac{-2x^2 + 32}{3x^2 - 3x - 60}

\displaystyle \frac{-x^2 - 18x - 81}{-x - 9}

Produktregelen

Dersom $a \cdot b = 0$ så vil enten $a = 0$ eller $b = 0$ (eller både $a = 0$ og $b = 0$ ).

Av dette følger det at om vi ønsker å finne svaret på en likning med flere faktorer $(x + x_1)(x - x_2) = 0$ så vil enten $x + x_1 = 0$ altså $x = -x_1$ eller $x - x_2 = 0$ altså $x = x_2$ .

✏️Eksempel 4

Løs likningene ved hjelp av produktregelen:

a) $2(x + 3) = 0$
b) $(x - 4)(x + 2) = 0$
c) $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0.3)(x - \sqrt{5}) = 0$

Løsning:

a) $2(x + 3) = 0$

Her ser vi enkelt at dersom $x = -3$ så vil venstresiden bli lik høyresiden.
Svaret på likningen er altså $x = -3$ .

b) $(x - 4)(x + 2) = 0$

c) $\displaystyle 3\left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 0.3)(x - \sqrt{5}) = 0$

Nok engang holder det at en av faktorene er lik 0 for at vi skal ha en løsning. Her blir løsningene $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$ , $x = 0.3$ og $x = \sqrt{5}$

📝Oppgave 5

Løs likningene ved hjelp av produktregelen

2(x + 9) = 0

-3(x + 1) = 0

(x + 2)(x - 3) = 0

(x - k)(x + \sqrt{2}) = 0

2x + 6 = 0

-5x + 20 = 10

Tilleggsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver